Notes sur le triedre de Frenet - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur le triedre de Frenet - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le triedre de Frenet - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les remarques, les nappes parametrées, la métrique d'une surface, la première forme quadratique fondamentale.
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(25.61)

d'où la 3ème formule de Frenet :

(25.62)

Nous appelons "trièdre de Frenet" associé à au point M, le repère naturel orthonormal de

l'espace :

(25.63)

où, en mécanique, le vecteur est colinéaire à la vitesse et l'accélération tangentielle et est

colinéaire à l'accélération normale.

Remarque: Le rayon de courbure R est donc dans le plan osculateur (plan formé par le vecteur

tangent et normal à la courbe) qui est le meilleur plan dans lequel est contenu la courbe. Du coup, le

rayon de courbure donne en un point (localement) le meilleur ("le plus vrai") rayon de la courbe. La

torsion nous donne par contre la tendance qu'à la courbe à sortir du plan osculateur (in extenso si la

courbe est contenue dans un plan, la torsion est nulle).

Cherchons le rayon et le centre de courbure en tout M à notre hélice définie plus haut comme

exemple pratique. Rappelons que sa fonction paramétrique est donnée par :

(25.64)

et que :

(25.65)

Nous avons dès lors :

(25.66)

Au passage, vous remarquerez que nous avons bien:

(25.67)

Ainsi, la courbure (l'inverse du rayon de courbure) est donnée par :

(25.68)

Donc le rayon de courbure vaut :

(25.69)

Ce qui est conforme à l'intuition puisque lorsque le pas h de l'hélice est nul, le rayon de courbure

vaut r et lorsque le pas h tend vers l'infini le rayon de courbure tend vers l'infini aussi et la

courbure vers zéro.

Et il vient par la première formule de Frenet le vecteur normal:

(25.70)

et dont tous les points (extrémités du vecteur) sont confondus à l'axe Z de notre hélice quelque

soit h! La coordonnées de la composante z de ce vecteur est nulle étant donnée que la normale est

pris par rapport à un point M de la courbe déjà à une hauteur h implicite.

De par la 3ème formule de Frenet nous avec le vecteur binormal:

(25.71)

et le rayon de torsion étant donné par la relation :

(25.72)

Nous avons donc :

(25.73)

d'où :

(25.74)

NAPPES PARAMETRÉES

Soient :

avec (25.75)

Appelons . Si g est continue, alors est une surface de l'espace "surface d'un seul

tenant". Par définition, dans ce qui suit, le couple où g est une fonction supposée continue

sera appelé "nappe paramétrée", et le "support" de la nappe paramétrée. Nous disons encore

que et sont des paramétrages de .

Remarquons que pour une surface (par exemple un disque), il existe plusieurs nappes

paramétrées associées (par exemple les coordonnées cartésiennes, polaires, sphériques).

Soit maintenant et:

(25.76)

tels que

Nous pouvons définir :

(25.77)

Si nous supposons h continue, il est claire que est un arc paramétré. Appelons son

support, nous avons et nous disons que est une "courbe tracée" ou "courbe inscrite"

sur .

Remarque: Nous supposerons toujours désormais que

Soit . Intéressons nous aux deux courbes tracées sur définies par les

arcs paramétrés suivants :

avec

avec

(25.78)

et sont les deux fonctions dites "fonctions partielles" de g en .

Les supports de et sont appelés "courbes-coordonnées"

de en relativement au paramétrage . Nous les notons respectivement et .

Nous appelons aussi "1ère courbe-coordonnée" et "2ème courbe-coordonnée".

Il est bien sûr évident (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) que :

(25.79)

est tangent à en et que est tangent à en .

(25.80)

MÉTRIQUE D'UNE SURFACE

Soit :

avec (25.81)

Notons , autrement dit :

(25.82)

Nous avons aussi (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

(25.83)

et nous avons démontré au début de ce chapitre que l'abscisse curviligne dans un espace cartésien

était donnée par :

(25.84)

Nous avons donc après substitution :

(25.85)

Ce qui est équivalent à écrire :

(25.86)

De manière plus traditionnelle avec la notation :

(25.87)

Nous obtenons la "première forme quadratique fondamentale":

(25.88)

Comme nous l'avons déjà démontré en calcul tensoriel, cette expression est indépendante de la

nappe paramétrée car l'élément de longueur infiniment petit ds est indépendant du

paramétrage de . Cette forme quadratique est donc un invariant qui représente la métrique

sur .

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