Notes sur les équations différentielles, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les équations différentielles, Notes de Mathématiques

PDF (126.9 KB)
3 pages
526Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur les équations différentielles. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Définition, la forme, les équations différentielles du 1er ordre, les équations différentielles linéaires.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

Définition: En mathématique, une "équation différentielle" (E.D.) est une relation entre une ou

plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées jusqu'à l'ordre n. "L'ordre" d'une équation

différentielle correspond au degré maximal de différentiation auquel une des fonctions inconnues

y a été soumise.

Par rapport à notre objectif d'essayer de voir comment les mathématiques décrivent la réalité, les

équations différentielles remportent un franc succès, mais sont également la source de bien des

soucis. D'abord des difficultés de modélisation (voir par exemple le système d'équation

différentielles de la relativité générale...), des difficultés de résolution (il n'existe pas de méthode

générale!), puis des difficultés proprement mathématiques, enfin des difficultés liées au fait que

certaines équations différentielles ne sont pas stables par nature et donnent des solutions

chaotiques (voir le chapitre de dynamique des populations pour des exemples simples flagrants!).

Remarque: Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques

de phénomènes physiques et biologiques, par exemple pour l'étude de la radioactivité ou la

mécanique céleste. Par conséquent, les équations différentielles représentent un immense champ

d'étude, aussi bien en mathématiques pures qu'appliquées

L'équation différentielle d'ordre n la plus générale peut toujours s'écrire sous la forme :

(10.1)

Nous ne considérons sur ce site que le cas où x et y sont à valeur dans . Une solution à une telle

E.D. sur l'intervalle est une fonction (une fonction qui est nfois

continûment dérivable) telle que pour tout , nous ayons :

(10.2)

Remarques:

R1. Pour des raisons qui seront développés par la suite, nous disons aussi "intégrer l'E.D." au lieu de

"trouver une solution à l'E.D.".

R2. Etant donné que tout le site internet est bourré d'exemples d'équations différentielles et de

méthodes de résolutions dans les chapitres sur la mécanique, la physique atomique, la cosmologie,

l'économétrie, les suites et séries, etc., nous ne ferons pas d'exemples ici et nous intéresserons donc

qu'à l'aspect théorique minimal.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE

Une équation différentielle du 1er ordre est donc une E.D. qui ne fait intervenir que la première

dérivée y'.

Définition: Une équation différentielle du 1er ordre est dite "E.D. d'ordre 1 à variables séparées" si

elle peut s'écrire sous la forme :

(10.3)

Une telle équation différentielle peut s'intégrer facilement. En effet, nous écrivons :

(10.4)

Puis symboliquement :

(10.5)

Remarque: Nous écrivons ici explicitement la constante d'intégration arbitraire (qui est

implicitement présente dans les intégrales indéfinies) pour ne pas l'oublier!

Il s'agit donc d'abord de trouver des primitives F et G de f et de g, et ensuite d'exprimer y en terme

de x (et deC) :

(10.6)

La constante d'intégration est fixée lorsqu'on demande que pour un donnée, nous ayons

une valeur donnée de . Nous parlons alors de "problème aux valeurs initiales".

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

Définition: Une équation différentielle d'ordre n est dite "E.D. linéaire" (E.D.L.) si et seulement si

elle est de la forme :

(10.7)

Avec :

(10.8)

Voyons maintenant une propriété qui peut sembler négligeable du premier coup d'oeil qui va

prendre de l'importance plus loin!

Nous allons montrer que L est une application linéaire :

(10.9)

Et pour tout :

(10.10)

Définition: L'équation différentielle (c'est la plus courante en physique) :

(10.11)

s'appelle "équation homogène" (E.H.) ou "équation sans second membre" (ESSM) associée à :

(10.12)

Nous allons maintenant démontrer une propriété importantes des E.H. : l'ensemble des

solutions de E.H. est le noyau de l'application linéaire L (ce qui rappelons-le signifie : )

et l'ensemble {S} des solutions à est donné par :

avec (10.13)

c'est-à-dire que les solutions de la forme:

(10.14)

où est une "solution particulière" de et la "solution homogène", parcourent

toutes les solutions de l'E.D.

Démonstration:

La première affirmation sera supposée évidente.

En ce qui concerne la 2ème partie, toute fonction de la forme est solution de

.

En effet c'est trivial et cela découle de la définition du concept de noyau (cf. chapitre de Théorie

Des Ensembles) :

(10.15)

C.Q.F.D.

Ce qu'il est important aussi de comprendre avec les E.D. linéaires avec second membre, c'est que

si nous trouvons des solutions à L(y) avec un second membre donné et des solutions à la même

E.D. avec un autre second membre (différent!), alors la somme de toutes ces solutions, sera

solution de l'E.D. avec la somme des seconds membres!!!

Il existe de nombreuses manières de résoudre les équations différentielles linéaires ou non

linéaires de manière exacte ou approchée. Citons les quelques méthodes que nous analyserons

plus loin par l'exemple (mais qui se trouvent déjà de nombreuses fois dans le chapitres de

physique) :

- La méthode du polynôme caractéristique (voir plus bas)

- La méthode des perturbations (voir plus bas)

La méthode de variation de la constante ne sera pas présentée car basée sur une hypothèse

empirique elle est dangereuse d'usage en physique!

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome