Notes sur les bases numériques., Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les bases numériques., Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes de mathématique sur les bases numériques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Définition, Exemple.
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Bases numériques. Pour écrire un nombre dans un système de base b, nous devons commencer par

adopter b caractères destinés à représenter les b premiers nombres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}. Ces

caractères sont comme nous les avons déjà définis, les "chiffres" que nous énonçons comme à

l'ordinaire.

Pour la numérotation écrite, nous faisons cette convention, qu'un chiffre, placé à gauche d'un

autre représente des unités de l'ordre immédiatement supérieur, ou b fois plus grandes. Pour tenir

la place des unités qui peuvent manquer dans certains ordres, nous nous servons du zéro (0) et

par suite, le nombre de chiffres employés peut varier.

Définition: Pour la numérotation parlée, nous convenons d'appeler "unité simple", "dizaine",

"centaine", "millier", etc., les unités du premier ordre, du second, du troisième, du quatrième, etc.

Ainsi les nombres 10, 11, ..., 19 se liront de même dans tous les systèmes de numérotation. les

nombres 1a, 1b, a0, b0, ... se liront dix-a, dix-bé, a-dix, bé-dix, etc. Ainsi, le nombre 5b6a71c se

lira :

cinq millions bé-cent soixant-a mille sept cent dix-cé

Cet exemple est pertinent car il nous montre l'expression générale de la langue parlée que nous

utilisons quotidiennement et intuitivement en base dix (faute à notre éducation).

Remarques:

R1. Les règles des opérations définies pour les nombres écrits dans le système décimal sont les

mêmes pour les nombres écrits dans un système quelconque de numérotation.

R2. Pour opérer rapidement dans un système quelconque de numérotation, il est indispensable de

savoir par coeur toutes les sommes et tous les produits de deux nombres d'un seul chiffre.

R3. Le fait que la base décimale ait été choisie est semblerait t'il due au fait que l'humain a dix

doigts.

Voyons comment nous convertissons un système de numérotation dans un ordre:

Exemple :

En base dix nous savons que 142'713 s'écrit:

(2.5)

En base deux (base binaire) le nombre 0110 s'écrirait en base 10:

(2.6)

et ainsi de suite...

L'inverse (pour l'exemple de la base deux) est toujours un peu plus délicat. Par exemple la

conversion du nombre décimal 1'492 en base deux se fait par divisions successives par 2 des

restes et donne (le principe est à peu près identique pour toutes les autres bases):

(2.7)

Ainsi, pour convertir le nombre 142'713 (base décimale) en base duodécimale (base douze) nous

avons (notation :q est le "quotient", et r le "reste") :

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

Ainsi nous avons les restes 6, 10, 7, 0, 9 ce qui nous amène à écrire :

(2.13)

Nous avons choisi pour ce cas particulier la symbolique que nous avions définie précédemment (a-

dix) pour éviter toute confusion.

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