Notes sur les distributions statistiques physiques - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les distributions statistiques physiques - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur les distributions statistiques physiques - 2° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la formulation discrète" de la "statistique de Maxwell-Boltzmann, la distribution de fermi-dirac...
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et particulièrement sous cette forme:

(32.109)

Nous retrouverons cette relations dans le domaine de la théorie des semi-conducteurs (cf. chapitre

d'Électrocinétique) dans le cadre de l'approximation à .

Comme , nous avons :

(32.110)

Nous pouvons alors calculer et nous obtenons ainsi la "formulation discrète" de la "statistique

de Maxwell-Boltzmann":

(32.111)

Cette relation donne donc le rapport entre le nombre de particules qui n'interagissant pas entre elles

(par hypothèse) et pouvant prendre les différents états d'énergie discrets et le nombre de

particules dans un état d'énergie donné . Ainsi, connaissant N, il est possible à l'aide de cette

relation de connaître le nombre de particules dans un état d'énergie particulier.

Remarque: La statistique de Maxwell-Boltzmann s'applique en l'absence d'interaction entre

particules et est donc valable pour un gaz parfait mais ne s'applique pas, par exemple, à un

liquide. De plus, elle s'applique aux hautes températures lorsque les effets quantiques sont

négligeables. À basse température sont utilisées la statistique de Bose-Einstein pour les bosons et

la statistique de Fermi-Dirac pour les fermions (voir plus loin).

Nous appelons le terme au dénominateur, la "fonction de partition canonique". Elle est le plus

souvent notée tel que :

(32.112)

DISTRIBUTION DE FERMI-DIRAC

Le principe d'indiscernabilité peut avoir des conséquences très importantes sur la statistique. Nous

distinguons deux types de particules indiscernables : les bosons (comme le photon) et les fermions

(comme l'électron).

Rappels :

R1. Les premiers correspondent à des particules dont la fonction d'onde représentative est toujours

symétrique alors que celles des fermions est antisymétrique.

R2. Le principe d'exclusion de Pauli impose que 2 fermions ne peuvent pas se trouver dans le même

état quantique. Les bosons, eux le peuvent !

Leurs propriétés respectives ont pour conséquence importante que l'énergie minimale d'un ensemble

de N bosons est égale à N fois l'énergie minimale de chaque boson. Alors que pour un ensemble de

fermions, l'énergie minimale est égale à la somme des N énergies les plus faibles.

Ces deux types de particules entraînent deux types de statistiques : la statistique de Fermi-Dirac

pour les fermions (que nous allons démontrer en premier) et la statistique de Bose-Einstein pour les

bosons (qui suivra).

Il n'existe donc qu'une seule manière de répartir N fermions sur les états d'énergies accessibles (au

lieu des N! pour les particules discernables). Il ne peut pas y avoir plus de particules dans un

niveau d'énergie qu'il existe de dégénérescence . Donc :

(32.113)

Le nombre de combinaisons possible pour un niveau , dégénéré fois et comportant

particules est donc la combinatoire . Le nombre total de configurations est donc :

(32.114)

La statistique est donc bien différente du cas classique de Maxwell-Boltzmann. En prenant le

logarithme du nombre de micro-états et en faisant usage de la formule de Stirling comme plus haut,

il vient :

(32.115)

Que nous pouvons déjà simplifier une première fois :

(32.116)

et en différenciant cette expression pour trouver le maximum, nous obtenons :

(32.117)

Terme à terme :

(32.118)

Or, nous avons par conservation et par symétrie :

(32.119)

Donc finalement :

(32.120)

Pour respecter les contraintes sur l'énergie et le nombre de particules, nous utilisons encore une fois

la méthode des multiplicateurs de Lagrange :

(32.121)

Ce qui nous amène à la distribution de Fermi-Dirac :

(32.122)

Les paramètres et jouent le même rôle que dans la distribution de Maxwell-Boltzmann. Nous

avons ainsi :

et (32.123)

Nous avons alors :

(32.124)

Ainsi, en physique quantique, la statistique de Fermi-Dirac désigne le nombre de fermions

indiscernables sur les états d'énergie d'un système à l'équilibre thermodynamique dégénéré (donc le

nombre de fermions occupant le niveau d'énergie donné!).

Pour les systèmes macroscopiques, les niveaux d'énergie sont si serrés (ou tellement nombreux) que

nous pouvons considérer le spectre d'énergies comme continu (approximation du continuum).

Nous raisonnerons donc dans ce contexte de continuum, ce qui nous permet d'écrire en normant

aux nombres de particules mises en jeu (tout ce que l'on demande à la fonction c'est de nous dire

comment sont réparties les N particules) :

(32.125)

ou:

(32.126)

pour la fonction de Fermi-Dirac avec le tracé correspondant plus bas de la distribution.

Cette relation est très importante par exemple dans la théorie de semi-conducteurs (cf. chapitre

d'Electrocinétique) qui est à la base de l'électronique du 20ème et 21ème siècles.

De manière numérique, nous pouvons simuler l'évolution de l'allure de la distribution (qui n'est pas

une distribution dans le sens mathématique du terme) en fonction de l'énergie et de la température.

Pour cela, nous supposons pour simplifier que la constante de Boltzmann vaut 1 et que le potentiel

chimique mu vaut 2 (nous notons que celui-ci est en toute rigueur fonction de la température).

Ainsi, nous pouvons écrire le petit programme suivant sous Matlab :

clear all;kb=1; % Constante de Boltzmann

mu=2; % Potentiel Chimique

T=0.001:0.1:1; % " Gradient " de température pour le programme

for j=1:length(T)

beta(j)=1/(kb*T(j));

epsilon=0.1:0.1:4; % L'énergie avec le pas

for i=1:length(epsilon)

Nf(i,j)=1/(exp(beta(j)*(epsilon(i)-mu))+1); % Nb(epsilon,beta) moyen de fermions au

end % niveau d'énergie epsilon

hold on %

plot(epsilon,Nf(:,j));

pause(0)

end

(32.127)

Au zéro absolu nous voyons que nous avons une marche. A cette température, les niveaux

d'énergie dégénéres sont occupés à bloc en partant du niveau d'énergie le plus bas jusqu'à un

certain niveau représentant la chute de la marche. Nous disons alors que le gaz de fermions est

"complétement dégenéré".

La fonction de Fermi-Dirac, au zéro absolu, vaut donc 1 si E est inférieur à et 0 pour les valeurs

supérieures (le système choisit sont état d'énergie minimale où les N particules occupent les N états

de plus basse énergie).

Evidemment, dans les hautes énergies d'excitation (ou hautes températures) la probabilité (rapport)

d'occupation d'un état est très faible et donc il n'est pas important d'appliquer le principe de Pauli (la

probabilité que deux électrons veuillent occuper le même niveau d'énergie est très faible). Pour ces

raisons, ce régime limite entre le comportement quantique et classique est appelé parfois "régime

classique" et la haute température correspondante à l'excitation énergétique est appelée

"température de Fermi".

Le potentiel chimique est quant à lui par définition le dernier niveau énergétique occupé au zéro

absolu (la fameuse marche d'escalier!). Nous le notons en physique (et à l'opposé en

chimie...) et nous l'appelons "niveau de Fermi". Nous voyons alors immédiatement que quelque soit

la température:

(32.128)

la probabilité d'occupation par les électrons est donc de 1/2 dans ce niveau. La définition du niveau

de Fermi peut alors être donnée par:

(32.129)

La principale application aux solides de cette statistique est la modélisation des phénomènes de

transport électronique (gaz d'électrons) : théorie des métaux, des semi-conducteurs, population des

niveaux d'énergie et propriétés de conduction (cf. chapitre d'Electrocinétique).

DISTRIBUTION DE BOSE-EINSTEIN

Les bosons sont d'autres particules quantiques qui peuvent indistinctement se placer sur tous les

niveaux d'énergie. Le principe de Pauli ne s'y applique donc pas! Dans ce cas, le nombre d'objet à

permuter est (les particules et les intervalles entre les niveaux). Parce que les

particules sont indiscernables et les niveaux et sous niveaux permutables, il faut diviser par puis

aussi par Le nombre de configurations sur un niveau , fois dégénéré qui

contient particules indiscernables est ainsi égal à :

(32.130)

Son logarithme avec usage de la formule de Stirling et après simplification est donné par :

(32.131)

Le maximum de correspond à annuler , soit :

(32.132)

Pour respecter les contraintes sur l'énergie et le nombre de particules, nous utilisons encore une fois

la méthode des multiplicateurs de Lagrange :

(32.133)

et donc :

(32.134)

qui est la distribution statistique de Bose-Einstein. Cette distribution diverge lorsque:

(32.135)

C'est la "condensation de Bose-Einstein". Dans cet état, tous les bosons se retrouvent dans le même

état.

Les paramètres et jouent le même rôle que dans la distribution de Maxwell-Boltzmann et

Fermi-Dirac. Nous avons ainsi :

et (32.136)

Le nombre (moyen) de bosons est alors donné par:

(32.137)

à comparer avec le nombre (moyen) de fermions au même niveau d'énergie (fonction de Fermi-

Dirac):

(32.138)

Ainsi, en mécanique quantique, la statistique de Bose-Einstein désigne la distribution statistique de

bosons indiscernables (tous similaires) sur les états d'énergie d'un système à l'équilibre

thermodynamique.

Pour les systèmes macroscopiques, les niveaux d'énergie sont si serrés (ou tellement nombreux) que

nous pouvons considérer le spectre d'énergies comme continu (approximation du continuum).

Nous raisonnerons donc dans ce contexte, ce qui nous permet d'écrire en normant aux nombres de

particules mises en jeu (tout ce que l'on demande à la fonction c'est de nous dire comment sont

réparties les N particules):

(32.139)

pour la fonction de Bose-Einstein. Elle n'est donc définie que pour les énergies supérieures au

potentiel chimique (sinon quoi elle est négative!).

De manière numérique, nous pouvons simuler l'évolution de l'allure de la distribution en fonction de

l'énergie et de la température. Pour cela, nous supposons pour simplifier que la constante de

Boltzmann vaut 1 et que le potentiel chimique m2 (nous notons que celui-ci est dans l'absolu

fonction de la température). Ainsi, nous pouvons écrire le petit programme suivant sous Matlab :

clear all;kb=1; % Constante de Boltzmann

mu=2; % Potentiel Chimique

T=0.001:0.1:1; % " Gradient " de température pour le programme

for j=1:length(T)

beta(j)=1/(kb*T(j));

epsilon=0.1:0.1:4;

for i=1:length(epsilon)

Nf(i,j)=1/(exp(beta(j)*(epsilon(i)-mu))-1); % Nb(epsilon,beta) moyen de fermions au

end % niveau d'énergie epsilon

hold on %

plot(epsilon,Nf(:,j));

pause(0)

end

(32.140)

À haute température, lorsque les effets quantiques ne se font plus sentir, la statistique de Bose-

Einstein, comme la statistique de Fermi-Dirac qui régit les fermions, tend vers la statistique de

Maxwell-Boltzmann:

(32.141)

Aux basses températures, cependant, les statistiques de Bose-Einstein et de Fermi-Dirac diffèrent

entre elles. Nous nous plaçons, par exemple, à température nulle : dans la première, nous attendons

alors que le niveau de plus basse énergie contienne tous les bosons, tandis que dans la seconde, les

niveaux de plus basse énergie contiennent fermions.

Par ailleurs, à température nulle (273.15 [°K]), la statistique de Bose-Einstein montre de manière

évidente que toutes les particules doivent occuper le même état quantique : celui de plus basse

énergie. Ce phénomène est observable à l'échelle macroscopique et constitue un "condensat de

Bose-Einstein".

La statistique de Bose-Einstein est utile à la compréhension des phénomènes électromagnétiques

ondulatoire car les photons sont des Bosons (rayonnement du corps noir, interaction

matière/rayonnement). Elle est très largement utile à l'étude des phénomènes vibrationnels dans les

solides (les phonons suivent la statistique de Bose-Einstein). Elle a aussi été utilisée pour expliquer

les transitions de phase dans l'Hélium (phénomène à très basse température).

Remarques:

R1. La statistique de Bose-Einstein a été introduite par Satyendranath Bose en 1920 pour les

photons et généralisée aux atomes par Albert Einstein en 1924.

R2. Un résultat mathématique appelé "théorème spin-statistique" relie le spin d'une particule et le

type de statistique qu'elle suit. Il stipule que les particules de spin entier sont des bosons, alors

que les particules de spin demi-entier sont des fermions. La démonstration de ce théorème ne se

trouve pas encore sur le présente site Internet à ce jour.

Pour terminer, voici un résumé simplifié des choses qui peut éventuellement aider à une meilleure

compréhension:

Particules Statistiques Particularités

Bosons

(photons, gluons…) Statistique de Bose-Einstein

Particules indiscernables

Aucune contrainte sur le nombre

de particules par état

Fermions

(électron, proton, neutrino…) Statistique de Fermi-Dirac

Particules sont indiscernables

Le nombre de particules par état

à 0 ou 1

Classique Statistique de Maxwell-

Boltzmann

Particules sont discernables

Aucune contrainte sur le nombre

de particules par état

Tableau: 321 - Similitudes des différentes distributions quantiques

(32.142)

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