Notes sur le théorème fondamental de l'arithmétique., Notes de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur le théorème fondamental de l'arithmétique., Notes de Méthodes Mathématiques

PDF (317.8 KB)
7 pages
184Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur le théorème fondamental de l'arithmétique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le théorème fondamental de l'arithmétique, les congruences, la démonstration, La relation de congruenc...
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 7
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Théorème fondamental de l'arithmétique.

Le théorème fondamental de l'arithmétique dit que tout nombre naturel peut s'écrire comme

un produit de nombres premiers, et cette représentation est unique, à part l'ordre dans lequel les

facteurs premiers sont disposés.

Le théorème établit l'importance des nombres premiers. Essentiellement, ils sont les briques

élémentaires de construction des entiers positifs, chaque entier positif contenant des nombres

premiers d'une manière unique.

Remarque: Ce théorème est parfois appelé "théorème de factorisation" (un peu à tort... car d'autres

théorèmes portent le même nom...).

Démonstration:

Si n est premier, alors la preuve est terminée. Supposons que n n'est pas premier et considérons

l'ensemble:

(4.62)

Alors, et , puisque n est composé, nous avons que . D'après le principe du bon

ordre, D possède un plus petit élément qui est premier, sans quoi le choix minimal

de serait contredit. Nous pouvons donc écrire . Si est premier, alors la preuve est

terminée. Si est composé, alors nous répétons le même argument que précédemment et nous

en déduisons l'existence d'un nombre premier et d'un entier tels que . En

poursuivant ainsi nous arrivons forcément à la conclusion que sera premier.

Donc finalement nous avons bien démontré qu'un nombre quelconque est décomposable en

facteurs de nombres premiers à l'aide du principe du bon ordre.

C.Q.F.D.

Nous ne connaissons pas à ce jour de loi simple qui permette de calculer le n-ième facteur

premier . Ainsi, pour savoir si un entier m est premier, il est pratiquement plus facile à ce

jour de vérifier sa présence dans une table de nombres premiers.

En fait, nous utilisons aujourd'hui la méthode suivante :

Soit un nombre m, si nous voulons déterminer s'il est premier ou non, nous calculons s'il est

divisible par les nombres premiers qui appartiennent à l'ensemble :

(4.63)

Exemple:

L'entier 223 n'est divisible par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7, ni par 11, ni par 13. Il est inutile de

continuer avec le prochain nombre premier, car . Nous en déduisons dès lors que

le nombre 223 est premier.

4.3. CONRUENCES

Définition: Soit . Si a et b ont même reste dans la division euclidienne par m nous

disons que "aest congru à b modulo m", et nous écrivons :

(4.64)

ou de manière équivalente il existe un nombre entier relatif k tel que :

(4.65)

Le lecteur pourra vérifier que cela impose que

(4.66)

soit en français.... que m divise la différence entre a et b. Dans le cas contraire, nous disons que

"a est non congru à b modulo m".

Une autre manière de dire tout cela si ce n'est pas clair... :

L'étude de ces propriétés qui relient trois nombres entre eux est appelée communément

"l'arithmétique modulaire".

Remarques:

R1. Que nous soyons bien d'accord, la congruence implique un reste nul pour la division !

R2. Nous excluons en plus de 0 aussi 1 et -1 pour les valeurs que peut prendre m dans la définition

de la congruence dans certains ouvrages.

R3. Derrière le terme de congruence se cachent des notions semblables mais de niveaux

d'abstraction différents :

- En arithmétique modulaire, nous disons donc que "deux entiers relatifs a et b sont congrus

modulo m s'ils ont même reste dans la division euclidienne par m". Nous pouvons aussi dire qu'ils

sont congrus modulo m si leur différence est un multiple de m.

- Dans la mesure des angles orientés, nous disons que "deux mesures sont congrues

modulo si et seulement si leur différence est un multiple de ". Cela caractérise

deux mesures d'un même angle (cf. chapitre de Trigonométrie).

- En algèbre, nous parlons de congruence modulo I dans un anneau commutatif (cf. chapitre de

Théorie Des Ensembles) dont I est un idéal : "x est congru à y modulo I si et seulement si leur

différence appartient I". Cette congruence est une relation d'équivalence, compatible avec les

opérations d'addition et multiplication et permet de définir un anneau quotient de l'ensemble parent

avec son idéal I.

- Nous trouvons parfois, dans l'étude de la géométrie (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) le

terme de congru mis à la place de semblable. Il s'agit alors d'une simple relation d'équivalence sur

l'ensemble des figures planes.

La relation de congruence est une relation d'équivalence (cf. chapitre sur les Opérateurs), en

d'autres termes , soient alors la relation de congruence est :

P1. Réflexive :

(4.67)

P2. Symétrique :

(4.68)

P3. Transitive :

(4.69)

Démonstration:

Les propriétés P1 et P2 sont évidentes (si ce n'est pas le cas faites le nous savoir nous

développerons!). Nous démontrerons P3. Les hypothèses impliquent que .

Mais alors :

(4.70)

ce qui montre que a et c sont congrus modulo m.

C.Q.F.D.

La relation de congruence est compatible avec la somme et le produit (se rappeler que la

puissance n'est finalement qu'une extension du produit!).

Effectivement, soient tel que et alors :

P1.

P2.

Démonstrations:

Nous avons:

(4.71)

par hypothèse. Mais alors :

(4.72)

ce qui démontre P1. Nous avons également :

(4.73)

ce qui démontre P2.

C.Q.F.D.

Remarque: La relation de congruence se comporte sur de nombreux points comme la relation d'égalité.

Néanmoins une propriété de la relation d'égalité n'est plus vraie pour celle de congruence, à savoir la

simplification : si , nous n'avons pas nécessairement .

Exemple :

mais

Jusqu'ici, nous avons vu des propriétés des congruences faisant intervenir un seul modulus. Nous

allons maintenant étudier le comportement de la relation de congruence lors d'un changement de

modulus.

P1. Si et d|m, alors

P2. Si et alors a et b sont congrus modulo [r,s]

Ces deux propriétés sont évidentes. Inutile d'aller dans les détails pour P1. Pour P2, puisque b-

a est un multiple de r et de s puisque par hypothèse :

(4.74)

b-a est donc un multiple du PPCM de r et s, ce qui démontre P2.

De ces propriétés il vient que si nous désignons par f(x) un polynôme à coefficient entiers (positifs

ou négatifs):

(4.75)

La congruence donnera aussi .

Si nous remplaçons x successivement par tous les nombres entiers dans un polynôme f(x) à

coefficients entiers, et si nous prenons les résidus pour le module m, ces résidus se

reproduisent de m en m (dans le sens où la congruence se vérifie), puisque nous avons, quel que

soit l'entier m et x:

(4.76)

Nous en déduisons alors l'impossibilité de résoudre la congruence suivante :

(4.77)

en nombres entiers, si r désigne l'un quelconque des non-résidus (un résidu qui ne satisfait pas la

congruence).

CLASSES DE CONGRUENCE

Définition: Nous appelons "classe de congruence modulo m", le sous-ensemble de

l'ensemble défini par la propriété que deux éléments a et b de sont dans la même classe si

et seulement si ou qu'un ensemble d'éléments entre eux sont congrus par ce

même modulo.

Remarque: Nous avons vu dans le chapitre traitant des opérateurs qu'il s'agit en fait d'une classe

d'équivalence car la congruence modulo m est, comme nous l'avons démontré plus haut, une relation

d'équivalence.

Exemple:

Soit . Nous divisons l'ensemble des entiers en classes de congruence modulo 3. Exemple de

trois ensembles dont tous les éléments sont congrus entre eux sans reste (observez bien ce que

donne l'ensemble des classes!) :

(4.78)

Ainsi, nous voyons que pour chaque couple d'élément d'une classe de congruence, la congruence

modulo 3 existe. Cependant, nous voyons que nous ne pouvons pas prendre où

-9 se trouve dans le première classe et -8 dans le seconde.

Le plus petit nombre non négatif de la première classe est 0, celui de la deuxième est 1 et celui de

la dernière est 2. Ainsi, nous noterons ces trois classes respectivement , le chiffre 3

en indice indiquant le modulus.

Il est intéressant de noter que si nous prenons un nombre quelconque de la première classe et un

nombre quelconque de la deuxième, alors leur somme est toujours dans la deuxième classe. Ceci

se généralise et permet de définir une somme sur les classes modulo 3 en posant :

(4.79)

Ainsi que :

(4.80)

Ainsi, pour tout , la classe de congruence de :

(4.81)

est l'ensemble des entiers congrus à a modulo m (et congrus entre eux modulo m). Cette classe

est notée :

(4.82)

Remarque: Le fait d'avoir mis entre parenthèse l'expression "et congrus entre eux modulo m" est du au fait

que la congruence, étant une relation d'équivalence nous avons comme nous l'avons démontré plus haut

que si , alors .

Définition: L'ensemble des classes de congruences (qui forment par le fait que la congruence

est une relation d'équivalence des : "classes d'équivalences"), pour un m fixe donne ce que nous

appelons un "ensemble quotient" (cf. chapitre Opérateurs). Plus rigoureusement, nous parlons de

"l'ensemble quotient de par la relation de congruence" dont les éléments sont les classes de

congruences (ou : classes d'équivalences) et qui forment alors l'anneau .

Nous déduisons de la définition les deux propriétés triviales suivantes :

P1. Le nombre b est dans la classe si et seulement si

P2. Les classes et sont égales si et seulement si

Montrons maintenant qu'il y a exactement m différentes classes de congruence modulo m, à

savoir .

Démonstration:

Soit , alors tout nombre entier a est congru modulo m à un et un seul entier r de

l'ensemble (remarquez bien, c'est important, que nous nous restreignons aux

entiers positifs ou nuls sans prendre en compte les négatifs!). De plus, cet entier r est exactement

le reste de la division de a par m. En d'autres termes, si , alors :

(4.83)

si et seulement si où q est le quotient de a par m et r le reste. La démonstration est

donc une conséquence immédiate de la définition de la congruence et de la division euclidienne.

C.Q.F.D.

Définition: Un entier b est dans une classe de congruence modulo m est appelé "représentant de

cette classe" (il est claire que par la relation d'équivalence que deux représentants d'une même

classe sont donc congrus entre eux modulo m).

Nous allons pouvoir maintenant définir une addition et une multiplication sur les classes de

congruences. Pour définir la somme de deux classes , il suffit de prendre un représentant

de chaque classe, de faire leur somme et de prendre la classe de congruence du résultat. Ainsi

(voir les exemples plus haut) :

(4.84)

et de même pour la multiplication :

(4.85)

Par définition de la somme et du produit, nous constatons que la classe de 0 est l'élément neutre

pour l'addition :

(4.86)

et la classe de l'entier 1 est l'élément neutre pour la multiplication :

(4.87)

Définition: Un élément de est "une unité" s'il existe un élément tel

que

Le théorème suivant permet de caractériser les classes modulo m qui sont des unités

dans :

Théorème : Soit [a] un élément . Alors [a] est une unité si et seulement si .

Démonstration:

Supposons d'abord que . Alors par Bézout, nous avons son identité :

(4.88)

Autrement dit, as est congru à 1 modulo m. Mais ceci est équivalent à écrire par définition

que ce qui montre que [a] est une unité. Réciproquement, si [a] est une unité, ceci

implique qu'il existe une classe [s] telle que .

Ainsi, nous venons de démontrer que constitue bien un anneau puisqu'il possède une

addition, une multiplication, un élément neutre et un inverse.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome