Notes sur le théorème central limite, Notes de Mathématiques

Télécharge Notes sur le théorème central limite et plus Notes au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! Théorème central limite. Le théorème central limite est un ensemble de résultats du début du 20ème siècle sur la convergence faible d'une suite de variables aléatoires en probabilité. Intuitivement, d'après ces résultats, toute somme (implicitement: la moyenne de ses variables) de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend vers une certaine variable aléatoire. Le résultat le plus connu et le plus important est simplement appelé "théorème central limite" qui concerne une somme de variables aléatoires dont le nombre tend vers l'infini et c'est celui-ci que nous allons démontrer de manière heuristique ici. Dans le cas le plus simple, considéré ci-dessous pour la démonstration du théorème, ces variables sont continues, indépendantes et possèdent la même moyenne et la même variance. Pour tenter d'obtenir un résultat fini, il faut centrer cette somme en lui soustrayant sa moyenne et la réduire en la divisant par son écart-type. Sous des conditions assez larges, la loi de probabilité (de la moyenne) converge alors vers une loi Normale centrée réduite. L'omniprésence de la loi Normale s'expliquant par le fait que de nombreux phénomènes considérés comme aléatoires sont dus à la superposition de causes nombreuses. Ce théorème de probabilités possède donc une interprétation en statistique mathématique. Cette dernière associe une loi de probabilité à une population. Chaque élément extrait de la population est donc considéré comme une variable aléatoire et, en réunissant un nombre nde ces variables supposées indépendantes, nous obtenons un échantillon. La somme de ces variables aléatoires divisée par n donne une nouvelle variable nommée la moyenne empirique. Celle-ci, une fois réduite, tend vers une variable Normale réduite lorsque n tend vers l'infini comme nous le savons. Le théorème central limite nous dit à quoi il faut s'attendre en matière de sommes de variables aléatoires indépendantes. Mais qu'en est-il des produits ? Eh bien, le logarithme d'un produit (à facteurs strictement positifs) est la somme des logarithmes des facteurs, de sorte que le logarithme d'un produit de variables aléatoires (à valeurs strictement positives) tend vers une loi Normale, ce qui entraîne une loi log-Normale pour le produit lui-même. En elle-même, la convergence vers la loi Normale de nombreuses sommes de variables aléatoires lorsque leur nombre tend vers l'infini n'intéresse que le mathématicien. Pour le praticien, il est intéressant de s'arrêter un peu avant la limite : la somme d'un grand nombre de ces variables est presque gaussienne, ce qui fournit une approximation souvent plus facilement utilisable que la loi exacte. En s'éloignant encore plus de la théorie, on peut dire que bon nombre de phénomènes naturels sont dus à la superposition de causes nombreuses, plus ou moins indépendantes. Il en résulte que la loi Normale les représente de manière raisonnablement efficace. A l'inverse, on peut dire qu'aucun phénomène concret n'est vraiment gaussien car il ne peut dépasser certaines limites, en particulier s'il est à valeurs positives. Démonstration: Soit une suite (échantillon) de variables aléatoires continues (dans notre démonstration simplifiée...), indépendantes (mesures de phénomènes physiques ou mécaniques indépendants par exemple) et identiquement distribuées, dont la moyenne et l'écart-type existent. Nous avons vu au début de ce chapitre que: (7.169) sont les mêmes expressions d'une variable centrée réduite générée à l'aide d'une suite de n variables aléatoires identiquement distribuées qui par construction a donc une moyenne nulle et une variance unitaire: et (7.170) Développons la première forme de l'égalité antéprécédente (elles sont de toute façon égales les deux!): (7.171) Maintenant utilisons la fonction caractéristique de la loi Normale centrée-réduite: (7.172) Comme les variables aléatoires sont indépendantes et identiquement distribuées, il vient: (7.173) Un développement de Taylor du terme entre accolades donne au troisième ordre: (7.174) Finalement: 08 06: # 2 à t (7.186) ‘ F7 08 08. y 0 02 4 2 ü 2 à t (7.187)  (7.188) (7.189) Ces graphiques obtenus avec Maple à l'aide des commandes suivantes: > with(stats): > with(plots): > e1:=plot(Heaviside(t+1)*statevalf[dcdf,binomiald[1,0.5]](trunc((t+1)/2)),t=- 2..2,y=0..1,color=blue): > e2:=plot(Heaviside(t+sqrt(2))*statevalf[dcdf,binomiald[2,0.5]](trunc((t*sqrt(2)+2)/2)),t=-sqrt(2)- 1..sqrt(2)+1,y=0..1,color=blue): > e3:=plot(Heaviside(t+sqrt(5))*statevalf[dcdf,binomiald[5,0.5]](trunc((t*sqrt(5)+5)/2)),t=-sqrt(5)- 1..sqrt(5)+1,y=0..1,color=blue): > e4:=plot(statevalf[cdf,normald](t),t=-5..5): > e5:=plot(Heaviside(t+sqrt(30))*statevalf[dcdf,binomiald[30,0.5]](trunc((t*sqrt(30)+30)/2)),t=- sqrt(30)-1..sqrt(30)+1,y=0..1,color=blue): > display({e1,e4}); > display({e2,e4}); > display({e4,e3}); > display({e5,e4}); montrent bien la convergence de vers . En fait nous remarquons que la convergence est carrément uniforme ce qui est confirmé par le "théorème central limite de Moivre-Laplace": Soit une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre p, . Alors: (7.190) tend uniformément vers sur lorsque .