Notes sur les critères de convergence, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les critères de convergence, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les critères de convergence. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le test de l'intégrale, la règle d'alembert, la règle de cauchy, le théoreme de leibniz, la convergence absolue, le...
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CRITÈRES DE CONVERGENCE

Lorsque nous étudions une série, l'une des questions fondamentales est celle de la convergence

ou de la divergence de cette série.

Si une série converge, son terme général tend vers zéro lorsquen tend vers l'infini :

(11.302)

Ce critère est nécessaire mais non suffisant pour établir la convergence d'une série. Par contre, si

ce critère n'est pas rempli, on est absolument sûr que la série ne converge pas (donc elle diverge!).

Trois méthodes sont proposées pour approfondir le critère de convergence :

1. Le test de l'intégrale

2. La règle d'Alembert

3. La règle de Cauchy

Dans les paragraphes suivants, nous admettrons des séries à terme positifs. Le cas de la série

alternée sera vu ultérieurement.

TEST DE L'INTÉGRALE

Soit la série à termes positifs décroissants :

(11.303)

c'est-à-dire :

(11.304)

et soit une fonction continue décroissante telle que :

(11.305)

nous pouvons alors affirmer que :

1. Si l'intégrale :

(11.306)

converge, la série converge également.

2. Si l'intégrale :

(11.307)

diverge, la série diverge également.

Remarque: En aucun cas l'intégrale ne donne la valeur de la somme de la série ! Le test de

l'intégrale donne simplement une indication sur la convergence de la série. Avant de faire le test de

l'intégrale, il est important de vérifier que les termes de la série soient strictement décroissants afin

de remplir la condition .

RÈGLE D'ALEMBERT

Si dans une série à termes positifs :

(11.308)

le rapport (assimilable à une fonction prise en son entier) a une limite

finie L lorsque :

(11.309)

1. Si , la série converge

2. Si , la série diverge

3. Si on ne peut rien dire

et nous définissons le "rayon de convergence" comme :

(11.310)

RÈGLE DE CAUCHY

Si dans une série à termes positifs :

(11.311)

la quantité a une limite finie L lorsque telle que :

(11.312)

avec à nouveau les mêmes considérations que pour la règle d'Alembert :

1. Si , la série converge

2. Si , la série diverge

3. Si on ne peut rien dire

THÉOREME DE LEIBNIZ

Nous avons considéré jusqu'à présent des séries à termes positifs. Nous allons considérer dans

cette partie des séries dont les termes sont alternés, c'est-à-dire des séries de la forme :

(11.313)

Définition: Une série est dite "série alternée" si deux termes consécutifs de cette série sont de

signe contraire.

Si dans une série alternée les termes en valeur absolue vont en décroissant :

(11.314)

et si :

(11.315)

alors la série converge, sa somme est positive et n'est pas supérieure au premier terme.

Si S est la somme de la série et une somme partielle, alors :

(11.316)

Remarque: Il est important de vérifier que les valeurs absolues des termes de la série soient

strictement décroissantes afin de remplir la condition précédente.

CONVERGENCE ABSOLUE

Définition: Une série à termes variables est dite absolument convergente si la série formée avec la

valeur absolue de ses termes converge :

(11.317)

Si une série alternée de termes est absolument convergente, la série absolue qui en découle

converge aussi.

Nous pouvons généraliser la règle d'Alembert au cas des séries à termes quelconques :

(11.318)

Ainsi, le rapport a une limite finie L lorsque pour nous avons :

(11.319)

toujours avec les mêmes conclusions que pour la règle d'Alembert normale.

THÉOREME DU POINT FIXE

Le théorème du point fixe n'est pas vraiment utile en physique (implicitement il est indispensable

mais les physiciens utilisent souvent des outils mathématiques dont les propriétés ont déjà été

validées au préalable par des mathématiciens), cependant nous le retrouvons en théorie du chaos

(les vortex, tourbillons, etc...) ainsi qu'en informatique théorique (voir chapitre traitant des

fractales en particulier le triangle de Sierpinski). Nous ne saurions donc que recommander au

lecteur de prendre le temps de lire et de comprendre les explications qui vont suivre.

Soit (X,d), un espace métrique complet (cf. chapitre de Topologie ou des Fractales) et

soit une application strictement contractante de constante L (voir les fonctions

lipschitziennes chapitre de topologie), alors il existe un unique point tel que

. est alors dit le "point fixe" de T. De plus si nous notons par :

(11.320)

l'image de x par le n-ème itéré de T, nous avons alors :

(11.321)

et la vitesse de convergence peut d'ailleurs être estimée par :

(11.322)

Démonstration:

Soit nous considérons la suite définie comme ci-dessus. Nous allons d'abord

montrer que cette suite est une suite de Cauchy (voir plus haut sur la présente page ce qu'est une

suite de Cauchy).

En appliquant l'inégalité triangulaire (cf. chapitre d'Analyse Vectorielle) plusieurs fois nous avons :

(11.323)

Or :

(11.324)

donc :

(11.325)

pour finir :

(11.326)

c'est-à-dire que dans un premier temps est bien une suite de Cauchy.

(X,d) étant un espace complet nous avons que converge, et nous posons :

(11.327)

A présent, nous vérifions que est bien un point fixe de T. En effet T est uniformément continue

(car lipschitzienne - voir le chapitre de Topologie) donc à fortiori continue ainsi:

(11.328)

Il reste à vérifier que est l'unique point fixe (du coup nous aurons démontré que ne dépend

pas du choix de x). Supposons que nous ayons aussi alors :

(11.329)

Une estimation de la vitesse de convergence est donnée par:

(11.330)

est continue par rapport à chacune des variables donc:

(11.331)

et les limites préservent les inégalités (non strictes) donc:

(11.332)

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