Notes sur les espaces ponctuels - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les espaces ponctuels - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur les espaces ponctuels - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la notion de "espaces ponctuels", les relations.
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L'étude des phénomènes physiques recourt dans un premier temps à leur représentation dans

l'espace de la géométrie classique euclidienne à une dimension temporelle et à un nombre

quelconque de dimensions spatiales.

Les vecteurs que nous avons étudié dans le chapitre de Calcul Vectoriel (tenseurs d'ordre 1) et

les tenseurs (d'ordre quelconque) que nous avons aussi étudié dans le chapitre de Calcul

Tensoriel peuvent comme nous avons en déjà fait mention, êtres utilisés pour relier chacun des

points de l'espace-temps à un référentiel et former ainsi des champs de vecteurs ou/et de

tenseurs. Cet état de fait mathématique, nécessite la définition mathématique d'espaces formés

de points ou également appelés "espaces ponctuels".

La définition précise d'espace vectoriel ponctuel que nous allons faire sera construite à partir de

la notion d'espace vectoriel que nous avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel (voir section

d'algèbre)

Voyons tout d'abord l'exemple particulier de l'espace ponctuel formé par des triplets de

nombres qui est issu directement de l'espace géométrique classique à trois dimensions.

Ainsi, donnons-nous des triplets de nombres notés:

(28.70)

etc... Appelons l'ensemble de tous les éléments {A,B,...} formés par des triplets de

nombres. À tout couple (A,B) de deux éléments de , pris dans cet ordre, nous pouvons faire

correspondre un vecteur , appartenant à un espace vectoriel espace vectoriel , noté

géométriquement , en définissant celui-ci par un triplet de nombres tel que (nous utilisons

la notation indicielle vue dans le chapitre Calcul Tensoriel) :

(28.71)

avec . Nous avons donc:

(28.72)

Si nous définissons par rapport à cet élément l'addition et la multiplication par un scalaire, nous

nous retrouvons comme nous l'avons déjà vu en théorie des ensembles avec une structure

d'espace vectoriel.

La correspondance que nous établissons ainsi, entre tout couple (A,B) de deux éléments

de et un vecteur d'un espace vectoriel , vérifie manifestement les propriétés suivantes :

P1.

P2. Associativité par rapport à l'addition:

P3. Si O est un élément arbitraire choisi dans , à tout vecteur de , il correspond un

point M et un seul tel que .

Lorsque nous avons muni l'ensemble de cette loi de correspondance avec , vérifiant les

trois propriétés précédentes, nous disons que l'ensemble des triplets de nombres constitue un

"espace ponctuel", noté . Les éléments de sont alors appelés des "points".

L'espace ponctuel se confond en tant qu'ensemble d'éléments avec l'ensemble mais il

s'en distingue en tant qu'espace ponctuel qui constitue un ensemble structuré par la loi de

correspondance que nous nous donnons. De même, les espaces et sont distincts par

suite de leur structure différente et nous pouvons établir une distinction entre les éléments de

chacun des espaces. Nous disons que constitue le support des espaces et .

Nous pouvons bien évidemment généraliser le support à . Ainsi, muni de la structure

d'espace vectoriel que nous avons définie précédemment constitue un espace ponctuel

à n dimensions que nous noterons . Les éléments de étant appelés des "points".

L'espace vectoriel est appelé "l'espace associé" à . Lorsque l'espace vectoriel associé est

un espace pré-euclidien (muni du produit scalaire), nous disons alors que est un "espace

ponctuel pré-euclidien".

Considérons un point O quelconque d'un espace ponctuel pré-euclidien et une base de

l'espace vectoriel associé .

Définitions:

D1. Nous appelons "repère de l'espace" l'ensemble constitué par les éléments O (origine) et

de la base . Ce genre de repère est noté :

(28.73)

ou encore simplement :

(28.74)

D2. Les "coordonnées" d'un point M d'un espace ponctuel pré-euclidien , par rapport au

repère , sont les composantes (contravariantes) du vecteur de l'espace par

rapport à la base .

Soient deux points M et M' de définis par leurs coordonnées respectives et , nous

avons:

(28.75)

En utilisant les propriétés P1 et P2 données précédemment :

(28.76)

Nous en déduisons que les composantes du vecteur , par rapport à la base , sont

les n quantités , différences des coordonnées des points M et M'.

Soient et deux repères quelconques de liés entre eux par les relations générales

(cf. chapitres de Calcul Tensoriel et d'Algèbre Linéaire) :

et (28.77)

Cherchons les relations entre les coordonnées d'un point M de par rapport à ces deux

repères. Pour cela, exprimons les vecteurs et sur chacune des bases de :

(28.78)

ainsi que les vecteurs et , soit:

(28.79)

Nous avons d'autre part:

(28.80)

Identifiant ce résultat par rapport au vecteur dans l'expression de , nous avons:

(28.81)

En de façon analogue:

(28.82)

Ces deux relations sont plus que pratiques en physique où nous avons souvent à considérer un

référentiel dans un repère (ainsi nous pouvons exprimer la position d'un point depuis l'un ou

l'autre repère en usant de ces deux relations).

Considérons maintenant un espace ponctuel pré-euclidien ainsi que M et M' deux points de cet

espace. Nous avons démontré lors de notre étude de la topologie (cf. chapitre de Topologie),

que la norme du vecteur MM' est une mesure possible de la distance entre M et M' . Nous avons

donc :

(28.83)

Si les deux points M et M' ont respectivement pour coordonnées et , par rapport à un

repère , nous savons que nous avons :

(28.84)

La norme au carré est donc donnée comme nous l'avons vu lors de notre étude du calcul

tensoriel (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) par la relation:

(28.85)

Si le point M' est infiniment proche du point M, ses coordonnées sont notées et le

vecteur a pour composantes les quantiques .

Si nous notons ds la distance entre les points M et M' . La relation précédente donne

l'expression du carré de la distance entre ces points sous la forme:

(28.86)

Rappelons également (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) que pour un espace ponctuel pré-

euclidien où les vecteurs de base sont donc orthonormés, nous avons:

(28.87)

et l'expression de la distance devient alors :

(28.88)

Nous obtenons ainsi une expression qui généralise, à n dimensions, le carré de la distance

élémentaire, par rapport à un repère cartésien orthonormé, dans l'espace de la géométrie

classique (euclidienne).

Les vecteurs de la physique sont généralement des fonctions d'une ou plusieurs variables,

celles-ci pouvant être des variables d'espace ou du temps. Lorsque à un point M d'un espace

ponctuel , nous attachons un tenseur, défini par ses composantes par rapport à un

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