Notes sur les dérivées usuelles - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les dérivées usuelles - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les dérivées usuelles - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les différentes dérivées, la démonstration, la "formule de Leibniz".
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Dérivées usuelles.

Nous allons démontrer ici les dérivées les plus fréquentes (une petite trentaine) que nous

puissions rencontrer en physique théorique et mathématique ainsi que certaines de leurs

propriétés. La liste est pour l'instant non exhaustive mais les démonstrations étant généralisées,

elles peuvent s'appliquer à un grand nombre d'autres cas (que nous appliquerons/rencontrerons

tout au long de ce site).

1. Dérivée de :

Partons d'abord d'un cas particulier, la dérivée de :

Soit donc a un réel quelconque fixé, alors:

(10.64)

Le nombre dérivé en a de la fonction cube est donc .

Nous pouvons généraliser ce résultat pour tout entier naturel positif ou négatif n et nous allons

voir que la fonction f définie sur par est dérivable et que sa dérivée f' est définie

par .

(10.65)

Ainsi, nous avons (quelques exemples peuvent êtres utiles pour comprendre la portée de ce

résultat):

(10.66)

Nous voyons donc qu'en ayant déterminé la dérivée d'une fonction de la forme , nous avons

également déterminé la dérivée de toute fonction qui est mise sous cette forme tel que:

et (10.67)

Cependant, les fonctions:

(10.68)

ne sont pas dérivables en puisque la fonction n'y est plus définie (division par zéro). De

plus, en ce qui concerne la fonction comportant la racine (puissance non entière), la dérivée n'est

pas définie dans .

Cependant, le résultat précédent donne un résultat intéressant pour les fonctions constantes telle

que:

(10.69)

il n'est alors pas difficile de déterminer la dérivée qui vaut simplement:

(10.70)

Donc la dérivée de toute fonction constante est nulle (il est important de se souvenir de ce résultat

quand nous étudierons les propriétés des intégrales) !!!

2. Dérivée de la fonction f(x)=cos(x):

Soit donc a un réel quelconque fixé, alors (attention! il est utile de connaître les relations

trigonométriques remarquables que nous démontrons dans le chapitre de trigonométrie dans la

section de géométrie):

(10.71)

Puisque:

(10.72)

Effectivement, rappelons que la fonction sin(x) est assimilable (visuellement et

mathématiquement) à une droite de fonction au voisinage de .

Donc pour résumer:

(10.73)

3. Dérivée de la fonction f(x)=sin(x) :

Soit donc a un réel quelconque fixé, alors (attention! il est utile de connaître les relations

trigonométriques remarquables que nous démontrons dans le chapitre de trigonométrie dans la

section de géométrie):

(10.74)

Donc pour résumer:

(10.75)

4. Dérivée de la fonction :

La dérivée de la fonction est égale à , c'est-à-dire si :

(10.76)

alors:

(10.77)

Démonstration:

Si est l'accroissement de la fonction pour un accroissement

correspondant de la variable x, alors :

(10.78)

et nous pouvons écrire :

(10.79)

Multiplions et divisons par x l'expression figurant dans le membre droit de la dernière égalité :

(10.80)

Désignons la quantité par . Il est évident que quand tend vers zéro pour

un x donné. Par conséquent :

(10.81)

Or, nous retrouvons ici une autre provenance historique de la constante d'Euler (cf. chapitre

d'Analyse Fonctionnelle) où :

(10.82)

Ainsi :

(10.83)

C.Q.F.D.

Une cas particulier important est le cas où a=e. Nous avons alors :

(10.84)

5. Dérivée d'une somme de fonctions :

Soient u et v deux fonctions. La fonction somme est dérivable sur tout intervalle

où u et v sont dérivables, sa dérivée est la fonction s' somme des fonctions

dérivées u' et v' de u et v.

Ce résultat se généralise pour une somme d'un nombre quelconque fixé de fonctions.

Démonstration:

Soit a un réel fixé et u et v deux fonctions définies et dérivables en a:

(10.85)

Donc la dérivée d'une somme est la somme des dérivées.

C.Q.F.D.

6. Dérivée d'un produit de fonctions :

Soient u et v deux fonctions. La fonction produit est dérivable sur tout intervalle

où u et v sont dérivables, sa dérivée première est la fonction p' telle que :

(10.86)

Démonstration:

Soit a un réel fixé et u et v deux fonctions définies et dérivables en a:

(10.87)

Nous rajoutons à cette dernière relation deux termes dont la somme est nulle tel que:

(10.88)

C.Q.F.D.

Mais il existe une formulation plus générale que la dérivée première d'un produit :

Considérons pour cela toujours nos deux fonctions u et v, n fois dérivables sur un intervalle I.

Alors le produit uvest n fois dérivable sur I et :

(10.89)

et ceci constitue la "formule de Leibniz" que nous avons utilisé dans le chapitre de calcul

algébrique pour l'étude des polynômes de Legendre (qui nous sont eux-mêmes indispensables

pour l'étude de la chimie quantique).

La démonstration de la formule est très proche de celle fait pour le binôme de Newton (cf. chapitre

de Calcul Algébrique).

Démonstration:

Soit :

(10.90)

D'autre part :

(10.91)

La formule est ainsi bien initialisée.

La démonstration se fait par récurrence. Ainsi, le but est de montrer que pour que si :

(10.92)

alors :

(10.93)

Nous avons donc :

(10.94)

Nous allons procéder à un changement de variable dans la première somme pour ne plus avoir le

terme en k+1. Nous posons pour cela :

(10.95)

Si nous revenons à la lettre k, nous avons donc :

(10.96)

Nous avons donc :

(10.97)

Nous voulons réunir les deux sommes. Pour cela, nous écartons les termes en trop dans chacun

d'elles :

(10.98)

Ce qui donne donc :

(10.99)

D'après la formule de Pascal (cf. chapitre de Probabilités), nous avons :

(10.100)

Donc :

(10.101)

Or :

(10.102)

Donc :

(10.103)

C.Q.F.D.

7. Dérivée d'une fonction composée :

Soit la fonction composée de deux fonctions u et g dérivables, la première en u(x), la

seconde en x, la fonction dérivée f' est définie par , c'est-à-dire :

(10.104)

Démonstration:

Soit a un réel fixé et u une fonction définie et dérivable en a et g une fonction définie et dérivable

en u(a) :

(10.105)

posons , nous avons alors:

(10.106)

continuons notre développement précédent:

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