Notes sur le thème de la physique quantique relativiste, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur le thème de la physique quantique relativiste, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur le thème de la physique quantique relativiste. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le dernier postulat: l'équation d'évolution relativiste de schrödinger, l'anti-matière, la démonstrati...
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PHYSIQUE QUANTIQUE RELATIVISTE

Le lecteur attentif aura noté que la mécanique quantique (physique quantique ondulatoire) est une théorie non relativiste : elle n'incorpore pas les principes de la relativité restreinte

d'Einstein (cf. chapitre de Relativité Restreinte). Nous allons donc nous efforcer à combler ce

manque.

ÉQUATION D'ÉVOLUTION RELATIVISTE DE SCHRÖDINGER

La physique des particules ne peut être correctement et totalement décrite dans le cadre de la

mécanique quantique. Comme les énergies sont généralement supérieures aux masses des

particules, il est nécessaire, en plus, de travailler dans le contexte de la théorie de la relativité

restreinte. Voyons comment inclure celle-ci par une première approche basique.

L'énergie-impulsion d'une particule libre de masse m, satisfait comme nous l'avons vu dans le

chapitre de Relativité Restreinte à l'équation:

(43.1)

Nous cherchons à quantifier cette équation. Pour cela, nous allons revenir à des relations que

nous avons démontrées lors de l'étude des opérateurs linéaires fonctionnels et de l'équation

évolutive de Schrödinger.

Rappelons que la quantité de mouvement est décrite par la relation (utilisant l'opérateur de

divergence) :

(43.2)

et l'énergie totale par:

(43.3)

Ces deux relations ayant été démontrées dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire!

Les substitutions des deux relations précédentes appliquées à la relation et

multipliée par l'équation d'onde (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) des deux

côtés de l'égalité conduisent au développement :

(43.4)

En utilisant le d'alembertien (cf. chapitre d'Électrodynamique), nous pouvons écrire cette

dernière relation sous la forme condensée finale suivante appelée "équation d'évolution

relativiste de Schrödinger" ou plus fréquemment "équation de Klein-Gordon libre" (en l'absence

de champ magnétique!) :

(43.5)

Remarque: En physique des particules élémentaires, cette équation est nommée "équation

relativiste covariante des bosons".

L'équation de Klein-Gordon libre est aussi souvent donnée sous la forme suivante (plus

esthétique) :

(43.6)

Il est important de remarquer que l'équation de Klein-Gordon fait intervenir des scalaires et

caractérise donc des particules de spin zéro.

Remarques:

R1. Nous pouvons vérifier que les ondes planes de la forme:

(43.7)

sont des solutions de l'équation de Klein-Gordon libre (nous y reviendrons plus en détail dans le

chapitre de Physique Des Particules Élémentaires).

R2. Nous reviendrons lors de notre étude de l'équation de Dirac et du spin des fermions sur

l'équation de Klein-Gordon libre (afin de la généraliser).

ANTI-MATIÈRE

Lors de la démonstration de l'équation de Klein-Gordon libre, nous avons laissé exprès de côté

un cas très intéressant du développement que nous avons effectué.

Peut-être ne l'avez vous pas remarqué, mais l'équation peut prendre deux

valeurs pour une impulsion donnée:

(43.8)

l'une positive et l'autre négative. La valeur de l'énergie, pourrait donc prendre toutes les valeurs

de

Jusqu'ici, nous avions implicitement admis en mécanique classique que les solutions négatives

n'étaient pas physiques et devaient donc simplement êtres écartées. Cela ne peut se faire en

théorie des champs quantifiés sans conduire à des incohérences graves. Plutôt que d'ignorer

ces solutions d'énergie négative, il convient de leur trouver une interprétation physique.

Nous observons d'abord, que toutes les énergies négatives sont autorisées par la relation

précédente (aussi bien que pour l'énergie positive). Nous disons que les états d'énergie

négative sont tous occupés mais non observables; les électrons sont dits "électrons virtuels".

Imaginons un paquet d'onde constitué par une superposition d'ondes planes sur un intervalle

étroit en impulsion. Ce paquet se déplace dans l'espace. Dans le cas unidimensionnel, il se

propage à la vitesse:

(43.9)

Démonstration:

En nous nous basons toujours sur l'hypothèse que le champ de potentiel est nul, nous avons

donc:

(43.10)

et:

(43.11)

donc démonstration effectuée que:

(43.12)

Considérons d'abord une particule d'énergie positive . Sa position en fonction du temps est

donné par:

(43.13)

Une particule d'énergie négative se déplace selon:

(43.14)

En d'autres termes, et ce sera notre première conclusion, nous pouvons dire qu'une particule

d'énergie négative est équivalente à une particule d'énergie positive se

déplaçant à l'envers dans le temps et ceci est ce que nous nommons une "antiparticule".

Il nous reste maintenant à voir quelle est l'interprétation d'une particule se déplaçant à l'envers

dans le temps :

Pour simplifier, nous considérons une particule non relativiste de charge électrique (-q) plongée

dans un champ électrique et magnétique statiques. Elle satisfait à l'équation du

mouvement:

(43.15)

Nous avons étudié dans le chapitre d'Électrodynamique que les champs et pouvaient être

construits à partir du quadripotentiel . Donc nous pouvons récrire l'équation précédente à

partir des deux relations déterminées en électromagnétisme:

et (43.16)

Cependant, il est toujours possible d'imposer la jauge suivante (nous laissons le soin au lecteur

de faire la vérification en utilisant exactement la même méthodologie que celle utilisée en dans

le chapitre d'Électrodynamique):

(43.17)

L'équation du mouvement devient:

(43.18)

ou encore:

(43.19)

Comparant les deux dernières équations nous arrivons à notre seconde conclusion: une

particule de charge q se déplaçant à l'envers dans le temps obéit aux mêmes équations du

mouvement qu'une particule de charge opposée-q se déplaçant vers l'avant dans le temps.

L'interprétation physique de la deuxième particule est évidente.

La physique quantique relativiste implique donc l'existence d'antiparticules, qui sont

effectivement observées.

Tout cela pour en arriver où exactement?

- Premièrement, la découverte théorique de l'antimatière permet d'avoir une possible

explication de l'existence de l'Univers qui violait précédemment le principe de conservation de

l'énergie. La théorie que nous venons de voir, prédit donc que l'Univers devrait contenir autant

de matière que d'anti-matière. Les scientifiques sont également à la recherche de la présence

de cette antimatière.

- Deuxièmement, si nous considérons dans le vide un photon d'énergie , il est

capable de porter un électron virtuel vers un état d'énergie positive, où il devient réel. Il

apparaît alors une lacune, ou un "trou" dans la région des énergies négatives. D'après le

principe de la conservation de la charge, on voit apparaître un électron positif, ou positon,

particule antimatérielle symétrique de l'électron.

Ainsi, le photon se matérialise sous la forme d'une paire , avec:

(43.20)

Remarque: Certains résultats expérimentaux semblent montrer que les antiparticules ne sont pas

les parfaits miroirs des particules que nous connaissons. Effectivement, la symétrie droite/gauche

et temporelle ne semble pas être respectée (il y a brisure de symétrie). Nous n'avons encore rien

rédigé à ce sujet sur le présent site mais nous le ferons dès que nous le pourrons.

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