Notes sur le théorème de factorisation des polynômes, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur le théorème de factorisation des polynômes, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le théorème de factorisation des polynômes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: factoriser un polynôme, le théorème, l'hypothèse.
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Théorème de factorisation des polynômes.

Nous allons maintenant démontrer une propriété importante qui est au fait à l'origine illustré

(entre autres) par les identités remarquables que nous avons vues plus haut:

Si une fonction polynôme à coefficients dans k de degré a une racine

dans l'anneau k, alors nous pouvons factoriser P(x) par (x - r) tel que:

(8.62)

où Q est une fonction polynôme de degré n-1 (et peut donc être dans certains cas un simple

monôme).

Autrement dit, "factoriser un polynôme", c'est l'écrire sous la forme d'un produit de polynômes. La

factorisation est donc une opération qui transforme une somme en un produit.

Démonstration:

L'idée consiste à effectuer la division euclidienne de P par (x-r). D'après le théorème, il existerait

un couple (Q, R) de polynôme tels que:

(8.63)

et selon le résultat obtenu du théorème précédent sur la division euclidienne:

(8.64)

Or, , donc (ou ). R est donc une fonction polynôme constante. Par

ailleurs, rest une racine de P. Nous avons donc:

(8.65)

Donc . Donc R est la fonction polynôme nulle et le théorème est pratiquement démontré.

Il reste encore à prouver que , ce qui est une conséquence immédiate de la relation:

(8.66)

D'où:

(8.67)

C.Q.F.D.

De cette propriété de factoriser un polynôme vue précédemment, appelée "théorème de

factorisation", nous pouvons donner un avant gout d'un théorème beaucoup plus important:

Montrons que si nous avons une fonction polynôme de degré à coefficients

dans k, alors elle possède au plus un nombre fini n de racines (certaines étant éventuellement

confondues) dans k.

Démonstration:

D'abord, puisque P a un degré, P n'est pas la fonction polynôme nulle. Ensuite, raisonnons par

l'absurde:

Si la fonction P possède p racines avec , en notant ces racines, nous avons, d'après

le théorème de factorisation précédent (appliqué p fois):

(8.68)

où Q est donc une fonction polynôme de degré :

(8.69)

Or, comme par définition un polynôme en est un si seulement son degré appartient à , le

polynôme Q doit donc être le polynôme nul tel que :

(8.70)

Il s'ensuit que :

(8.71)

ce qui contredit l'hypothèse initiale comme quoi P n'est la fonction polynôme nulle d'où :

(8.72)

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