Notes sur les déterminants - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les déterminants - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les déterminants - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Démonstration, la dérivée d'un déterminant, l'inverse d'une matrice, les changements de bases.
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imposons . Dans ce cas, ils nous faut éliminer la solution triviale . De

plus, calculer l'inverse (s'il existe) de la matrice A ne nous ramènera à rien de concret mis à part

à ce qui bien évidemment ne nous satisfait pas. La seule solution est alors de se

débrouiller pour que les coefficients de la matrice A soient tels que son déterminant soit nul

et donc la matrice non inversible! L'intérêt ? Eh, bien d'avoir une infinité de solutions possibles

(de B donc !) qui satisfont . Nous aurons besoin de cette méthodologie en mécanique

quantique ondulatoire, lorsque nous déterminerons l'existence des antiparticules par

l'intermédiaire de l'équation de Dirac linéarisée. Il faudra donc s'en rappeler.

P6. Deux matrices "conjuguées" (attention, pas dans le sens complexe du terme) ont le même

déterminant.

Démonstration:

Soit , et une matrice de passage d'une base à une autre (voir plus loin

le traitement des changements de bases), nous avons alors :

(13.115)

C.Q.F.D.

P7. Pour toute matrice :

(13.116)

Démonstration:

(13.117)

Or (trivial... simple multiplication de tous les coefficients) :

(13.118)

Puisque (trivial) et que (cf. chapitre sur les Nombres), nous

pouvons alors écrire :

(13.119)

C.Q.F.D.

P8. Pour toute matrice :

(13.120)

Démonstration:

Ben... c'est la même chose que pour la propriété précédente mais sans les valeurs conjuguées...

De fait, nous montrons de la même manière, la même propriété pour .

C.Q.F.D.

P6. Soit une matrice , nous noterons la matrice obtenue à partir de A en

effaçant la i-ème ligne et la j-ème colonne. appartient donc à . Alors pour

tout :

(13.121)

où le terme:

(13.122)

est appelé le "cofacteur" .

Démonstration:

Définissons pour cela l'application :

(13.123)

Il est facile de voir que est multilinéaire (il suffit de considérer comme une simple

constante et ensuite par extension de la définition du déterminant... trop facile...).

Montrons cependant qu'elle est alternée (dans ce cas, c'est un déterminant qui a toutes les

propriétés d'un déterminant) :

Soit deux vecteurs colonne de A qui se suivent. Supposons que , il faut

montrer que dans ce cas (qui découle de la définition d'une application alternée).

Nous avons premièrement (c'est obligatoire de par la définition) si nous n'effaçons aucune des

colonnes j étant kou k + 1:

si (13.124)

et nous avons bien évidemment si nous enlevons l :

(13.125)

Donc :

(13.126)

C'est donc OK. Elle est alternée et multilinéaire, il s'agit donc bien d'un déterminant.

Nous venons donc de montrer que est un déterminant et par unicité nous

a pour tout .

C.Q.F.D.

Voyons un exemple de cette méthode en calculant le déterminant de :

(13.127)

Développons selon la deuxième ligne . Nous obtenons :

(13.128)

Développons selon la première colonne en guise de vérification (on ne sait jamais...) :

(13.129)

Le calcul déterminé ci-dessus est donc exponentiel car si par exemple nous devons calculer le

déterminant d'un matrice d'ordre 10 alors le déterminant sera développé la somme de 10

termes, dont chacun contient les déterminant d'un matrice d'ordre 9, qui est un cofacteur de la

matrice de départ. Si nous développons n'importe lequel de ces déterminants, nous obtenons

une somme de 9 déterminants dont chacun contient le déterminant d'un matrice d'ordre 8. A ce

stade, il y a donc 90 déterminants de matrices d'odre 8 à calculer. Le processus pourrait se

poursuivre jusqu'à ce qu'il ne reste que des déterminants d'ordre 2. Et alors là nous devinons

que le nombre de matrice d'ordre 2 est très conséquent!

Définition: Soit m, n deux entiers positifs quelconques et A une matrice à coefficients

dans . Pour tout entier un "mineur d'ordre k" de A est un déterminant du type:

avec (13.130)

Dans le cas particulier d'un matrice carée d'ordre la définition est plus simple: Le

mineur de l'élément est le déterminant de la matrice d'ordre n - 1 obtenue en

suppirmant la ligne i et la colonne j. Ainsi, pour calculer le mineur d'un élément, nous

supprimons la ligne et la colonne auxquelles l'élément appartient, puis nous calculons le

déterminant de la matrice carrée restante.

Pour finir nous terminons en donnant une formule qui relie les coefficients de l'inverse d'une

matrice avec ces mineurs d'ordre .

DÉRIVÉE D'UN DÉTERMINANT

Voyons maintenant un résultat qui nous sera fort utile en relativité générale.

Soit une matrice carrée avec des fonctions dérivables. Posons

. Nous voulons calculer . Soit le i-ème vecteur colonne de la matrice G.

Utilisons la formule :

(13.131)

Sachant que la dérivée de est (dérivée de n produits) :

(13.132)

nous avons donc :

(13.133)

Si nous regardons la première somme ci-dessus, nous remarquons que:

(13.134)

où est la dérivée du vecteur . De même pour les sommes suivantes. Ainsi,

(13.135)

Développons encore. Considérons le terme ci-dessus. Si nous le développons

par rapport à la première colonne, nous obtenons :

(13.136)

De même, en développant le j-ème terme de la somme ci-dessus par rapport à la j-ème

colonne nous avons :

(13.137)

Si nous posons :

(13.138)

nous obtenons :

(13.139)

ce qui en notation tensorielle (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) s'écrit :

(13.140)

Nous avons aussi :

(13.141)

où est le coefficient se trouvant à la j-ème ligne, i-ème colonne de la matrice . Si nous

notons le coefficient i, j de la matrice alors :

et (13.142)

L'expression de la dérivée devient finalement :

(13.143)

qui s'écrit en notation tensorielle :

(13.144)

Ce résultat, finalement assez simple, nous sera utile dans le chapitre de Calcul Tensoriel, pour

construire les outils nécessaires à l'étude de la relativité générale et à la détermination de

l'équation d'Einstein des champs. Il convient donc de s'en rappeler.

INVERSE D'UNE MATRICE

Terminons notre étude des déterminants avec la cerise sur le gâteau en donnant une relation

très importante dans de nombreus domaines de l'ingénierie, de la physique et de la

mathématique qui relie les coefficients de l'inverse d'une matrice avec ces mineurs

d'ordre (nous allons utiliser cette relation plus loin).

Soit une matrice inversible. Notons et . Alors :

(13.145)

Démonstration:

Notons le k-ème vecteur colonne de la matrice A. Sachant que , nous avons

(trivial) :

(13.146)

Calculons . D'une part en développant par rapport à la k-ème

colonne nous trouvons (puisque qu'un seul des coefficients de est non nul et que l'unique

non nul est égal à l'unité) :

(13.147)

D'autre part (propriétés du déterminant) :

(13.148)

Ainsi :

(13.149)

c'est-à-dire :

(13.150)

C.Q.F.D.

CHANGEMENTS DE BASES

Supposons que nous passions d'une base d'un espace à une autre

base de ce même espace.

Décomposons les dans la base :

(13.151)

Définition: Nous appelons "matrice de transition" ou "matrice de passage", la matrice

(l'application linéaire) qui permet de passer de donnée par :

(13.152)

Maintenant, considérons le vecteur donné par . Alors nous nous proposons de

démontrer que les composantes de dans la base sont données par :

(13.153)

ou:

(13.154)

Remarque: La matrice P est inversible, car ses colonnes sont linéairement indépendantes (ce sont

les vecteurs décomposés dans la base et les sont linéairement indépendants car ils

forment une base).

Démonstration:

Prenons pour simplifier le cas (la démonstration étant assez facilement généralisable...)

avec et .

Nous avons alors :

(13.155)

Nous avons donc et nous cherchons à exprimer dans la base tel que .

Nous allons chercher l'application linéaire qui relie ces deux relations telles que:

(13.156)

Soit écrit de manière explicite:

(13.157)

d'où :

(13.158)

c'est-à-dire :

(13.159)

Donc P est bien la matrice qui permet d'exprimer les composantes d'un vecteur d'une base en

celles d'une autre base.

C.Q.F.D.

Considérons maintenant une application linéaire. Soit A sa matrice dans la base

, et B sa matrice dans la base . Alors nous avons :

(13.160)

Démonstration:

Reprenons:

(13.161)

et posons:

(13.162)

nous avons donc une fonction qui nous amène à écrire:

(13.163)

D'autre part, nous avons (ce que nous avons démontré tout à l'heure) :

(13.164)

Dès lors :

(13.165)

d'où :

(13.166)

et comme nous l'avons vu dans notre étude du déterminant, les déterminants de A, B sont

égaux et donc invariants.

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