Notes sur les dimensions de Planck, Notes de Physique. Université Claude Bernard (Lyon I)
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les dimensions de Planck, Notes de Physique. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Notes de physique sur les dimensions de Planck. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les dimensions de Planck, l'interprétation de copenhague, le problème de la mesure.
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DIMENSIONS DE PLANCK

Il convient d'ouvrir une petite paranthèse pour finir sur la constante de Planck (car beaucoup

d'ouvrages font mention de ce que nous allons voir sans les précautions de rigueur). Nous

venons de voir que la mesure des objets dépend du principe d'indétermination de Heisenberg.

Cette précision joue tant sur les mesures du temps que sur la trajectoire des particules ou la

densité d'énergie de l'Univers. Voyons que cela à par extension... d'autres éventuelles

implications.

Nous avons démontré précédemment au début de ce chapitre qu'une des relations

d'incertitudes est donnée, en prenant le module, par (de l'ordre de la constante de Planck donc

à un facteur près) :

(42.104)

Grossièrement, nous pouvons donc dire qu'à une fluctuation de l'espace (à ne pas confondre

avec la notation de la longueur d'onde), nous pouvons associer la quantité de mouvement :

(42.105)

À celle-ci correspond, d'après nos résultats du chapitre de Relativité Restreinte, la relation

l'énergie , ou la masse équivalente (en divisant par ) p/c. En désignant

par M cette masse associée à la perturbation , nous avons donc :

(42.106)

La gravitation due à cette masse est caractérisée par une longueur Rque nous déterminerons en

ordre de grandeur en écrivant que l'énergie potentielle qui lui est associée (cela suppose que la

gravitation classique et quantique sont régies par les mêmes lois...), (cf. chapitre de

Mécanique Classique), est égale à la masse-énergie . Cela donne:

(42.107)

ou, en remplaçant M par son expression précédente :

(42.108)

Pour qu'il n'y ait pas auto-amplification (et donc divergence) du phénomène de fluctuation

quantique du vide, nous devons avoir de préférence . En écrivant l'égalité entre ces deux

grandeurs, nous aboutissons donc à une quantité qui représente la dimension minimale (en

ordre de grandeur) que puisse concevoir la physique. C'est la fameuse "longueur de Planck" :

(42.109)

pour laquelle il correspond la période ou "temps de Planck" d'où :

(42.110)

Nous pouvons maintenant revenir à une autre expression plus intéressante de la masse

fluctuante. Puisque :

et (42.111)

nous avons dès lors la "masse de Planck" :

(42.112)

L'analyse dimensionnelle nous donne à une constante près et selon le théorème du Viriel (cf.

chapitre de Mécanique Des Milieux Continus):

(42.113)

et donc :

(42.114)

d'où la "température de Planck" :

(42.115)

et encore "l'énergie de Planck" :

(42.116)

Après tout cela, nous obtenons facilement la "densité de Planck" :

(42.117)

Nous pouvons nous amuser à obtenir encore d'autres valeurs de Planck encore mais qui ne

veulent plus dire grand chose à force (et nous pourrions continuer ainsi longtemps avec

énormément d'autres grandeurs) :

La "force de Planck" :

(42.118)

La "puissance de Planck" :

(42.119)

La "pulsation de Planck" :

(42.120)

En procédant avec le même raisonnement initial fait avec la masse mais en utilisant l'énergie

potentielle électrostatique au lieu de l'énergie potentielle gravitationnelle nous pouvons obtenir

la "charge de Planck" :

(42.121)

Dès lors nous pouvons calculer un "courant de Planck" :

(42.122)

ainsi que la "tension de Planck" :

(42.123)

et "l'impédance de Planck" (...) :

(42.124)

Remarque: Certains physiciens se sont servis (et se servent toujours) des résultats ci-dessus pour

des raisonnements farfelus et dangereux qui ne sont que interprétation. Il convient donc de

prendre avec des pincettes toutes les informations relatives aux dimensions de Planck que vous

pourriez trouver (même si celles-ci sont fort semble sympathiques). L'exemple le plus connu est

donné par la longueur d'onde de Compton (cf. chapitre de Physique Nucléaire) qui dépend de

la masse-énergie du photon. Si cette longueur d'onde est égale au rayon de Schwarzschild

classique pour la même masse-énergie (cf. chapitre d'Astrophysique), alors dans ce cas sa valeur

est celle de la longueur de Planck et sa masse est égale à la masse de Planck. Il est alors tentant

de dire que la particule forme alors un trou noir. Mais il s'agit d'une analogie car dans ce cas, rien

ne nous dit que l'expression du rayon de Schwarzschild s'applique à la physique quantique...

INTERPRÉTATION DE COPENHAGUE

En 1930, l'interprétation probabiliste de l'amplitude de l'onde d'une particule et le principe

d'incertitude d'Heisenberg constituent les éléments de l'interprétation "standard " non

déterministe de la physique quantique comme nous en avons déjà fait mention au début de ce

chapitre. Cette interprétation est souvent appelée "interprétation de Copenhague", car Niels

Bohr qui y contribua largement y dirigeait un institut de physique renommé à cette époque.

Pourtant de nombreux physiciens tels Einstein et Schrödinger, qui acceptaient la formulation

mathématique de la physique quantique, n'étaient pas à l'aise avec l'interprétation de

Copenhague et la critiquaient. Et jusqu'à nos jours, la question de l'interprétation correcte de la

formulation mathématique reste un problème.

En effet, nous pouvons nous poser la question suivante : Où se trouve la réalité? Y-a-t-il une

réalité? Niels Bohr répond non : il n'y a rien au niveau quantique, la réalité n'existe ou n'apparaît

que lors d'une mesure. Cette vision partagée par la plupart des physiciens (interprétation de

Copenhague), implique que la mesure "crée" la position de l'électron (voir le sous-chapitre

traitant du principe de superposition linéaire des états)

Einstein pensait que la physique quantique, bien que très efficace et très impressionnante, n'est

pas complète et ne donne qu'une image imparfaite du monde quantique. Pour lui, il y aurait

autre chose, au-delà, qui clarifierait et affinerait notre présente vision.

Ainsi, dans l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique le principe d'incertitude

signifie qu'à un niveau élémentaire, l'univers physique n'existe plus de manière déterministe,

mais plutôt comme une série de probabilités ou de potentiels. Par exemple le motif produit par

des millions de photons passant à travers une fente de diffraction peut être calculé à l'aide de la

mécanique quantique, mais le chemin de chaque photon ne peut être prédit par aucune

méthode connue. L'interprétation de Copenhague dit qu'il ne pourra être calculé par aucune

méthode. C'est cette interprétation qu'Einstein mettait en doute lorsqu'il disait : "je ne peux pas

croire que Dieu joue aux dés avec l'Univers". D'un point de vue physique autant que

philosophique, le principe d'incertitude implique la réfutation du déterminisme universel

défendu par Laplace au début du 19ème siècle.

Une réduction instantanée des états se produit dès l'observation du système. Cette décision

aléatoire de l'état observé respecte les probabilités, correspondant au carré des amplitudes des

états. De surcroît, l'interprétation de Copenhague stipule que lors d'une mesure, un processus

de réduction, originaire de l'objet macroscopique, élimine les superpositions d'états

quantiques.

L'interprétation de l'école de Copenhague conduit donc au problème de la mesure, l'expérience

de pensée du chat de Schrödinger stipulant que lorsqu'on mesure une quantité, telle que la

position ou l'impulsion, nous intervenons dans le processus de mesure en provoquant un

changement radical de l'état quantique, de la fonction d'onde. Nous modifions les quantités

mesurées de façon imprévisibles et cet état ne peut être décrit par l'équation déterminée de

Schrödinger. Les physiciens et les philosophes ont réagit de plusieurs manières à cette

interprétation :

- Soit nous considérons comme Bohr et Heisenberg que ce principe fait loi et qu'il est

préférable de ne pas rechercher l'interprétation ultime. C'est une attitude qui est admise par la

plupart des physiciens.

- Soit nous considérons que la physique quantique est une théorie incomplète et certains, tel

Einstein, Eugene Wigner ou David Bohm n'ont pas hésité à rechercher d'autres solutions, stériles

jusqu'à présent.

- Enfin, Hugh Everett III et bien d'autres prennent l'équation de Schrödinger très au sérieux, la

considérant comme une représentation de la réalité. Ils considèrent que l'interprétation de

l'école de Copenhague représente réellement l'évolution de la fonction d'onde. Les différents

termes de l'équation correspondraient aux différents niveaux d'énergie dans lesquels se trouve

le système. La réduction du paquet d'ondes s'interpréterait comme une division totale de l'objet

et de l'instrument de mesure dans des univers parallèles.

Aujourd'hui le débat reste ouvert mais plusieurs expériences réalisées depuis les années 1930

nous permettent, pas à pas, de dissiper l'épais brouillard qui recouvre le fond de la réalité et de

répondre à quelques questions. Cela dit, toutes ces expériences confirment néanmoins que

l'époque des certitudes est bien révolue.

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