Notes sur les équations, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les équations, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les équations. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les "équations algébriques", les définitions.
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ÉQUATIONS

L'algèbre élémentaire consiste à partir des définitions de l'addition, soustraction, multiplication, et

puissance et de leurs propriétés (associativité, distributivité, commutativité, élément neutre,

inverse, ...) - ce qui constitue selon l'ensemble sur lequel nous travaillons un corps ou un groupe

commutatif abélien ou non (cf. chapitre Théorie des Ensembles) - de manipuler selon un but fixé

des "équations algébriques" mettant en relation des variables et constantes..

Nous allons définir de suite après ce qu'est une équation et une inéquation mais nous souhaitons

d'abord définir certaines de leurs propriétés:

Soit A et B deux polynômes (ou monômes) quelconques - voir définitions un peu plus loin - les

expressions:

(8.6)

Vérifient les propriétés suivantes:

P1. Nous pouvons toujours ajouter ou ôter aux deux membres d'une inéquation ou équation un

même polynôme en obtenant une inéquation ou équation équivalente (c'est à dire avec les mêmes

solutions ou réductions). Nous disons alors que l'égalité ou l'inégalité restent "vraies" par

l'opération d'addition ou de soustraction membre à membre.

P2. Si nous multiplions ou si nous divisons les deux membres d'une équation ou inéquation par un

même nombre positif nous obtenons également une inéquation ou équation équivalente (nous

avons déjà vu cela). Nous disons alors que l'égalité ou l'inégalité reste "vraie" par l'opération de

multiplicaton ou division membre à membre..

P3. Si nous multiplions ou si nous divisons les deux membres d'une inéquation par un même

nombre négatif et si nous inversons le sens de l'inégalité, nous obtenons alors une inéquation ou

équation équivalente.

ÉQUATIONS

Définition: Une "équation" est une relation d'égalité entre des valeurs toutes abstraites (autrement

dit: deux expressions algébriques) ou non toutes abstraites (dès lors nous parlons d'équations à

une inconnue, deux inconnues, trois inconnues, ... ) reliées entre elles par des opérateurs divers.

La maîtrise parfaite de l'algèbre élémentaire est fondamentale en physique-mathématique et dans

l'industrie!!! Comme il existe une infinité de types d'équations, nous ne les présenterons pas ici.

C'est le rôle de l'enseignant/formateur dans les classes d'entraîner le cerveau de son auditoire

pendant plusieurs années (2 à 3 ans en moyenne) à résoudre énormément de configurations

différentes d'équations algébriques (exposées sous forme de problèmes de tous les jours,

géométriques ou purement mathématiques) et ce afin que les élèves manipulent ces dernières

sans erreurs en suivant un raisonnement logique et rigoureux (ce n'est qu'en forgeant que l'on

devient forgeron...)!!!

En d'autres termes: Un professeur/formateur et un établissement ad hoc sont irremplaçables pour

acquérir un savoir et avoir un retour d'expérience!!!

Nous avons tenté, ci-dessous, de faire une généralisation simpliste des règles de base de l'algèbre

élémentaire. Cette généralisation sera d'autant plus simple à comprendre que le lecteur aura

l'habitude de manipuler des quantités abstraites:

Ainsi, soit a, b, c, d, e, ..., x, y des nombres abstraits pouvant prendre n'importe quelle valeur

numérique (nous restons dans le cadre des nombres classiques scolaires et industriels...).

Soit (la lettre majuscule grecque se prononçant "Xi") représentant un ou plusieurs nombres

abstraits (variables) opérants entre eux d'une façon quelconque tel que nous ayons des monômes

(un seul nombre abstrait) ou polynômes (poly = plusieurs) algébriques différents distinguables ou

non (nous faisons donc ici une sorte d'abstrait de l'abstraction ou si vous préférez une variable de

plusieurs variables).

Propriétés (il s'agit plus d'exemples au fait que de propriétés...):

P1. Nous aurons toujours si et seulement si le terme à gauche de l'égalité représente le

même terme que celui qui est à droite de l'égalité. Si cette condition est satisfaite nous avons

alors :

(8.7)

Sinon:

(8.8)

où nous excluons donc les cas où tous les sont identiques entre eux (sinon nous revenons à

P1).

P3. Nous avons:

(8.9)

qui vérifie la symbolique de l'équation dans le cas seulement où les éléments sont

identiques entre eux (nous excluons bien évidemment le cas avec dénominateur nul).

Nous avons sinon dans le cas où tous les sont strictement différents:

(8.10)

Nous pouvons avoir:

(8.11)

dans le cas où une simplification (ou non) des termes contenus dans les amène à une identité

de la relation binaire (non nécessairement égale à l'unité).

P4. Si tous les sont strictement identiques, alors:

(8.12)

Sinon nous avons:

(8.13)

qui ne peut s'écrire sous forme condensée simple. Il peut aussi arriver que:

(8.14)

avec le à droite de l'égalité identique à aucun, un ou encore plusieurs du membre gauche de

l'égalité.

P5. Nous pouvons avoir:

(8.15)

sans que nécessairement les exposants du numérateur ou dénominateur soient égaux (nous

excluons le dénominateur nul)

Sinon nous pouvons avoir:

ou (8.16)

mais il n'est cependant bien évidemment pas impossible d'avoir quand

même ou (nous excluons le cas avec dénominateur nul)

P6. Nous avons si tous les sont strictement identiques aux dénominateurs:

(8.17)

Mais... il est également possible que dans l'expression précédente certains différents s'annulent

cependant entre eux dès que leur divisions mutuelle est égale à l'unité (nous excluons le

dénominateur nul).

Si tous les de la relation précédente sont identiques, la relation est égal à l'unité.

Sinon nous avons:

(8.18)

mais il n'est cependant pas impossible d'avoir quand même:

(8.19)

avec le à droite de l'égalité identique à aucun, un ou plusieurs du membre gauche de l'égalité

ou même il est tout à fait possible d'avoir:

(8.20)

P7. Soit représentant indifféremment soit exclusivement l'addition ou exclusivement la

soustraction nous avons (au signe près):

(8.21)

si tous les sont identiques entre eux ou si la combinaison d'un nombre indéterminés de sont

égaux au présent à droite de l'égalité.

Sinon quoi nous aurons:

(8.22)

il peut cependant arriver que le à droite de l'égalité soit identique à aucun, un ou

plusieurs du membre gauche de l'égalité.

Nous pouvons également avoir:

(8.23)

si et seulement si les sont tous égaux (ou décomposable égaux) et les puissances non

nécessairement égales.

A partir de la connaissance des ces 7 règles/exemples de base, nous pouvons résoudre, simplifier

ou montrer qu'une équation simple possède des solutions ou non par rapport à un problème ou

énoncé donné.

Ainsi, soit une opérande ou une suite d'opérations quelconques sur une ou des abstractions

d'abstrait et parmi tous les , une (ou plusieurs) dont la ou les valeurs numériques est ou sont

inconnues (les autres étant connues). Alors, nous devons pouvoir trouver ou démontrer qu'une

équation du type:

(8.24)

possède ou non des solutions.

Dans le cas d'une équation avec la valeur absolue (cf. chapitre Opérateurs Arithmétiques) du type:

(8.25)

avec le deuxième membre strictement positif (sinon la relation précédente serait un non sens) cela

équivaut bien sûr d'après la définition de la valeur absolue à écrire:

et (8.26)

Remarques:

R1. La présence de la valeur absolue dans une équation algébrique dont nous cherchons les

solutions double souvent le nombre de solutions.

R2. Une équation est dite "équation conditionnelle", s'il y a des nombres dans l'ensemble de

définition des expressions qui ne sont pas solutions (ce qui est en fait le cas le plus fréquent).

Inversement, si tout nombre de l'ensemble de définition est solution de l'équation alors l'équation est

dit "équation identité".

Nous pouvons parfois avoir à résoudre (et non à simplifier) un "système d'équations". Qu'est-ce

que c'est ?: C'est un ensemble d'au moins 2 équations à résoudre (et non à simplifier!). La

particularité du système ? : L'ensemble des solutions du système est l'intersection des solutions

de toutes les équations à résoudre. Quelle est leur utilité ?: Elle est sans fin, ces systèmes

permettent de résoudre des problèmes faisant intervenir des applications des mathématiques à

d'autres domaines. A cause de la variété illimitée des applications, il est difficile d'établir des

règles précises pour trouver des solutions. La marche à suivre que voici peut-être utile pour

autant bien sûr que le problème puisse être formulé sous forme d'équations:

1. Si le problème est posé par écrit, le lire plusieurs fois soigneusement, réfléchir aux faits donnés

ainsi qu'à la quantité d'inconnues à trouver (résumer l'énoncé sur une feuille de papier est souvent

plus qu'utile pour les gros problèmes!).

2. Choisir une lettre qui représente la quantité inconnue. C'est l'un des pas décisifs dans la

recherche de la solution. Des phrases contenant des mots comme: trouver, quoi, combien, où,

quand ; devraient vous renseigner sur la quantité inconnue.

3. Faire éventuellement un dessin (de tête ou sur papier) avec des légendes.

4. Dresser une liste des faits connus et des relations concernant les quantités inconnues. Une

relation peut être décrite par une équation dans laquelle apparaissent d'un seul ou des deux côtés

du signe égal des énoncés écrits à la place des lettres ou des nombres.

5. Après avoir analysé la liste de l'étape 4, formuler une ou plusieurs équations qui décrive nt

précisément ce qui est énoncé avec des mots.

6. Résoudre l'équation ou le système d'équation formulée à l'étape 5.

7. Contrôler les solutions obtenues à l'étape 6 en se reportant à l'énoncé de départ du problème.

Vérifier que la solution concorde avec les conditions de l'énoncé.

Les méthodes de résolutions des systèmes d'équations sont traités en détails dans le chapitre de

Méthodes Numériques (vous y verrez la méthode) et également dans le chapitre d'Algèbre linéaire

de la présente section (vous y comprendrez pourquoi la méthode est telle quelle).

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