Télécharge Notes sur les dérivation et l'étude de fonctions et plus Notes au format PDF de Géométrie analytique et calcul sur Docsity uniquement! Dérivation et étude de fonctions 1 Exercice 1 Soit f , la fonction définie par f(x) = 1− x x2 − 4 pour tout x ∈ R\{−2, 2}. On note Cf la courbe représentative de f . 1. Déterminer les réels a et b tels que f(x) = a x + 2 + b x− 2 pour tout x ∈ R\{−2, 2}. 2. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition et dresser son tableau de variation. 3. Préciser toutes les asymptotes à Cf . 4. Tracer soigneusement Cf dans un repère bien choisi. 2 Exercice 2 On défini la fonction f(x) = 1 + x 1− √ x . 1. Déterminer l’ensemble Df de définition de f . 2. Calculer les limites de f en 1 et +∞. (indication : on pourra multiplier f(x) par 1 + √ x 1 + √ x et remarquer que lim x→+∞ 1 + x 1− x = −1) 3. Déterminer la solution supérieure à 1 de l’équation x2 − 6x + 1 = 0. 4. Soit α, un réel supérieur à 1 tel que α− 2 √ α = 1. Calculer α en remarquant que √ α = α− 1 2 et en élevant au carré. 5. Montrer que f n’est pas dérivable en 0+. Déterminer les variations de f en admettant que f ′ s’annule en un point unique que l’on précisera et que f ′ garde un signe constant. 1 6. Résoudre l’équation f ′(x) = 1√ x en utilisant la méthode de la question 4). (exprimer √ x en fonction de x et élever au carré) 3 Exercice 3 Soit f la fonction définie par f(x) = 2 + x2 1− x pour tout x ∈ R\{1}. On note Cf la courbe représentative de f . 1. Trouver les réels a, b et c tels que f(x) = ax + b + c 1− x pour tout x de R\{1}. 2. Déterminer les variations et les asymptotes de f . 3. Calculer f ′′, c’est-à-dire la dérivée de la dérivée de f . 4. On dit qu’une fonction f : I → R est convexe (resp. concave) sur I si et seule- ment si on a f ′′(x) ≥ 0 (resp. f ′′(x) ≤ 0) pour tout x ∈ I ; géométriquement, cela renseigne sur la courbure de Cf . Montrer que f est convexe sur ]−∞; 1[ et concave sur ]1; +∞[. 5. Tracer Cf . 6. Déterminer tous les points de R tels que Cf admette une tangente de pente 1. 4 Exercice 4 On considère la fonction polynôme f(x) = x4 − 6x2 + 4x− 1. 1. Prouver que f ′ possède trois racines (ou zéros) distinctes dans R et en donner une valeur approchée à l’aide d’une machine. 2. En déduire les variations de f . 3. Etudier la convexité de f . (cf. Exercice 3) 5 Exercice 5 1. Trouver une fonction f telle que f ′(x) = 3x2 pour tout x ∈ R. 2. Plus généralement, trouver une fonction g de dérivée g′(x) = xn, n ∈ N. 2
