Notes sur les espaces ponctuels - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les espaces ponctuels - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur les espaces ponctuels - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le concept d'espace ponctuel, les relations.
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repère , nous dirons que nous nous sommes donnés un "champ de tenseurs" (le champs de

tenseur d'ordre 1 étant des champs vectoriels).

Pour des vecteurs à n dimensions, la notion de dérivée d'un vecteur à trois dimensions se

généralise et nous obtenons toutes les relations classiques relatives aux dérivées.

Considérons ainsi un vecteur appartenant à un espace pré-euclidien dont les

composantes, sur une base , sont des fonctions d'un paramètre quelconque . Nous

noterons ce vecteur et nous aurons:

(28.89)

Par définition, la dérivée du vecteur par rapport à la composante est un vecteur noté:

(28.90)

selon la notation utilisée par les mathématiciens. Ou :

(28.91)

selon la notation abrégée des physiciens. Ou encore:

(28.92)

selon l'humeur du physicien. Ou encore :

(28.93)

si nous respectons les écritures...

Dans ce site, nous basculons d'une notation à l'autre sans préavis en fonction de l'envie de

simplifier les écritures (il faudra s'y faire..).

Etant donné que nous faisons actuellement plus de la mathématique que de la physique, nous

noterons:

(28.94)

En rappelant (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) que la différentielle est donnée par:

(28.95)

Les différentes expressions de dérivations des vecteurs à trois dimensions relatives à la somme

de vecteurs, au produit par un scalaire de deux vecteurs, sont aisément transposables aux

vecteurs à n dimensions.

Si un vecteur de dépend de plusieurs paramètres indépendants, , la dérivée

partielle du vecteur par rapport à la variable , par exemple, est un vecteur noté:

ou (28.96)

dont les composantes sont les dérivées partielles des composantes de , soit:

(28.97)

La différentielle totale du vecteur s'écrivant (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et

Intégral):

(28.98)

Considérons maintenant un espace vectoriel pré-euclidien associé à un espace ponctuel .

Dans un repère tout point M de est associé à un vecteur de tel que . Si

le vecteur dépend d'un paramètre et admet une dérivée , il en est de même alors

pour .

Montrons que le vecteur dérivé ne dépend pas du point origine O (statique) mais

seulement du pointM considéré. En effet, si O' est un autre point origine, nous avons:

(28.99)

et puisque le vecteur est fixe et ne dépend pas de , nous avons:

(28.100)

d'où:

(28.101)

Nous pouvons donc noter la dérivée du vecteur en mentionnant seulement le point M et

nous écrirons:

(28.102)

La différentielle de s'écrit alors:

(28.103)

Si un point M de est associé, par rapport à un repère à un vecteur , les

dérivées partielles de ne dépendront que du point M et nous écrirons, par exemple:

(28.104)

Afin d'alléger les expressions des dérivées partielles totales des fonctions dépendantes

de n variables, nous utilisons quand le contexte s'y prête, les notations indicielles suivantes.

Si est une fonction desn variables , nous noterons les dérivées partielles

sous la forme:

(28.105)

Les dérivées secondes par rapport aux variables et s'écriront:

(28.106)

Lorsque est un vecteur tel que , dont les composantes sont des fonctions

de n variables , soit:

(28.107)

les dérivées partielles du vecteur seront notées, en utilisant la convention de sommation:

(28.108)

Le concept d'espace ponctuel étant maintenant introduit, nous pouvons maintenant passer à

l'étude du formalisme lagrangien et la détermination de la formulation mathématique du

principe de moindre action (voir chapitre suivant).

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