Notes sur le théorème central limite, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur le théorème central limite, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le théorème central limite. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le théorème central limite: théorème de probabilités, Démonstration, le développement, les graphiques.
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Théorème central limite.

Le théorème central limite est un ensemble de résultats du début du 20ème siècle sur la

convergence faible d'une suite de variables aléatoires en probabilité. Intuitivement, d'après ces

résultats, toute somme (implicitement: la moyenne de ses variables) de variables aléatoires

indépendantes et identiquement distribuées tend vers une certaine variable aléatoire. Le résultat le

plus connu et le plus important est simplement appelé "théorème central limite" qui concerne une

somme de variables aléatoires dont le nombre tend vers l'infini et c'est celui-ci que nous allons

démontrer de manière heuristique ici.

Dans le cas le plus simple, considéré ci-dessous pour la démonstration du théorème, ces variables

sont continues, indépendantes et possèdent la même moyenne et la même variance. Pour tenter

d'obtenir un résultat fini, il faut centrer cette somme en lui soustrayant sa moyenne et la réduire

en la divisant par son écart-type. Sous des conditions assez larges, la loi de probabilité (de la

moyenne) converge alors vers une loi Normale centrée réduite. L'omniprésence de la loi Normale

s'expliquant par le fait que de nombreux phénomènes considérés comme aléatoires sont dus à la

superposition de causes nombreuses.

Ce théorème de probabilités possède donc une interprétation en statistique mathématique. Cette

dernière associe une loi de probabilité à une population. Chaque élément extrait de la population

est donc considéré comme une variable aléatoire et, en réunissant un nombre nde ces variables

supposées indépendantes, nous obtenons un échantillon. La somme de ces variables aléatoires

divisée par n donne une nouvelle variable nommée la moyenne empirique. Celle-ci, une fois

réduite, tend vers une variable Normale réduite lorsque n tend vers l'infini comme nous le savons.

Le théorème central limite nous dit à quoi il faut s'attendre en matière de sommes de variables

aléatoires indépendantes. Mais qu'en est-il des produits ? Eh bien, le logarithme d'un produit (à

facteurs strictement positifs) est la somme des logarithmes des facteurs, de sorte que le

logarithme d'un produit de variables aléatoires (à valeurs strictement positives) tend vers une loi

Normale, ce qui entraîne une loi log-Normale pour le produit lui-même.

En elle-même, la convergence vers la loi Normale de nombreuses sommes de variables aléatoires

lorsque leur nombre tend vers l'infini n'intéresse que le mathématicien. Pour le praticien, il est

intéressant de s'arrêter un peu avant la limite : la somme d'un grand nombre de ces variables est

presque gaussienne, ce qui fournit une approximation souvent plus facilement utilisable que la loi

exacte.

En s'éloignant encore plus de la théorie, on peut dire que bon nombre de phénomènes naturels

sont dus à la superposition de causes nombreuses, plus ou moins indépendantes. Il en résulte que

la loi Normale les représente de manière raisonnablement efficace.

A l'inverse, on peut dire qu'aucun phénomène concret n'est vraiment gaussien car il ne peut

dépasser certaines limites, en particulier s'il est à valeurs positives.

Démonstration:

Soit une suite (échantillon) de variables aléatoires continues (dans notre démonstration

simplifiée...), indépendantes (mesures de phénomènes physiques ou mécaniques indépendants

par exemple) et identiquement distribuées, dont la moyenne et l'écart-type existent.

Nous avons vu au début de ce chapitre que:

(7.169)

sont les mêmes expressions d'une variable centrée réduite générée à l'aide d'une suite

de n variables aléatoires identiquement distribuées qui par construction a donc une moyenne nulle

et une variance unitaire:

et (7.170)

Développons la première forme de l'égalité antéprécédente (elles sont de toute façon égales les

deux!):

(7.171)

Maintenant utilisons la fonction caractéristique de la loi Normale centrée-réduite:

(7.172)

Comme les variables aléatoires sont indépendantes et identiquement distribuées, il vient:

(7.173)

Un développement de Taylor du terme entre accolades donne au troisième ordre:

(7.174)

Finalement:

(7.175)

Posons:

(7.176)

Nous avons alors:

(7.177)

Nous avons donc quand x tend vers l'infini (cf. chapitre d'Analyse fonctionnelle):

(7.178)

Nous retrouvons donc la fonction caractéristique de la loi Normale centrée réduite!

En deux mots, le Théorème Central Limite (TCL) dit que pour de grands échantillons, la somme

centrée et réduite de n variables aléatoires identiquement distribuées suit une loi Normale centrée

et réduite. Et donc nous avons in extenso pour la moyenne empirique:

(7.179)

Malgré l'immensité de son champ d'applications, le TCL n'est pas universel. Dans sa forme la plus

simple, il impose en particulier à la variable considérée d'avoir des moments du premier et du

deuxième ordre (moyenne et variance). Si tel n'est pas le cas, il ne s'applique plus.

L'exemple le plus simple d'échec du TLC est donné par la distribution de Cauchy, qui n'a ni

moyenne, ni variance, et dont la moyenne empirique a toujours la même distribution (Cauchy)

quelle que soit la taille de l'échantillon.

Maintenant, nous allons illustrer le théorème central limite dans le cas d'une suite de

variables aléatoires indépendantes discrètes suivant une loi de Bernoulli de paramètre 1/2.

Nous pouvons imaginer que représente le résultat obtenu au n-ème lancé d'une pièce de

monnaie (en attribuant le nombre 1 pour pile et 0 pour face). Notons:

(7.180)

la moyenne. Nous avons pour tout n bien évidemment:

(7.181)

et donc:

(7.182)

Après avoir centré et réduit nous obtenons:

(7.183)

Notons la fonction de répartition de la loi Normale centrée réduite.

Le théorème central limite nous dit que pour tout :

(7.184)

A l'aide de Maple nous avons tracé en bleu quelques graphiques de la fonction:

(7.185)

pour différentes valeurs de n. Nous avons représenté en rouge la fonction .

:

(7.186)

:

(7.187)

(7.188)

(7.189)

Ces graphiques obtenus avec Maple à l'aide des commandes suivantes:

> with(stats):

> with(plots):

> e1:=plot(Heaviside(t+1)*statevalf[dcdf,binomiald[1,0.5]](trunc((t+1)/2)),t=-

2..2,y=0..1,color=blue):

> e2:=plot(Heaviside(t+sqrt(2))*statevalf[dcdf,binomiald[2,0.5]](trunc((t*sqrt(2)+2)/2)),t=-sqrt(2)-

1..sqrt(2)+1,y=0..1,color=blue):

> e3:=plot(Heaviside(t+sqrt(5))*statevalf[dcdf,binomiald[5,0.5]](trunc((t*sqrt(5)+5)/2)),t=-sqrt(5)-

1..sqrt(5)+1,y=0..1,color=blue):

> e4:=plot(statevalf[cdf,normald](t),t=-5..5):

> e5:=plot(Heaviside(t+sqrt(30))*statevalf[dcdf,binomiald[30,0.5]](trunc((t*sqrt(30)+30)/2)),t=-

sqrt(30)-1..sqrt(30)+1,y=0..1,color=blue):

> display({e1,e4});

> display({e2,e4});

> display({e4,e3});

> display({e5,e4});

montrent bien la convergence de vers .

En fait nous remarquons que la convergence est carrément uniforme ce qui est confirmé par le

"théorème central limite de Moivre-Laplace":

Soit une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de

paramètre p, . Alors:

(7.190)

tend uniformément vers sur lorsque .

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