Notes sur les déterminants - 1 ° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les déterminants - 1 ° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les déterminants - 1 ° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: un système linéaire, une application multilinéaire, une application multilinéaire alternée, démonstration, dèfinit...
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DÉTERMINANTS

Nous allons nous intéresser aux déterminants dans le point de vue du physicien (celui de

mathématicien étant assez rébarbatif...). Fréquemment, en physique (que ce soit en mécanique

ou physique quantique des champs), en chimie ou en ingénierie, nous aurons fréquemment des

systèmes linéaires à résoudre. Or, nous avons vu maintenant qu'un système linéaire :

(13.75)

peut être écrit sous la forme :

(13.76)

et nous savons que les seuls systèmes linéaires résolubles sont ceux qui ont autant d'équations

que d'inconnues. Ainsi, la matrice A doit être une matrice carrée .

Si une solution existe, il existe alors une matrice-colonne (ou "vecteur") tel

que ce qui implique :

(13.77)

Qu'impose cette relation ? Eh bien c'est simple mais à la fois très important : pour qu'un

système linéaire ait une solution, il faut que le la matrice A soit inversible ! Quel rapport avec le

déterminant alors ? C'est simple : les mathématiciens ont cherché comment s'écrivaient les

inverses des matrices de systèmes linéaires dont ils savaient qu'il y avait une solution et ils sont

arrivés après tâtonnements à déterminer une sorte de formule qui permette de vérifier si la

matrice est inversible ou non. Une fois cette formule trouvée, ils ont formalisé (comme ils

savent si bien le faire...), avec une très bonne rigueur, le concept entourant cette formule qu'ils

ont appelé "déterminant". Ils y sont tellement bien arrivés d'ailleurs qu'on oublie parfois qu'ils

ont procédé ainsi....

Remarque: Si une matrice d'un système linéaire n'est pas inversible, cela a pour conséquence

qu'il existe soit aucune solution, soit une infinité de solutions (comme à l'habitude quoi...)

Nous allons ci-dessous d'abord nous intéresser à la manière de construire le déterminant en

définissant un type d'application particulière. Ensuite, après avoir vu un exemple simple et

interprétable du calcul d'un déterminant, nous nous attacherons à déterminer la formule de

celui-ci dans le cas général. Enfin, une fois ceci fait, nous verrons quelle est la relation qui lie

l'inverse d'une matrice et le déterminant.

Dans ce qui suit tous les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie et sur le

corps des nombres complexes (ceux qui le préfèrent pourront prendre comme corps de

base, de fait nous pourrions prendre un corps quelconque).

D'abord nous allons faire un petit peu de mathématique (un peu rébarbative) avant de passer à

du concret.

Soit V un espace vectoriel, nous écrirons au lieu de . désignera la base

canonique de . est l'ensemble des matrices carrées à coefficients dans .

Définitions:

D1. Une "application multilinéaire" sur un espace V est par définition une

application qui est linéaire en chacune de ces composantes. C'est-à-dire :

(13.78)

pour tout et où les sont des vecteurs.

Remarque: Une application multilinéaire non nulle n'est pas une application linéaire de

l'espace dans . Sauf si . Effectivement, cela se vérifie de par la définition de

l'application linéaire versus celle de l'application multilinéaire:

(13.79)

D2. Une "application multilinéaire alternée" sur V est par définition une application multilinéaire

qui vérifie la condition suivante:

(13.80)

pour tout . Ainsi la permutation de deux vecteurs qui se suivent change le signe

de .

Ainsi, si est une application multilinéaire, alors est alternée si et seulement

si . nous avons :

(13.81)

Démonstration: étant définie comme alternée, nous avons donc :

(13.82)

C.Q.F.D.

et voilà ce qui nous intéresse :

D3. Un "déterminant" est par définition (par imposition) une application multilinéaire

alternée vérifiant de plus :

(13.83)

Remarque: Les colonnes d'une matrice carrée forment n vecteurs et nous voyons donc qu'un

déterminant D sur induit une application de (où est l'espace des

matrices carrées à coefficients dans ) définie par où est la i-

ème colonne de M. Par la suite, nous ferons l'abus d'écriture qui consiste à confondre D et .

Etudions le cas . Si D est un déterminant, pour tout vecteur :

(13.84)

nous avons :

(13.85)

Comme D est multilinéaire, nous avons :

(13.86)

et comme elle est surtout multilinéaire alternée, nous avons donc :

(13.87)

En fait, nous venons de montrer que si un déterminant existe, il est unique et de la forme

indiquée ci-dessus, il faudrait encore vérifier que l'application ainsi définie satisfait les

propriétés d'un déterminant, mais ce dernier point est immédiat.

Ainsi, si est une matrice nous avons donc :

(13.88)

Nous retrouvons donc la forme du déterminant tel que nous en avons fait mention en calcul

vectoriel.

Donnons une interprétation géométrique du déterminant. Soit deux vecteurs de .

(13.89)

Le vecteur est obtenu en projetant sur et nous avons donc :

et (13.90)

L'aire du parallélogramme ci-dessus est donc :

(13.91)

Si alors :

(13.92)

et donc :

(13.93)

Ainsi le déterminant représente au signe près l'aire du parallélogramme défini par les

vecteurs lorsque ceux-ci sont linéairement indépendants. Nous pouvons généraliser ce

résultat à une dimension n quelconque, en particulier, pour , le déterminant de trois

vecteurs linéairement indépendants représente le volume du parallélépipède défini par ces

derniers.

Le cas plus général de l'expression du déterminant est un peu plus délicat à établir. Il faut pour

cela que nous définissions une application bijective particulière mais simple que nous avions

déjà rencontrée dans le chapitre Statistique.

Définition: Soit nous appelons "permutation" de toute application

bijective de dans :

(13.94)

Soit l'ensemble des permutations (applications bijectives) possibles de

. contient bien évidemment... (voir la combinatoire dans le chapitre de probabilités) n!

éléments. La donnée d'un élément de est définie par les données successives de :

(13.95)

Etant donnée une suite d'éléments ordonnées (croissants) d'éléments , nous

appelons "inversion", toute permutation d'éléments dans la suite ordonnée (donc la suite ne

sera plus ordonnée du tout...). Nous notons le nombre d'inversions.

Nous disons que la permutation est pair (impair) si est pair (impair). Nous appelons

"signature" de , le nombre noté défini par , c'est-à-dire :

(13.96)

Nous avons maintenant les outils en place nécessaire à définir de manière générale la formule

du déterminant :

Définition: Soit :

(13.97)

Nous appelons "déterminant de A", et nous notons det(A), le scalaire K défini par (nous verrons

un exemple plus loin) :

(13.98)

Exemples:

E1. Soit , considérons les permutations des seconds indices

(des entiers 1,2) pris dans leur ensemble :

(13.99)

Nous calculons les signatures de . Voici le schéma de cette règle (rappel : nous disons donc...

qu'il y a "inversion", si dans une permutation, un entier supérieur précède un entier inférieur) :

Nombre d'inversions 0 1

Permutation Paire Impaire

+1 -1

Tableau: 13.1 - Inversions et permutations d'un déterminer d'ordre 2

Donc nous avons :

(13.100)

Ce qui correspond bien à ce que nous avions vu initialement.

E2. Soit , considérons les permutations des seconds indices

(des entiers 1,2,3) pris dans leur ensemble :

(13.101)

Nous calculons les signatures de . Voici le schéma de cette règle (rappel : nous disons donc...

qu'il y a "inversion", si dans une permutation, un entier supérieur précède un entier inférieur) :

123 132 213 231 312 321

Nombre d'inversions 0 1 1 2 2 3

Permutation Paire Impaire Impaire Paire Paire Impaire

+1 -1 -1 +1 +1 -1

Tableau: 13.2 - Inversions et permutations d'un déterminer d'ordre 3

Donc nous avons :

(13.102)

Remarque: Certaines personnes apprennent par coeur une méthode nommée "règle de Sarrus"

pour calculer les déterminants d'ordre trois comme le précédent. Nous lui préférerons sur ce site

la formulation générale du déterminant applicable à tous les ordres.

Voyons quelques propriétés et corollaires de cette formulation du déterminant :

P1. Soit une matrice carrée d'ordre n, nous ne changeons pas la valeur du déterminant

de en :

1. Effectuant une opération élémentaire sur les colonnes de

2. Effectuant une opération élémentaire sur les lignes de

Démonstration: Si alors est composée de n vecteurs colonnes :

(13.103)

Effectuer une opération élémentaire sur les colonnes de revient à

addition à une des colonnes de . Soit la matrice obtenue en

additionnant à la j-ème colonne de , nous avons :

(13.104)

Par multilinéarité (finalement la démonstration n'est vraiment pas bien dure) :

(13.105)

et comme le déterminant est alterné :

(13.106)

Pour ce qui est des opérations élémentaires sur les lignes il suffit de considérer la transposée

(c'est à pleurer tellement c'est simple mais il fallait y penser).

C.Q.F.D.

P2. Soit une matrice carrée d'ordre n et soit :

(13.107)

Démonstration: Comme précédemment, il suffit de remarquer que si sont les vecteurs

colonnes constituant la matrice alors sont ceux qui constituent et :

(13.108)

L'application étant n-linéaire, nous aboutissons à l'égalité :

(13.109)

C.Q.F.D.

P3. Soit une matrice carrée d'ordre n. Nous changeons le signe du déterminant

de si :

1. Nous permutons deux de ces colonnes

2. Nous permutons deux de ces lignes

Démonstration: est constituée des n vecteurs . Le déterminant de est égal au

déterminant de ces n. Permuter deux colonnes de revient à permuter les deux vecteurs

correspondant. Supposons que les vecteurs permutés soit le i-ème et le j-ème, l'application

déterminant étant alternée, nous avons :

(13.110)

Pour ce qui est des lignes, il suffit de considérer les transposée de .

C.Q.F.D.

P4. Soit alors :

(13.111)

La démonstration peut se faire de deux manières, la première est assez indigeste et abstraite

nous la laisserons aux mathématiciens (...) même si elle a l'avantage d'être générale, la seconde

plus simple, consiste à vérifier cette assertions pour différentes matrices carrées.

Démonstration:

(13.112)

Les calculs donnent donc des résultats qui sont bien identiques. Nous pouvons vérifier ainsi

pour des matrices carrées de dimensions supérieures.

C.Q.F.D.

P5. Une matrice carrée est inversible si et seulement si .

Démonstration:

Si A est inversible, nous avons :

(13.113)

C.Q.F.D.

Il s'agit de la propriété la plus importante des matrices dans le cadre de la physique théorique

car si A est un système linéaire, le calcul de son déterminant permet de savoir si celui-ci a des

solutions uniques. Dans le cas contraire, comme nous en avons déjà fait mention, soit le

système n'a aucune solution, soit une infinité !

Il faut considérer aussi un cas particulier important. Soit le système suivant :

(13.114)

où et à déterminer. Il est clair..., que A soit inversible ou non, la

solution triviale est . Cependant..., imaginons un cas de physique théorique où nous

avons mais pour lequel nous savons que et pour lequel nous

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