Notes sur les axiomes de Hilbert, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les axiomes de Hilbert, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les axiomes de Hilbert. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: cinq catégories, les axiomes d'assocations, les axiomes d'ordre, les axiomes de congruence, les axiomes de continuité, ax...
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Axiomes de Hilbert.

Euclide a rassemblé toutes les connaissances géométriques de son temps sous la forme des ses

cinq postulats. Il a laissé son nom à la géométrie euclidienne qui utilise son cinquième postulat, à

la géométrie non-euclidienne qui ne l'utilise pas, et aux espaces euclidiens.

Cette base postulée est néanmoins imparfaite, pour démontrer rigoureusement les théorèmes

associés à cette géométrie, il est nécessaire d'admettre comme vrai des hypothèses

supplémentaires implicites. David Hilbert construisit une axiomatique correspondante à l'idée que

se faisait Euclide de la géométrie en ajoutant les hypothèses ad hoc.

Les axiomes de Hilbert sont eux regroupés en cinq catégories: l'association, l'ordre, la congruence,

la continuité et les parallèles.

Trois concepts sont associés à cette axiomatique :

1. Celui de l'association définit le mot "contient", il correspond aux notions "est élément de" et "est

inclu dans" de la théorie des ensembles.

2. Celui de "l'ordre" correspond à "une relation binaire" entre un couple de points et un point, il

apparaît dans les expressions "entre" et permet de définir les segments.

3. La congruence, qui correspond à trois "relations d'équivalence" pour les couples de points, les

triangles et les angles.

Remarque: Les points, droites et plans sont considérés comme distincts par défaut.

Voici donc les "axiomes de Hilbert" :

AXIOMES D'ASSOCATIONS (A)

A.A1. Soit deux points, il existe une droite passant par ces deux points.

A.A2. Soit deux points, il n'existe qu'une unique droite passant par ces deux points (in extenso la

droite décrite en A.A1) est unique.

A.A3. Une droite contient au moins deux points, et pour une droite donnée, il existe au moins un

point non contenu dans la droite.

A.A4. Soit trois points non contenus dans une droite, il existe un plan contenant ces trois points.

Tout plan contient au moins un point.

A.A5. Soit trois points non contenus dans une droite, il n'existe qu'un unique plan contenant ces

trois points.

A.A6. Soit deux points contenus dans une droite D et dans un plan A, alors a contient tous les

points de d.

A.A7: Si deux plans A et B contiennent tout deux un point C, alors l'intersection de A et B contient

au moins un autre point.

A.A8: Il existe au moins quatre points non coplanaires.

AXIOMES D'ORDRE (O)

A.O1. Si un point B est entre les points A et C, B est aussi entre les points C et A, et il existe une

droite contenant les trois points A,B,C.

A.O2. Soit deux points A et C, il existe un point B élément de la droite AC tel que C se situe

entre A et B.

A.O3.: Soit trois points contenus dans une droite, alors un et un seul se situe entre les deux

autres.

A.O4. ("Axiome de Pasch") Soit trois points A, B, C non colinéaires, et soit une droite D contenue

dans le planABC mais ne contenant aucun des points A, B, C: Si D contient un point du

segment AB, alors D contient aussi soit un point du segment AC soit un point du segment BC.

AXIOMES DE CONGRUENCE (G)

Remarque: Intuitivement "congruent" signifie en géométrie "superposable".

A.G1. Soit deux points A, B et un point A' élément d'une droite d, il existe deux et deux uniques

points C et D, tel que A' se situe entre C et D, et AB est congru A'C et AB est congru à A'D.

A.G2. La relation de congruence est transitive, c'est à dire, si AB est congru à CD et si CD est

congru à EF, alorsAB est congru à EF.

A.G3. Soit une droite d contenant les segments adjacents [AB] et [BC], et soit une

droite d' contenant les segments adjacents [A'B'] and [B'C'] . Si [AB] est congru à [A'B'] et [BC] est

congru à [B'C'] alors [AC] est congru à [A'C'].

A.G4. Soit un angle ABC et une demi-droite B'C' , il existe deux et seulement deux demi-

droites, B'D et B'E, tel que l'angle DB'C' est congru à l'angle ABC et l'angle EB'C' est congru à

l'angle ABC.

Corollaire: Tout angle est congru à lui-même.

A.G5. Soit deux triangles ABC et A'B'C' tel que AB est congru à A'B', AC est congru à A'C' , et

l'angle BAC est congru à l'angle B'A'C' , alors le triangle ABC est congru au triangle A'B'C' .

Remarque: Ces axiomes permettent de comparer les segments, et aussi les angles de définir le milieu d'un

segment, les droites orthogonales, de parler de triangles équilatéraux, isocèles, etc... Ils permettent

également de définir rigoureusement les déplacements dont Euclide faisait si souvent usage sans les avoir

définis.

AXIOMES DE CONTINUITÉ (C)

DA1. ("Axiome d'Archimède") Soient [AB] et [CD] deux segments quelconques. Alors il existe

toujours une suite finie de points appartenant à la droite contenant le segment [AB] et

tels que qui peuvent satisfaire .

DA2. ("Axiome de Cantor") Si et sont deux suites infinies de points telles

que et telles que , alors il existe un

point X appartenant à tous les segments . En d'autres termes : soit une suite de segments

emboîtés dont la longueur tend vers 0 alors il y a un point commun à tous les segments.

Remarque: Ces axiomes permettent d'établir une correspondance entre les points d'une droite

et l'ensemble des nombres réels.

AXIOMES DES PARALLÈLES (P)

A.P1. Soit d une droite et P un point n'appartenant pas à d. Il passe une et une seule

droite d' par P qui soit parallèle à d.

Autre formulation équivalente :

A.P1. Soit une droite d, un point P non inclu dans d, alors il existe un plan contenant d et A. Ce

plan contient une et une unique droite contenant P et ne contenant aucun point de d.

Nous ne pouvons pas réellement démontrer la non-contradiction logique de l'ensemble de ces

axiomes. Cependant nous savons deux choses si nous faisons un parallèle avec ce que nous avons

étudié dans la section d'Arithmétique et d'Algèbre du site (en particulier les chapitres sur la

Théorie Des Ensembles, l'Analyse Fonctionnelle, les Suites Et Séries) :

1. Si ces axiomes sont contradictoires, alors la théorie des nombres réels est contradictoire.

2. Si le système d'axiomes obtenu en supprimant l'axiome de Cantor est contradictoire, alors la

théorie des nombres rationnels est contradictoire.

Ainsi, la confiance qu'on a dans la solidité de ces axiomes repose sur celle qu'on a dans la théorie

des nombres réels, qui est très grande.

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