Notes sur les décompositions en chemins, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les décompositions en chemins, Notes de Mathématiques

PDF (132.6 KB)
3 pages
36Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur les décompositions en chemins. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la forme, la démonstration.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document

DÉCOMPOSITIONS EN CHEMINS

Les intégrales curvilignes comme celles données précédemment peuvent aussi être écrites sous

une autre forme assez classique et souvent utilisée dans la pratique.

Voyons cela. D'abord, nous venons de démontrer dans le cas particulier d'une fonction

holomorphe que:

(17.143)

mais un chemin fermé peut être vu comme un chemin ayant un aller et un retour:

(17.144)

Nous avons alors:

(17.145)

Et maintenant viens ce qui nous intéresse.... pour cela concentrons-nous sur une des intégrales

curviligne du type:

(17.146)

Nous savons que tout nombre complexe z du type:

(17.147)

peut être écrit sous la forme:

(17.148)

et pour intégrer sur un chemin, rien ne nous empêche d'en choisir un où r serait fixe (le

module) et variable (nous n'aurions pas pu faire cela avec la première forme d'expression car

en faisant varier que la partie imaginaire ou réelle nous ne pouvons pas obtenir de courbe alors

que cela est possible avec la forme d'Euler d'un nombre complexe)!

Nous avons alors:

(17.149)

Nous pouvons dès lors écrire:

(17.150)

et comme:

(17.151)

d'où:

(17.152)

ce que nous retrouvons souvent sous la forme suivante dans la littérature:

(17.153)

Cette relation va nous être maintenant utile à démontrer un résultat nécessaire pour notre

étude de la couronne.

CHEMIN INVERSE

Si C est une courbe allant d'un point P à un point Q, nous notons alors la même courbe

mais parcourue de Q à P.

Paramétrisons :

Si C(t) est la courbe définie sur [a, b] nous définissons la courbe définie sur [a, b] par:

(17.154)

En effet, nous avons alors bien avec cette paramétrisation:

et (17.155)

et lorsque t croit de a à b, a + b - t décroît de b à a. n'est donc que C mais parcourue dans

le sens inverse.

Nous avons alors en utilisant la dernière démonstration:

(17.156)

Posons:

(17.157)

d'où:

(17.158)

Nous avons alors:

(17.159)

Donc si et C sont les chemins d'une même fonction mais parcourues dans le sens inverse,

nous avons en reprenant notre notation conventionnelle (attention dans le deuxième terme il

est implicite que la paramétrisation est différente du premier!):

(17.160)

Soit:

(17.161)

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome