Notes sur les démonstrations - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les démonstrations - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les démonstrations - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les définitions, les règles de démonstration, les exemples.
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Démonstrations.

Les démonstrations que l'on trouve dans les ouvrages de mathématiques sont des assemblages de

symboles mathématiques et de phrases contenant des mots clés tels que: "donc", "parce que", "si",

"si et seulement si", "il est nécessaire que", "il suffit de", "prenons unx tel que", "supposons que",

"cherchons une contradiction", etc. Ces mots sont supposés être compris par tous de la même

manière, ce qui n'est en fait, pas toujours le cas.

Dans tout ouvrage, le but d'une démonstration est de convaincre le lecteur de la vérité de l'énoncé.

Suivant le niveau du lecteur, cette démonstration sera plus ou moins détaillée : quelque chose qui

pourra être considéré comme évident dans un cours de licence pourrait ne pas l'être dans un cours

de niveau inférieur.

Dans un devoir, le correcteur sait que le résultat demandé à l'étudiant est vrai et il en connaît la

démonstration. L'étudiant doit démontrer (correctement) le résultat demandé. Le niveau de détail

qu'il doit donner dépend donc de la confiance qu'aura le correcteur : dans une bonne copie, une

"preuve par une récurrence évidente" passera bien, alors que dans une copie où il y eu auparavant

un "évident", qui était évidemment... faux, ça ne passera pas!

Pour pouvoir gérer convenablement le niveau de détail, il faut savoir ce qu'est une démonstration

complète. Ce travail de formalisation a été fait qu'au début de 20ème siècle!!

Plusieurs choses peuvent paraître surprenantes:

- il n'y a qu'un nombre fini de règles: deux pour chacun des connecteurs (et l'égalité) plus trois

règles générales. Il n'était pas du tout évident à piori qu'un nombre fini de règles soit suffisant

pour démontrer tout ce qui est vrai. Nous montrerons ce résultat (c'est essentiellement, le

théorème de complétude). La preuve n'en est pas du tout triviale.

- ce sont les mêmes règles pour toutes les mathématiques et la physique: algèbre, analyse,

géométrie, etc. Cela veut dire que nous avons réussi à isoler tout ce qui est général dans un

raisonnement. Nous verrons plus loin qu'une démonstration est un assemblage de couples,

où est un ensemble de formules (les hypothèses) et A une formule (la conclusion). Quand nous

faisons de l'arithmétique, de la géométrie ou de l'analyse réelle, nous utilisons, en plus des règles,

des hypothèses que l'on appelle des "axiomes". Ceux-ci expriment les propriétés particulières des

objets que nous manipulons (pour plus de détails sur les axiomes voir la page d'introduction du

site).

Nous démontrons donc, en général, des formules en utilisant un ensemble d'hypothèses, et cet

ensemble peut varier au cours de la démonstration: quand nous disons "supposons F et

montrons G", F est alors une nouvelle hypothèse que nous pourrons utiliser pour montrer G. Pour

formaliser cela, nous introduisons le concept de "séquent":

Définitions:

D1. Un "séquent" est un couple (noté ) où :

- est un ensemble fini de formules qui représente les hypothèses que nous pouvons utiliser.

Cet ensemble s'appelle aussi le "contexte du séquent".

- F est une formule. C'est la formule que nous voulons montrer. Nous dirons que cette formule est

la "conclusion du séquent".

Remarques:

R1. Si nous pourrons noter au lieu de . Le signe se lit "thèse"

ou "démontre".

R2. Nous noterons un séquent dont l'ensemble d'hypothèses est vide et un

séquent dont l'ensemble d'hypothèses est .

R3. Nous noterons que dans le séquent la formule A peut-être dans (elle devient alors

un hypothèse).

R4. Nous écrirons pour dire que " est non prouvable".

D2. Un séquent est "prouvable" (ou démontrable, dérivable) s'il peut être obtenu par une

application finie de règles. Une formule F est prouvable si le séquent est prouvable.

5.1. RÈGLES DE DÉMONSTRATION

Les règles de démonstration sont les briques qui permettent de construire les dérivations. Une

dérivation formelle est un assemblage fini (et correct!) de règles. Cet assemblage n'est pas linéaire

(ce n'est pas une suite) mais un "arbre". Nous sommes en effet souvent amenés à faire des

branchements.

Nous allons présenter un choix de règles. Nous aurions pu en présenter d'autres (à la place ou en

plus) qui donneraient la même notion de prouvabilité. Celles que l'on a choisies sont "naturelles"

et correspondent aux raisonnements que l'on fait habituellement en mathématique. Dans la

pratique courante nous utilisons, en plus des règles ci-dessous, beaucoup d'autres règles mais

celles-ci peuvent se déduire des précédentes. Nous les appellerons "règles dérivées".

Il est de tradition d'écrire la racine de l'arbre (le séquent conclusion) en bas, les feuilles en haut: la

nature est ainsi faite... Comme il est également de tradition d'écrire, sur une feuille de papier, de

haut en bas, il ne serait pas déraisonnable d'écrire la racine en haut et les feuilles en bas. Il faut

faire un choix !

Une règle se compose:

- d'un ensemble de "prémisses": chacune d'elles est un séquent. Il peut y en avoir zéro, un ou

plusieurs

- du séquent conclusion de la règle

- d'une barre horizontale séparant les prémisses (en haut) de la conclusion (en bas). Sur la droit de

la barre, nous indiquerons le nom de la règle.

Exemple:

(1.30)

Cette règle à deux prémisses ( et ) et une conclusion ( ). Le nom abrégé

de cette règle est .

Cette règle peut se lire de deux manières :

- de bas en haut: si nous voulons prouver la conclusion, il suffit par utilisation de la règle de

prouver les prémisses. C'est ce qu'on fait quand nous cherchons une démonstration. Cela

correspond à "l'analyse".

- de haut en bas: si nous avons prouvé les prémisses, alors nous avons aussi prouvé la conclusion.

C'est ce que nous faisons fait quand nous rédigons une démonstration. Cela correspond à la

"synthèse".

Pour les démonstrations il existe un nombre fini de règles au nombre de 17 que nous allons

définir ci-après:

1. Axiome:

(1.31)

De bas en haut : si la conclusion du séquent est une des hypothèses, alors le séquent est

prouvable.

2. Affaiblissement:

(1.32)

Explications :

- De haut en bas : si nous démontrons A sous les hypothèses , en ajoutant d'autres hypothèses

on peut encore démontrer A.

- De bas en haut : il y a des hypothèses qui peuvent ne pas servir

3. Introduction de l'implication:

(1.33)

- De bas en haut: pour montre que nous supposons A (c'est-à-dire que nous l'ajoutons

aux hypothèses) et nous démontrons B.

4. Elimination de l'implication:

(1.34)

- De bas en haut : pour démontrer B, si nous connaissons un théorème de la forme et si

nous pouvons démontrer le lemme , il suffit de démontrer A.

5. Introduction à la conjonction:

(1.35)

- De bas en haut : pour montrer , il suffit de montrer A et de montrer B.

6. Elimination de la conjonction:

(1.36) et (1.37)

- De haut en bas: de , nous pouvons déduire A (élimination gauche) et B (élimination

droite).

7. Introduction de la disjonction:

(1.38) ou (1.39)

- De bas en haut: pour démontrer , il suffit de démontrer A (disjonction gauche) ou de

démontrer B(disjonction droite).

8. Elimination de la disjonction:

(1.40)

- De bas en haut : si nous voulons montrer C et que nous savons que nous avons , il suffit

de le montrer d'une part en supposant A, d'autre part en supposant B. C'est un raisonnement par

cas.

9. Introduction de la négation:

(1.41)

- De bas en haut: pour montrer , nous supposons A et nous démontrons l'absurde ( ).

10. Elimination de la négation:

(1.42)

- De haut en bas : si nous avons montré et A, alors nous avons montré l'absurde ( )

11. Absurdité classique:

(1.43)

- De bas en haut: pour démontrer A, il suffit de démontrer l'absurde en supposant .

Cette règle, est équivalente à dire : A est vraie si et seulement si il est faux que A soit fausse. Cette

règle ne va pas de soi : elle est nécessaire pour prouver certains résultats (il y a des résultats que

nous ne pouvons pas prouver si nous n'avons pas cette règle). Contrairement, à beaucoup

d'autres, cette règle peut par ailleurs être appliquée à tout moment. Nous pouvons, en effet,

toujours dire : pour prouver A je suppose et je vais chercher une contradiction.

12. Introduction au quantificateur universel:

(1.44)

- De bas en haut: pour démontrer , il suffit de montrer A en ne faisant aucune hypothèse

sur x.

Remarque: pour des démonstrations cette vérification (aucune hypothèse sur x) est souvent source

d'erreur.

13. Elimination du quantificateur universel:

(1.45)

- De haut en bas: de , nous pouvons déduire pour n'import quel terme t. Ce que

nous pouvons dire aussi sous la forme: si nous avons prouvé A pour tout x, alors nous pouvons

utiliser A avec n'importe quel objet t (!!).

14. Introduction du quantificateur existentiel:

(1.46)

- De bas en haut: pour démontrer , il suffit de trouver un objet (in extenso un terme t) pour

lequel nous savons montrer .

15. Elimination du quantificateur existentiel:

(1.47)

- De bas en haut: nous démontrons qu'il existe bien un ensemble d'hypothèses tel que et

partant de ce résultat comme nouvelle hypothèse, nous démontrons C. Cette formule C hérite

alors de la formule et dès lors x n'est pas libre dans C car il ne l'était déjà pas dans .

16. Introduction de l'égalité:

(1.48)

De bas en haut: nous pouvons toujours montrer t=t. Cette règle signifie que l'égalité est réflexive

(cf. chapitre Opérateurs).

17. Elimination de l'égalité:

(1.49)

- De haut en bas: si nous avons démontré et t=u, alors nous avons

démontré . Cette règle exprime que les objets égaux ont les mêmes propriétés. Nous

noterons cependant que les formules (ou relations) t=u et u=t ne sont pas, formellement,

identiques. Il nous faudra démontrer que l'égalité est symétrique (nous en profiterons aussi pour

démontrer que l'égalité est transitive).

Exemples:

E1. Cet exemple montre que l'égalité est symétrique (un petit peu non trivial mais bon pour

commencer) :

(1.50)

- De haut en bas: nous introduisons l'égalité et prouvons à partir de l'hypothèse la

formule . En même temps, nous définissons l'axiome comme quoi . Ensuite à partir

de ces prémisses, nous éliminons l'égalité en substituant les termes de façon à ce que à partir

de la supposition (venant de l'axiome) nous obtenions . Ensuite, l'élimination de

l'égalité implique automatiquement sans aucune hypothèse que . Dès lors, il nous

suffit d'introduire le quantificateur universel pour chacune des variables (donc deux fois) sans

aucune hypothèse afin d'obtenir que l'égalité est symétrique.

E2. Cet exemple montre que l'égalité est transitive (c'est-à-dire si et alors )

. En notant F la formule :

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