Notes sur les catégories, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les catégories, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les catégories. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la "théorie des catégories", définitions le diagramme.
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Catégories.

L'introduction des catégories à travers la "théorie des catégories" par Eilenberg et MacLane en

1942 avait pour but de transformer de difficiles problèmes de Topologie en problèmes plus

abordables d'algèbre. Plus tard, la théorie des catégories s'est beaucoup développée, à la fois pour

elle-même et pour ses applications dans les domaines les plus variés des mathématiques (par

exemple en géométrie différentielle). Même si une partie de son développement autonome a

parfois été critiquée, les catégories sont maintenant reconnues comme un langage puissant pour

développer une sémantique universelle des structures mathématiques. On les utilise aussi en

logique et plus récemment en physique, et une collaboration fructueuse semble se développer

entre catégoriciens et informaticiens.

Définitions:

D1. Intuitivement une "catégorie" est juste un graphe orienté sur lequel nous nous sommes donné

une loi pour composer des flèches consécutives, vérifiant certains axiomes.

D2. Un "graphe orienté" est formé d'un ensemble d'objets, appelés sommets du graphe, avec des

liens entre eux, représentés par des flèches d'un sommet A vers un sommet B, ce que nous

notons . Nous disons que A est la "source" de la flèche, et B son "but". Il peut y avoir

plusieurs flèches de même source et de même but (nous les disons "parallèles") et il peut y avoir

des flèches "fermées", dont la source et le but sont confondus.

D3. Deux flèches f, g sont dites "flèches consécutives" si le but de la première est en même temps

la source de la seconde:

(27.44)

Nous disons alors qu'elles forment un chemin de longueur 2 de A vers C. Plus généralement, un

chemin (de longueur n) de A vers est une suite de n flèches consécutives :

(27.45)

Une catégorie est donc un graphe dans lequel nous définissons une composition de flèches,

associant à tout chemin (f , g) de longueur 2 de A vers C une flèche du graphe de A vers A,

dite composée du chemin, et notéefg :

(27.46)

Cette composition vérifie les axiomes suivants:

A1. Associativité : Si fgh est un chemin de longueur 3, les deux composés f(gh) et (fg)h que nous

en déduisons sont associatifs. Il s'ensuit qu'à tout chemin de longueur n est aussi associé un seul

composé de sommets (invariance de l'itinéraire).

A2. Identités : A tout sommet A est associée une flèche fermée de A vers A, dite "identité" de A et

notée , dont le composé avec une flèche de source ou de but A est égal à cette autre flèche.

Remarques:

R1. Les sommets du graphe sont aussi appelés "objets" de la catégorie et ses flèches des

"morphismes" (ou simplement "liens") dans le cadre de la théorie des catégories

R2. Une flèche f est un isomorphisme (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) s'il existe une

flèche g (appelée "inverse") telle que les composés fg et gf soient des identités (cet inverse est alors

unique).

Ainsi, une catégorie est formée par des objets (les sommets du graphe) et des liens entre eux (les

flèches ou morphismes), mais l'idée essentielle est de privilégier les liens sur les objets. En fait, le

succès des catégories dans les domaines les plus variés est dû à la richesse des informations sur

les objets qui peuvent être déduites de la seule considération des liens et des opérations sur

ceux-ci, quelle que soit la nature et l'anatomie de ces objets.

Dans les quelques lignes qui suivent, nous expliquerons comment lire les graphes orientés que

nous pouvons rencontrer parfois dans les livres de math. Ceci sera un bon exemple de la théorie

des catégories car nous avons déjà rencontrés de tels graphes sans les décrire dans les chapitres

sur les Nombres et la Cryptographie par exemple.

Pour simplifier nous allons expliquer ces diagrammes lorsque les objets de base sont les

ensembles (ce qui est le cas le plus courant sur l'ensemble du site de toute manière).

Considérons trois ensembles A, B, et C et trois applications :

, et (27.47)

Nous pouvons considérer les applications f, g et h comme des flèches qui relient les objets

(ensembles) A, B, et Cpour former un triangle.

(27.48)

Définition (simpliste): Nous disons que le diagramme fléché ci-dessus est "un diagramme

commutatif" si tous les chemins que nous empruntons pour aller d'un objet (ensemble) à un autre

représentent la même application.

Remarque: Il existe deux façons d'aller de A à C . Nous pouvons y aller directement par g ou bien

suivre d'abord f puis h. Ce dernier chemin est représenté par l'application composée (cf.

chapitre de Théorie Des Ensembles). Ainsi le diagramme ci-dessus est commutatif si .

Nous pouvons donc introduire la définition plus formelle :

Définition: Le diagramme ci-dessus est commutatif si .

Remarque: Rappelons que ceci veut dire que pour tout élément .

Nous pouvons compliquer à souhait les diagrammes en considérant plus d'ensembles et de flèches

(applications) les reliant. Par exemple :

(27.49)

Ce diagramme étant commutatif si et seulement si .

Remarques:

R1. Généralement dans la littérature mathématique lorsque de tels diagrammes sont sous-entendu

comme étant commutatifs.

R2. Comme déjà mentionné, les objets de ces diagrammes peuvent plus généralement être des

groupes des anneaux des espaces topologiques etc. Dans ces cas, les flèches ne sont plus des

applications quelconques mais respectivement des homomorphismes de groupes, des

homomorphismes d'anneaux, des applications continues, etc.

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