Notes sur le triedre de Frenet - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur le triedre de Frenet - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le triedre de Frenet - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le repère de Frenet, la relation, la démonstration.
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Triedre de Frenet.

Le repère de Frenet est un outil d'étude du comportement local des courbes. Plus exactement, il

s'agit d'un repère local associé à un point décrivant une courbe . Son mode de construction est

différent selon si l'espace ambiant est de dimension 2 (courbe plane) ou 3 (courbe gauche).

Le repère de Frenet, et les formules de Frenet (donnant les dérivées des vecteurs de ce repère),

permettent de mener de façon systématique des calculs de courbure, de torsion pour les courbes

gauches et d'introduire des concepts géométriques intéressants associés aux courbes.

Considérons pour commencer une courbe avec son abscisse curviligne s(t) et son

origine. Nous notons par définition:

(25.36)

la tangente à la courbe de paramètre t au voisinage d'un point M par rapport à un repère posé

en O avecds qui se calcule comme nous l'avons montré précédement.

Il est intéressant de remarquer que si t s'interprète comme le temps, alors nous avons une vitesse:

(25.37)

et donc le vecteur est dirigé dans le sens du mouvement.

De plus, par construction et définition de l'abscisse curviligne nous avons toujours :

(25.38)

et donc le vecteur tangent au point M est unitaire (et non nul!).

Maintenant, sans savoir exactement à quoi cela va nous servir pour l'instant, intéressons nous au

vecteur:

(25.39)

Sachant trivialement de ce qui précède que :

(25.40)

Alors nous avons :

(25.41)

donc déjà n'est à priori pas unitaire et lui est perpendiculaire (résultat qui va nous servir

plusieurs fois par la suite donc il faut s'en rappeler)!

Posons maintenant:

(25.42)

Etant donné le résultat précédent, est le vecteur perpendiculaire unitaire à en M (nous

disons que ce couple de vecteur est "orthonormal direct") et C est par définition la "courbure".

Nous pouvons également aborder la courbure C d'une façon plus géométrique plutôt que par une

définition tombée du ciel:

Nous savons à ce point de notre discours qu'en un point d'une courbe (dérivable au moins

une fois en tout point...), il existe un vecteur tangent non nul qui est .

En tout point voisin M (d'abscisse curviligne s), le vecteur tangent peut s'écrire en approximation :

(25.43)

si la courbe se trouve localement dans un même plan (car nous étudions ici la courbure et non la

torsion de la courbe)!

Deux normales en M et M0 se coupant donc en un point Ω, la figure suivante:

(25.44)

montre qu'au premier ordre en ds, le point M peut être considéré localement comme déduit du

point M0 par une rotation de centre Ω.

Le cercle ainsi défini, de rayon:

(25.45)

est celui qui tangente le mieux la courbe localement au point M0. Son rayon se déduit de la figure

(deux triangles semblables à la limite) :

(25.46)

d'où, puisque est unitaire, la définition et la valeur de la courbure :

(25.47)

et voilà!

Il est possible d'interpréter le concept de courbure comme la vitesse de rotation de la base de

Frenet par rapport à une direction fixe.

Le couple de vecteurs ( , ) est appelé "repère de Frenet" et ses vecteurs de base les "vecteurs

de Frenet".

Le repère de Frenet est un repère mobile puisque les éléments de ce repère changent selon le

point considéré. En physique, il ne faut pas confondre cette notion avec celle de référentiel :

puisque les vecteurs de Frenet se déplacent avec le point!

Remarque: La définition de C tel que ci-dessus est vraie dans le cadre d'un choix d'une courbure

positive. C'est un point de vue pris en mécanique mais non nécessaire en mathématique.

Si , alors comme vu précédement:

(25.48)

où R est appelé le "rayon de courbure".

Quant à la relation :

(25.49)

elle est appelé "1ère formule de Frenet" et montre que et sont colinéaires et donc leur

produit vectoriel est nul (résultat utilisé plus loin).

Ces relations se jusitifient par l'analogie avec la mécanique. Effectivement, nous avons démontré

plus haut que:

(25.50)

Calculons maintenant l'accélération:

(25.51)

nous retrouvons alors le résultat obtenu dans le chapitre de Mécanique Classique lors de notre

étude du plan osculateur.

Pour donner une interprétation géométrique plus exacte de la courbure nous définissons d'abord

par le centre du "cercle osculateur" (se trouvant dans le plan osculateur) ou "cercle de courbure"

de rayon R qui tangente le mieux localement tel que dans le repère de Frenet:

(25.52)

Pour préciser géométriquement ce qu'est le cercle osculateur, prenez une courbe, et un

point M sur cette courbe. Tracez ensuite la normale au point de cette courbe localement plane et

prenez un point sur la normale. Alors, le cercle de centre O passant par le point M est tangent à

la courbe. Mais tous les cercles tangents à la courbe ne sont pas tangents de la même façon! En

effet, si est proche de M, le cercle va se situer plutôt à l'extérieur de la courbe (cercle bleu dans

la figure ci-dessous). Si est proche de M, le cercle va se situer plutôt à l'intérieur de la courbe

(cercle rose dans la figure ci-dessous). Le rayon limite entre être "à l'intérieur de la courbe" et être

"à l'extérieur de la courbe" est par convention le "rayon de courbure" que nous avons défini plus

haut. Le cercle correspondant à ce rayon est alors le fameux "cercle osculateur".

(25.53)

Dans le cas particulier où est un vecteur constant :

(25.54)

et donc ce qui implique que R n'est plus défini. Nous disons quelque fois dans ce cas que le

rayon de courbure à est infini (une droite présente alors une courbure nulle en tout point).

Etudions maintenant le vecteur perpendiculaire au plan osculateur défini par:

(25.55)

Nous pouvons déjà dire, étant donné que et sont unitaires que l'est aussi (ce qui va nous

servir plus loin)!

Démontrons que est orthogonal à :

(25.56)

où nous avons pris le cas particulier (mais de toute manière en généralité et sont

colinéaires comme nous l'avons démontré donc le produit vectoriel entre ces deux vecteurs est

toujours nul).

C.Q.F.D.

Démontrons maintenant que est colinéaire à :

De la même manière que nous avons démontré plus haut que est perpendiculaire à , nous

démontrons que est perpendiculaire à !

Nous avons donc:

(25.57)

Et étant donné que est aussi perpendiculaire à (démonstration précédente) il est donc

colinéaire à .

C.Q.F.D.

Posons maintenant :

(25.58)

Cette relation constitue la "2ème formule de Frenet" où par définition, est le "vecteur binormal"

de au point M et en est la "torsion" et R' le "rayon de torsion".

Nous pouvons maintenant établir la "3ème formule de Frenet" :

(25.59)

d'où nous tirons :

(25.60)

Or de par les propriétés du produit vectoriel :

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