Notes sur le théorie des graphes - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur le théorie des graphes - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le théorie des graphes - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'histoire de la théorie des graphes, définitions, exemple, démonstration, remarques.
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Cours de théorie des graphes.

L'histoire de la théorie des graphes (ou des "complexes cellulaires") débute peut-être avec les travaux d'Euler au 18ème siècle et trouve son origine dans l'étude de certains problèmes, tels que

celui des ponts de Königsberg (les habitants de Königsberg se demandaient s'il était possible, en

partant d'un quartier quelconque de la ville, de traverser tous les ponts sans passer deux fois par

le même et de revenir à leur point de départ), la marche du cavalier sur l'échiquier ou le problème

de coloriage de cartes et du plus court trajet entre deux points.

La théorie des graphes s'est alors développée dans diverses disciplines telles que la chimie

(isomères), la biologie, les sciences sociales (réseaux de transports), gestion de projets (C.P.M.),

informatique (topologie des réseaux, complexité algorithmique. protocoles de transferts), la

physique quantique, etc.. Depuis le début du 20ème siècle, elle constitue une branche à part

entière des mathématiques, grâce aux travaux de König, Menger, Cayley puis de Berge et d'Erdös.

De manière générale, un graphe permet de représenter la structure, les connexions d'un ensemble

complexe en exprimant les relations entre ses éléments : réseau de communication, réseaux

routiers, interaction de diverses espèces animales, circuits électriques, ...

Les graphes constituent donc une méthode de pensée qui permet de modéliser une grande variété

de problèmes en se ramenant à l'étude de sommets et d'arcs.

Les derniers travaux en théorie des graphes sont souvent effectués par des informaticiens, du fait

de l'importance qu'y revêt l'aspect algorithmique (voir le début du chapitre de Méthodes

Numériques pour un petit exemple).

Effectivement, il s'agit essentiellement de modéliser des problèmes. Nous exprimons le problème

en termes de graphes et ensuite il devient un problème de la théorie des graphes que nous savons

le plus souvent résoudre car il rentre dans une catégorie de problèmes connus.

Les solutions de problèmes de graphes peuvent être faciles et efficaces (car le temps nécessaires

pour les traiter informatiquement est raisonnable car il dépend polynomialement du nombre de

sommets du graphe) ou difficiles (car le temps de traitement est exponentiel) dans quel cas nous

utilisons une heuristique, c'est-à-dire un processus de recherche d'une solution (pas forcément la

meilleure).

La théorie des graphes connaît un assez grand engouement ces 30 dernières, peut-être est-ce

parce qu'elle ne nécessite pas dans ses concepts élémentaires de bagage mathématique

considérable. Effectivement, il suffit d'avoir parcouru les chapitres de Probabilités, de Théorie Des

Ensembles et d'Algèbre Linéaire ainsi que de Topologie présentés sur le site pour déjà se sentir à

l'aise avec les différentes définitions.

Nous allons introduire le vocabulaire de base de la théorie des graphes. Les termes employés sont

ceux du langage commun de la géométrie euclidienne (et malheureusement ils sont aussi en

grand nombre...).

Définitions:

D1. Un "graphe" (ou "polygraphe") G est un couple constitué d'un ensemble X non vide

et fini (les sommets), et d'un ensemble E (les arêtes) de paires d'éléments de X ou autrement dit

(...) d'une partie du produit cartésien (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

Remarque: Un graphe est souvent noté en français G=(S,A) où le S est la première lettre de Sommet

et A la première lettre de Arêtes.

L'ensemble des sommets est noté G(X) et l'ensemble des arêtes G(E).

Un graphe est aussi dit "graphe planaire" quand nous pouvons le représenter dans un plan sans

qu'il y ait intersection d'arêtes.

Maintenant, montrons que si F est le nombre de faces d'un graphe planaire (on compte aussi la

face extérieure infinie), A son nombre d'arêtes et S sont nombre de sommets nous avons alors ::

(27.1)

qui est la relation connue sous le nom de "formule d'Euler" ou "théorème de Descartes-Euler"

(démonstration après l'exemple) et qui nous sera utile plusieurs fois sur ce site (dans le présente

chapitre et lors de notre étude des polyèdres dans le chapitre sur les Formes Géométriques).

Exemple:

Un graphe à 2 faces (la face en gris claire est la face extérieure infinie), 4 sommets et 4 arêtes :

(27.2)

Démonstration:

Nous démontrons cette formule en effectuant une récurrence sur A-S :

D'abord, la formule est vraie pour car, dans ce cas, le graphe est un arbre donc il n'a

qu'une seule face, donc , donc .

Puis, prenons un graphe connexe (voir définition plus loin) contenant au moins un cycle G (la

figure ci-dessous est un exemple de graphe avec 3 cycles) :

(27.3)

Si nous retirons une arête e à ce cycle, nous devrions pouvoir alors par récurrence appliquer au

graphe la même formule si elle est juste. Effectivement le graphe amputé de l'arête

aura F faces, S sommets et A arrêtes et donc la formule :

F - A + S = 2 (27.4)

si nous lui remettons l'arrête alors nous écrirons :

(F + 1) - (A + 1) + S = F - A + S =2 (27.5)

C.Q.F.D.

D2. Les éléments de X sont donc les "sommets" du graphe G, ceux de E sont les "arêtes" du

grapheG (effectivement, une arrête est composée de deux sommets, d'où l'allusion aux paires

d'éléments dans la définition précédente).

Remarque: Dans un "multigraphe", les deux sommets d'une arête peuvent être identiques (boucle) et

deux arêtes distinctes peuvent avoir leurs deux extrémités communes. Un multigraphe ne satisfait

plus alors la définition D1.

D3. Soit une arête de G, nous disons que les sommets x, y qui sont les "extrémités" de

l'arête de G, sont "adjacents" ou "voisins" dans le graphe G, et que l'arête e est "incidente" aux

sommets x, y.

D4. Si deux arêtes e et e' ont une extrémité en commun, nous dirons qu'elles sont "incidentes",

autrement, qu'elles sont indépendantes.

Remarque: Si e est une arête de G, nous noterons le sous-graphe de .

Si X ' est un sous-ensemble de X, nous noterons le graphe G privé des sommets de X '.

D5. Ce que nommons "ordre" du graphe est le nombre de ses sommets.

Soit G un graphe d'ordre n (donc le nombre de sommets), l'ensemble E doit être par définition

choisi comme sous-ensemble de l'ensemble des paires d'éléments de l'ensemble X, donc d'un

ensemble (trivial - puisque un sommet ne peut pas être voisin à lui-même) de cardinal :

(27.6)

En conséquence, il existe (voir le chapitre de Probabilités : arrangements de n éléments non-

distinguables par couple de deux) :

(27.7)

choix possibles pour E et donc autant de graphes admettant X pour ensemble de sommets.

Certains de ces graphes, sont par le fait que nous considérons leurs sommets comme non-

distinguables "automorphes" (voir la définition de ce terme un peu plus loin dans ce chapitre).

Le résultat obtenu signifie qu'il existe environ 2 millions de graphes à 7 sommets, et

quelques graphes à 27 sommets - chiffre à comparer avec le fait que nous estimons à

moins de le nombre d'atomes dans l'Univers (...).

D6. Le "voisinage" d'un sommet est l'ensemble de ses voisins.

D7. Nous appelons "degré" d'un sommet s et notons D(s), le nombre de ses voisins, qui est

également le nombre d'arêtes qui lui sont incidentes (un sommet de degré zéro étant appelé un

"sommet isolé").

Remarque: Un sommet de degré 1 est appelé "sommet pendant".

Propriétés (sans démonstration) :

P1. La somme des degrés des sommets est égale au double du nombre d'arêtes.

P2. Dans un graphe, le nombre de sommets de degré impair est toujours pair.

P3. Un graph ayant tous ses sommets de degré pair est d'ordre impair (excepté pour le sommet

isolé).

Remarque: Un "graphe régulier" est un graphe dont tous les sommets ont même degré k. Nous

disons alors que le graphe est "k-régulier".

D8. Nous dirons qu'un graphe est un "sous-graphe" ou "sous-graphe induit" d'un

graphe lorsque et .

D9. Un "sous-graphe recouvrant" d'un graphe est un sous-graphe , c'est-

à-dire un sous-graphe dont sont sommets tous les sommets de G et dont les arêtes sont dans E'.

D10. Pour un graphe d'ordre n, il existe deux cas extrêmes pour l'ensemble de ses arêtes : soit le

graphe n'a aucune arête, soit toutes les arêtes possibles pouvant relier les sommets deux à deux

sont présentes. Dans ce dernier cas le graphe est dit appelé un "graphe complet".

Exemple:

Voici quelques graphs complets pour lesquels nous avons bien :

(27.8)

arêtes. Nous remarquons que les quatre premiers graphs sont planaires (effectivement remarquez

comment il est possible de transformer le quatrième K4 de manière à ce qu'il n'y ait plus

d'intersections). Le cinquième graph K5est non-planaire (nous ne pouvons trouver des

déplacements évitant les croisements).

(27.9)

Remarque: Un graphe complet est donc un graphe où chaque sommet est relié à tous les autres. Le

graphe complet d'ordre n est noté . Dans ce graphe chaque sommet est de degré n-1 ("l'étoile de

David" n'est complète que si l'on joint tous les sommets entre eux - ainsi nous perdons la géométrie

de l'étoile mais obtenons un graphe ).

D11. Un "graphe stable" est sous-graphe sans arête et une "clique" un sous-graphe complet.

D12. Dans un graphe il est naturel de vouloir se déplacer de sommet en sommet en suivant les

arêtes. Une telle marche passant par n sommets est appelée une "chaîne" ou un "chemin" :

Un chemin ("path" en anglais) est une liste de sommets telle qu'il existe dans

le graphe une arête entre chaque paire de sommets successifs : . La

longueur du chemin correspond au nombre d'arêtes parcourus : k-1.

Un chemin est dit "chemin simple" si chaque arête du chemin est empruntée une seule fois. Voici

par exemple une chemin simple avec 5 sommets:

(27.10)

Ainsi, nous définissons aussi un "cycle" :

(27.11)

comme étant un chemin simple finissant à son point de départ tel que . Ainsi, s'il existe

deux chaînes distinctes reliant deux sommets x et y d'un graphe G, alors ce graphe admet un

cycle.

D13. Un "cycle simple" est un cycle dont toutes les arêtes sont différentes.

D14. Un "graphe orienté" est un graphe dont les arêtes ont une direction et un sens et sont dès

lors appelées des "arcs" (donc à l'opposé du graph non-orienté).

Remarques:

R1. Les termes de "chemin" et de "circuit" s'emploient en propre pour les graphes orientés. Pour les

graphes non orientés que nous manipulons principalement ici, nous parlons de "chaîne" et de

"cycle". Cependant la définition formelle est exactement la même dans les deux cas, seule change la

structure (graphe orienté ou non) sur laquelle ils sont définis.

R2. Un graphe non orienté n'est qu'un graphe orienté symétrique. Effectivement, si un arc relie le

sommet a au sommet b et un autre arc relie le somme b au sommet a, nous ne traçons alors qu'un

trait entre a et b que nous appelons... une arête.

D15. Un chemin est dit "chemin élémentaire" si chacun des sommets du parcours

est visité une seule fois : . Un chemin élémentaire est donc un chemin

simple et sans cycle.

Propriétés : Dans un graphe G d'ordre n :

P1. Tout chemin élémentaire est de longueur au plus n-1. Effectivement, Un chemin élémentaire

visitant au plus 1 fois chaque sommet du graphe, sa longueur (nombre d'arêtes) ne peut

effectivement excéder n-1.

P2. Le nombre de chemins élémentaires dans le graphe est fini. Effectivement, le nombre de

chemins de longueur est au plus la combinatoire du choix d'une suite

de k+1 sommets distinguables parmi n. Il y en a donc (cf. chapitre de Probabilités):

(27.12)

Les chemins élémentaires sont la restriction naturelle que nous recherchons à la notion de chemin.

La question qui se pose est de savoir si nous perdons quelque chose en ne considérant que les

chemins élémentaires dans un graphe : peut-on toujours remplacer un chemin du graphe par un

chemin élémentaire?

Le "lemme de König" répond affirmativement à cette question : de tout chemin nous pouvons

extraire un sous-chemin élémentaire.

L1. S'il existe un chemin entre 2 sommet x et y, alors il existe un chemin élémentaire entre x et y.

Démonstration:

L'idée de la preuve est de choisir un chemin particulier entre x et y et de montrer qu'il est

élémentaire. Quel chemin choisir? Si un chemin comporte un circuit, ce circuit est un détour sur la

route menant de x et y. Un bon candidat à être un chemin élémentaire semble donc être un plus

court chemin.

Parmi tous les chemins reliant x à y, choisissons ainsi un

chemin comportant le moins d'arêtes. Supposons par l'absurde que p n'est

pas élémentaire. Il existe alors un sommet z apparaissant au moins 2 fois le long du chemin p.

Soient i, j les 2 premiers indices tels que et :

(27.13)

Pour obtenir une contradiction, il suffit de supprimer le cycle entre et . Alors :

(27.14)

est un chemin, reliant x à y. Sa longueur est strictement inférieure à celle de p', ce qui contredit

notre choix dep' comme étant un plus court chemin.

D16. Un graphe est dit "graphe connexe" si et seulement si, il existe au moins un chemin entre

chaque paire de sommets (le chemin n'étant donc implicitement pas nécessairement direct -

pouvant passer par un ou plusieurs sommets intermédiaires). S'il existe un chemin entre chaque

paire de sommets, nous disons que nous avons un "graphe fortement connexe".

Remarques: Que se passe-t-il si le graphe G n'est pas connexe? Il apparaît alors comme un

ensemble de graphes connexes mis les uns à coté des autres. Chacun de ces graphes est un sous-

graphe particulier de G, appelé "composante connexe". Il est souvent utile de se placer sur les

composantes connexes d'un graphe pour se ramener au cas d'un graphe connexe.

D17. Un "arbre" ou "arbre couvrant" est un graphe connexe, sans cycle simple (acyclique) et sans

boucles (il s'agit donc d'une forêt connexe). Dans un arbre le nombre d'arrêtes est égal au nombre

de sommets - 1.

D18. Un "arbre valué" ou "graphe valué" est un arbre (respectivement un graphe) où les arêtes ont

des valeurs (pondérations) positives. La somme de toutes les valeurs qui sont sur les arêtes

parcourues d'un arbre est appelé alors le "coût d'un arbre valué" (respectivement "coût d'un graphe

valué").

Remarque: Les arbres valués sont utilisés dans de très nombreux domaines. Citons les réseaux

informatiques dans lesquels on cherche à optimiser le nombre d'interconnexions entre machines

pour éviter les redondances d'envois de paquets de données ou la gestion de projets (voir l'exemple

ci-dessous).

Exemple:

Un excellent exemple pratique de graphe connexe valué et orienté (abrégé sous le terme de

"digraphe") est celui utilisé en gestion de projets pour le calcul du chemin critique. Il s'agit d'un

graphe qui représente les dépendances entre n tâches intermédiaires nécessaires pour réaliser un

projet, communément appelé "diagramme de Gantt" ou en encore "graphe d'ordonnancement". La

durée (poids) de chaque tâche est la valeurs des arcs incidents extérieurement au noeud

correspondant. Les arcs représentent les contraintes d'enchaînement des tâches. Nous ajoutons

toujours un noeud (dans le monde de la gestion de projets on parle plutôt de jalon...) initial et un

noeud final. Le premier est relié par un arc de valeur nulle à tous les noeuds sans prédécesseurs,

et tous les noeuds sans successeurs sont reliés au noeud final. Le graphe obtenu doit évidemment

être acyclique.

Un "chemin critique" est un chemin de longueur maximale entre les deux jalons. Il peut

éventuellement y en avoir plusieurs, de même longueur. Toute tâche située sur un chemin critique

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