Notes sur les calculs d'erreurs, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les calculs d'erreurs, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les calculs d'erreurs/incertitudes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: deux types d'incertitudes: les incertitudes absolues et relatives, les erreurs statistiques, la propagation ...
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Calculs d'erreurs/incertitudes.

Il est impossible de connaître (mesurer) la valeur exacte d'une grandeur physique

expérimentalement, il est très important donc d'en déterminer l'incertitude.

Nous appelons bien évidemment "erreur", la différence entre la valeur mesurée et la valeur exacte.

Cependant, comme nous ignorons la valeur exacte, nous ne pouvons pas connaître l'erreur

commise quand même.... Le résultat est donc toujours incertain. C'est la raison pour laquelle nous

parlons des "incertitudes de mesure".

Nous distinguons deux types d'incertitudes :

1. Les "erreurs systématiques" : elles affectent le résultat constamment et dans le même sens

(erreurs des appareils de mesures, limites de précision, etc.). Il faut alors éliminer, ou corriger le

résultat, si possible !

2. Les "erreurs accidentelles" (statistiques) : il faut alors répéter les mesures, calculer la moyenne

et évaluer l'incertitude en utilisant les outils de statistique.

Le deuxième type d'erreurs faits un très gros usage de tous les outils statistiques que nous avons

présentés jusqu'à maintenant. Nous ne reviendrons donc pas dessus et nous concentrerons alors

uniquement sur quelques nouveaux concepts.

11.1. INCERTITUDES ABSOLUES ET RELATIVES

Si la vraie valeur d'une grandeur est x (connue théoriquement) et la valeur mesurée est , est

"l'incertitude absolue" (l'incertitude dû aux appareils de mesure) telle que :

(7.297)

Le résultat s'écrit alors :

(7.298)

"L'incertitude relative" est quant à elle définie par :

(7.299)

L'incertitude absolue permet de savoir l'approximation du dernier chiffre significatif de celle-ci.

Par contre, lorsque nous désirons comparer deux mesures ayant des incertitudes absolues afin de

déceler lequel a la plus grande marge d'erreur, nous calculons l'incertitude relative de ce nombre

en divisant l'incertitude absolue par le nombre, et transformé en pourcentage.

En d'autres termes, l'incertitude relative permet d'avoir une idée de la précision de la mesure en %.

Si nous faisons une mesure avec une incertitude absolue de 1 [mm], nous ne saurons pas si c'est

une bonne mesure ou non. Ça dépend si nous avons mesuré la taille d'une pièce de monnaie, de

notre voisin, de la distance Paris-Marseille ou de la distance Terre-Lune. Bref, ça dépend de

l'incertitude relative (c'est-à-dire du rapport de l'incertitude absolue sur la mesure).

11.2. ERREURS STATISTIQUES

Dans la plupart des mesures, nous pouvons estimer l'erreur due à des phénomènes aléatoires,

appelée "erreur aléatoire", par une série de nmesures et ce à l'opposé de "l'erreur

systématique" qui est la part non aléatoire de l'erreur.

L'erreur aléatoire permet d'introduire les notions de :

- Répétabilité: qui est définie comme l'étroitesse de l'accord entre les résultats de mesurages

successifs d'une même grandeur, effectués avec la même méthode, par le même opérateur, avec

les mêmes instruments de mesure, dans le même laboratoire, età des intervalles de temps assez

courts.

- Reproductibilité (parfois appelé "justesse"): qui est définie comme l'étroitesse de l'accord entre

les résultats de mesurages successifs d'une même grandeur, dans le cas où les mesurages

individuels sont effectués : suivant différentes méthodes, au moyen de différents instruments de

mesure, par différents opérateurs dans différents laboratoires.

Ces deux notations sont toujours regroupées sous le sigle "R&R" dans l'industrie. En général,

l'accord est moins bon quand il s'agit de reproductibilité.

Ces deux types d'erreurs peuvent être illustrées par le tir à la cible:

(7.300)

Comme nous l'avons vu plus haut, la valeur moyenne arithmétique sera alors :

(7.301)

et l'écart moyen (estimateur biaisé démontré plus haut) :

(7.302)

et l'écart quadratique moyen ou écart-type (estimateur sans biais) :

(7.303)

et nous avions démontré que l'écart-type de la moyenne était donné par :

(7.304)

et comme nous l'avons vu, après un grand nombre de mesures indépendantes, la distribution des

erreurs sur une mesure suit une loi Normale tel que nous puissions écrire (si nous n'avons pas

assez de mesures, nous utiliserons l'I.C. basé sur la loi de Student):

(7.305)

bref nous pouvons réutiliser tous les outils statistiques vus jusqu'ici dans le domaine de la mesure

en laboratoire ou ailleurs!

Le résultat d'une mesure doit ainsi comporter en toute rigueur 4 éléments. Par exemple:

(7.306)

où nous avons:

1. La valeur numérique avec un nombre correct de décimales

2. Unité de la mesure selon le standard du système international

3. Incertitude élargie de (intervalle de confiance)

4. La valeur entière du k utilisée pour l'intervalle de confiance.

11.3. PROPAGATION DES ERREURS

Soit une mesure et une fonction de x. Quelle est l'incertitude sur y ?

Lorsque est petit, f(x) est remplacé au voisinage de x par sa tangente (il s'agit simplement de

la dérivée bien sûr) :

(7.307)

mais si y dépend de plusieurs grandeurs x,z,t mesurées avec les incertitudes :

(7.308)

alors l'erreur maximale possible est alors la différentielle totale exacte (cf. chapitre de Calcul

Différentiel Et Intégral) :

(7.309)

Ce qui conduit à :

(7.310)

Il apparaît ainsi clairement qu'une opération mathématique ne peut améliorer l'incertitude sur les

données.

Remarque: Le résultat d'une multiplication, d'une division, d'une soustraction ou d'une addition est arrondi

à autant de chiffres significatifs que la donnée qui en comporte le moins.

11.4. CHIFFRES SIGNIFICATIFS

Dans les petites écoles (et aussi les plus grande parfois), il est demandé de transformer une

mesure exprimée en une certaine unité en une autre unité.

Par exemple, en prenant les tables, nous pouvons avoir le type de conversion suivante :

(7.311)

Vient alors la question suivante (que l'élève peut avoir oublié...). Au départ d'une mesure dont la

précision est de l'ordre de 1 [lb] (donc de l'ordre de 0.5 [kg]), une simple conversion d'unité

pourrait-elle amener à une précision au 1/10 [mg] près ?

De cet exemple il faut donc retenir qu'une marge d'incertitude est associée à toute valeur mesurée

et à toute valeur calculée à partir de valeurs mesurées.

Dans les sciences exactes, tout raisonnement, toute analyse doit prendre cette incertitude en

compte.

Mais pourquoi des chiffres sont-ils significatifs et d'autres pas alors ? Parce qu'en sciences, nous

ne rapportons que ce qui a objectivement été observé (principe d'objectivité). En conséquence,

nous limitons l'écriture d'un nombre aux chiffres raisonnablement fiables en dépit de l'incertitude :

les chiffres significatifs. La précision que des chiffres supplémentaires sembleraient apporter est

alors illusoire.

Il faut alors savoir arrondir selon des règles et conventions:

- Lorsque le chiffre de rang le plus élevé qu'on laisse tomber est supérieur à 5, le chiffre précédent

est augmenté de 1 (exemple : 12.66 s'arrondit à 12.7). Dans MS Excel:

=ROUND(12.66;1)=12.7

- Lorsque le chiffre de rang le plus élevé qu'on laisse tomber est inférieur à 5, le chiffre précédent

reste inchangé (exemple 12.64 s'arrondit à 12.6). Dans MS Excel:

=ROUND(12.64;1)=12.6

- Lorsque le chiffre de rang le plus élevé qu'on laisse tomber est égal à 5, si un des chiffres qui le

suivent n'est pas nul, le chiffre précédent est augmenter de 1 (exemple : 12.6502 s'arrondit à

12.7). Dans MS Excel:

=ROUND(12.6502;1)=12.7

- Si le chiffre de rang le plus élevé que nous laissons tomber est un 5 terminal (qui n'est suivi

d'aucun chiffre) ou qui n'est suivi que de zéros, nous augmentons de 1 le dernier chiffre du

nombre arrondi s'il est impair, sinon nous le laissons inchangé (exemples : 12.75 s'arrondit à 12.8

et 12.65 à 12.6). Dans ce dernier cas, le dernier chiffre du nombre arrondi est toujours un chiffre

pair. Les tableurs ne respectent pas vraiment cette dernière règle, effectivement avec MS Excel

nous avons:

=ROUND(12.75;1)=12.8

=ROUND(12.65;1)=12.7

Au fait dans la pratique ces règles sont peu utilisées car les logiciels (tableurs) n'intègrent pas des

fonctions adaptées. Il est alors d'usage d'arrondir simplement à la valeur de la décimale la plus

proche.

Les chiffres significatifs d'une valeur comprennent tous ses chiffres déterminés avec certitude ainsi

que le premier chiffre sur lequel porte l'incertitude (ce dernier significatif occupe le même rang

que l'ordre de grandeur de l'incertitude).

Souvent, les sources de données ne mentionnent pas d'intervalle de confiance (c'est-à-dire une

indication +/-). Par exemple, lorsque nous écrivons nous considérons

conventionnellement que l'incertitude est du même ordre de grandeur que le rang du dernier

chiffre significatif (soit le chiffre incertain).

En fait, seul le rang décimal de l'incertitude est implicite : sa marge réelle n'est pas précisée.

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