Notes sur le théorème de Ricci, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur le théorème de Ricci, Notes de Mathématiques

PDF (185.1 KB)
8 pages
149Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur théorème de Ricci. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la variation, les deux relations, la démonstration.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 8
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

THÉORÈME DE RICCI

Nous avons vu dans le chapitre de Relativité Restreinte que les géodésique sont les distances

les plus courtes entre deux points dans n'importe quel type d'espace. Ce qui va nous intéresser

maintenant, c'est d'étudier les variations d'un vecteur au cours d'un tel déplacement. Rappelons

d'abord que l'équation des géodésique pour un système de coordonnées curvilignes

quelconque de l'espace ponctuel (cf. chapitre des Principes) est donnée par (cf. chapitre

de Relativité Générale) :

(14.318)

Considérons maintenant un vecteur de composantes covariantes et formons le produit

scalaires des vecteurs et (ce dernier vecteur, noté directement ici de manière

abusive avec les indices, donne les composantes tangentes à la géodésique sur laquelle circule

le premier vecteur), nous avons alors la quantité suivante :

(14.319)

Lors d'un déplacement le long de la géodésique, d'un point M à un point infiniment voisin M', le

scalaire subit la variation :

(14.320)

et comme :

(14.321)

d'où :

(14.322)

Remplaçons dans cette dernière expression, d'une part la différentielle de par sa

différentielle totale exacte :

(14.323)

et d'autre part, la dérivée seconde par son expression tirée de l'équation des

géodésiques. Nous obtenons :

(14.324)

qui peut encore s'écrire :

(14.325)

où nous avons posé :

(14.326)

qui sont par définition les différentielles absolues des composantes covariantes du vecteur .

Nous définissons également la "dérivée covariante" (appelée également "connexion") par la

relation :

(14.327)

Remarque: Dans les ouvrages anciens ou américains ceci est souvent noté sous la forme (que

nous n'utiliserons aucunement sur ce site) :

(14.328)

faisant donc usage du ";" pour noter la dérivée covariante et de la "," pour différentielle partielle.

Puisque la dérivée du produit de deux fonctions est la somme des dérivées partielles, nous

avons alors aussi :

(14.329)

Si nous posons alors nous avons (résultat que nous utiliserons après avoir démontré

le théorème de Ricci pour déterminer le tenseur d'Einstein nécessaire à la relativité générale) :

(14.330)

En coordonnées curvilignes, pour que la différentielle d'un vecteur soit un vecteur, il faut que

les deux vecteurs dont nous prenons la différence se trouvent en un même point de l'espace. En

d'autres termes, il faut transporter, d'une manière ou d'une autre, l'un des deux vecteurs

infiniment voisins au point où se trouve le second et , seulement après faire la différence des

deux vecteurs qui se trouvent maintenant en un seul et même point de l'espace. L'opération de

transport parallèle doit être définie de telle sorte qu'en coordonnées cartésiennes (pour le petit

exemple), la différence des composantes coïncide avec la différence ordinaire .

Ainsi, nous avons bien en coordonnées cartésiennes :

(14.331)

puisque dans ce système : .

Ainsi, en coordonnées curvilignes la différence des composantes des deux vecteurs après le

transport de l'un d'entre eux au point où se trouve l'autre est noté tel que nous ayons :

(14.332)

Ceci nous amène à :

(14.333)

Mais aussi à écrire le principe de moindre action (principe variationnel) sous la forme tensorielle

:

(14.334)

Considérons maintenant un tenseur d'ordre deux, produit de deux tenseurs d'ordre un tel que

(nous l'avons vu lors de notre étude des compositions de tenseurs) :

(14.335)

Donc :

(14.336)

d'où (nous sortons les deux dernières égalités juste pour l'esthétique!):

(14.337)

Ce qui nous amène à pouvoir écrire la métrique sous sa forme variationnelle appelée "identité

de Ricci" :

(14.338)

Mais nous avons aussi puisque :

(14.339)

d'où l'identité :

(14.340)

Avec les deux relations :

et (14.341)

et la différentielle absolue (qui se généralise simplement pour un tenseur d'ordre deux) :

(14.342)

Nous avons :

(14.343)

Or, rappelons que nous avons par définition :

et (14.344)

Donc finalement :

(14.345)

La différentielle absolue sur une géodésique dans l'approximation d'un transport infinitésimal

du tenseur fondamental est donc (comme nous pouvions nous y attendre) nulle. C'est le

"théorème de Ricci". Certains physiciens théoriciens disent dès lors que "la dérivée covariante

tue la métrique" dans le sens où la métrique ne change pas sur un différentiel d'espace.

Finalement, nous voyons aussi que pour un tenseur d'ordre deux (la métrique en particulier)

nous avons :

(14.346)

Nous pouvons donc écrire la différentielle absolue qui dans ce cas particulier est nul :

(14.347)

et donc :

(14.348)

Remarque: Il faudra se rappeler lors de la définition du tenseur d'Einstein que :

et (14.349)

et qu'il s'agit d'une autre manière d'exprimer qu'une variation infinitésimale sur une géodésique

selon le principe de moindre action tue la métrique. Nous allons donc travailler à partir de

maintenant (comme avant déjà) avec des équations différentielles non nécessairement linéaires

qu'il faudra intégrer pour trouver le comportement de la matière dans un espace donné.

Déterminons maintenant une expression qui nous sera très utile en relativité générale lorsque

nous déterminerons l'équation d'Einstein des champs (une autre manière d'exprimer que la

dérivée covariante de la métrique est nulle):

Effectuons la multiplication contractée de l'avant dernière expression par , il vient en

utilisant la relation (que nous avions démontrée beaucoup plus haut que) :

(14.350)

d'où la relation :

(14.351)

Les quantités et représentant les mêmes sommes, nous avons alors :

(14.352)

Soit g le déterminant des quantités . La dérivation du déterminant nous donne :

(14.353)

Démonstration:

Soit une variable quelconque que nous choisissons ici être le temps t uniquement pour

simplifier les notations des calculs qui vont suivre. Lorsque la partie principale du

développement sera achevée, le résultat peut être adapté à tout autre variable et soit les

colonnes d'éléments de .

Pour les développements qui vont suivre, nous définissons les notations :

(14.354)

La règle de dérivation d'un déterminant fonctionnel est (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) :

(14.355)

En considérant le premier déterminant, en faisant appel aux mineurs pour le développement de

sa première colonne :

(14.356)

Pour le terme j, il vient :

(14.357)

Soit :

ou (14.358)

Or, nous avons démontré bien plus haut que le tenseur métrique est son propre inverse. Donc

(14.359)

Ce qui nous permet d'écrire :

(14.360)

et donc :

(14.361)

Ce qui s'écrit également :

(14.362)

Nous pouvons adopter une autre variable. Soit h cette autre variable :

(14.363)

Soit :

(14.364)

En combinant :

et (14.365)

il vient :

(14.366)

Nous avons donc :

(14.367)

Donc finalement (selon les règles des dérivées intérieures) l'expression suivante qui contient

implicitement la dérivée covariant de la métrique :

(14.368)

Effectivement:

(14.369)

C.Q.F.D.

Cette relation ne veut pas dire grand chose tant que nous n'en ferons pas un usage plus

explicite lors de notre travail sur la relativité générale (cf. chapitre de Relativité Générale).

Soit maintenant à déterminer la dérivée covariante seconde du tenseur métrique. Rappelons-

nous avant d'aller plus loin (car c'est important) que nous avions obtenu :

(14.370)

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome