Notes sur les espaces vectoriels fonctionnels , Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les espaces vectoriels fonctionnels , Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les espaces vectoriels fonctionnels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: deux opérations, les espaces vectoriels hermitiens, le produit hermitien, les types d'espaces vectoriels.
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ESPACES VECTORIELS FONCTIONNELS

Soit l'ensemble des fonctions réelles k-fois dérivables dans l'intervalle fermé . Nous

désignerons les éléments de cet ensemble par les lettres

La valeur de au point t sera bien évidemment notée . Dire que équivaudra donc à

dire que :

(12.121)

De manière abrégée, nous écrirons , le signe indiquant ainsi que les deux membres

sont égaux pour tout t de l'intervalle .

Considérons les deux opérations suivantes :

- définie par la formule

- définie par la formule

Ces deux opérations satisfont à toutes les conditions des vecteurs d'un espace vectoriel que nous

avons déjà définies au début de ce chapitre (associativité, commutativité, vecteur nul, vecteur

opposé, distributivité, élément neutre) et munissent donc d'une structure d'espace vectoriel.

Le vecteur nul de cet espace étant bien évidemment la fonction nulle et l'opposé de étant la

fonction .

Il est intéressant de constater que en tant qu'espace vectoriel est une

généralisation de au cas continu. Nous pouvons en effet concevoir tout

vecteur de sous la forme d'une fonction réelle définie dans l'ensemble : la

valeur de cette fonction au point i est tout simplement .

Remarque: Les polynômes de degré n et à une inconnue forment aussi un exemple d'espace

vectoriel fonctionnel de dimension n+1 (à chaque coefficient du polynôme correspond une

composante du vecteur).

Le champ d'application privilégié de la théorie abstraite du produit scalaire est constitué par les

espaces vectoriels fonctionnels. Nous appelons ainsi aussi produit scalaire canonique

dans l'opération définie par la relation :

(12.122)

Cette opération définit bien un produit scalaire, les propriétés de ce dernier sont vérifiées et, en

outre, l'intégrale :

(12.123)

est positive si la fonction continue n'est pas identiquement nulle.

ESPACES VECTORIELS HERMITIENS

L'objectif de ce qui va suivre n'est pas de faire une étude détaillée du sujet des espaces vectoriels

complexes mais juste de donner le bagage et le vocabulaire minimum nécessaire à l'étude de

certaines théories physiques comme la physique quantique par exemple.

Lorsque les scalaires qui apparaissent dans la définition de la notion d'espace vectoriel sont des

nombres complexes (cf. chapitre sur les Nombres), et non plus des nombres réels, nous parlons

alors "d'espaces vectoriels complexes".

Remarque: Rigoureusement dans la communication courante, il devrait systématiquement être fait

mention si nous parlons d'espace vectoriel réel ou d'espace vectoriel complexe...

Citons quelques exemples d'espaces vectoriels complexes :

E1. L'espace vectoriel des vecteurs-colonnes à n termes complexes ( étant identifié à ).

Nous rencontrerons, entre autres, de tels vecteurs dans le chapitre de Physique Quantique

Relativiste.

E2. L'espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes en une indéterminée. Nous

rencontrerons ce genre d'espaces dans les chapitres de Physique Quantique Ondulatoire ou encore

de Chimie Quantique.

E3. L'espace vectoriel des fonctions complexes d'une variable réelle ou complexe dérivable ou non.

Nous rencontrerons ce genre d'espace très fréquemment dans la section de Mécanique

globalement et surtout dans les chapitres d'Électrodynamique ou encore de Mécanique

Ondulatoire.

Il s'agit ici d'adapter ce que nous avons fait précédemment au espace vectoriels complexes.

L'exemple suivant nous montre que nous ne pouvons pas transposer tel quel les définitions

précédentes. En effet, considérons l'espace vectoriel . Comme pour , nous pourrions être

tenté de définir un produit scalaire sur par :

(12.124)

avec .

Malheureusement, nous nous apercevons que cette définition n'est pas satisfaisante car nous

aurions alors :

(12.125)

et cette quantité n'est pas en général un nombre réel dans l'espace des complexes ce qui viole la

propriété de positivité du produit scalaire et donc empêche d'introduire tout concept de distance.

Nous ne pourrions donc plus définir une norme en posant . Pour que soit un

nombre réel positif nous voyons qu'il faudrait plutôt définir le produit scalaire comme ceci :

(12.126)

Dans ce cas nous avons :

(12.127)

qui est bien un nombre réel positif. A partir de là, nous pouvons à nouveau définir une norme sur

l'espace vectoriel complexe en posant :

(12.128)

Nous allons à présent montrer comment définir un produit scalaire sur en espace vectoriel

complexe dans le cas général.

PRODUIT HERMITIEN Définition: Soit H un espace vectoriel complexe (!). Nous appelons "produit scalaire" ou plus

exactement "produit hermitien" sur H, une application :

(12.129)

qui vérifie :

P1. La positivité :

(12.130)

P2. Nullité (définie):

(12.131)

P3. Symétrie hermitienne :

(12.132)

P4. La bilinéarité (forme bilinéaire) change un peu aussi... ce qui fait que nous parlons alors de

"sesquilinéarité". Nous parlons alors, dans l'ordre, d'anti-linéarité à gauche et de linéarité à droite

tel que :

(12.133)

Remarques:

R1. Certains mathématiciens mettent l'antilinéarité à droite. C'est simplement une question de

convention qui n'a aucune importance.

R2. Le lecteur remarquera peut-être sans peine que si les éléments des définitions précédentes sont

tous dans alors la sesquilinéarité se réduit à la bilinéarité et le caractère hermitien à la symétrie.

Donc le produit hermitien se réduit au produit scalaire.

R3. Nous souhaitons donner pour l'instant uniquement le minimum sur le vaste sujet que sont les

espaces vectoriels complexes afin que le lecteur puisse lire sans trop de peine le début du chapitre

de Physique Quantique Ondulatoire.

Lorsque nous munissons un espace vectoriel complexe d'un produit scalaire alors au même titre

qu'un espace vectoriel réel devient un espace vectoriel euclidien ou préhilbertien, l'espace vectoriel

complexe devient donc ce que nous appelons un "espace vectoriel hermitien" (terme assez souvent

utilisé dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire).

Définition: Encore une fois, nous disons qu'un espace H muni d'un produit hermitien est un

"espace de Hilbert" si cet espace est complet pour la métrique définie ci-dessus.

Ainsi, les espaces de Hilbert sont une généralisation comprenant les produits scalaires et produits

hermitiens des espaces euclidiens, préhilbertiens et hermitiens.

TYPES D'ESPACES VECTORIELS

Pour résumer tout cela :

- Nous appelons espace préhilbertien (réel ou complexe) tout espace vectoriel, de dimension finie

ou non, muni d'un produit scalaire.

- Nous appelons espace de Hilbert (réel ou complexe) tout espace préhilbertien complet (en tant

qu'espace normé).

- Nous appelons espace euclidien tout espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit

scalaire.

- Nous appelons espace hermitien tout espace vectoriel complexe de dimension finie muni d'un

produit scalaire.

Nous savons que tout espace vectoriel (réel ou complexe) normé de dimension finie est complet.

Ainsi, les espaces euclidiens et les espaces hermitiens sont des espaces de Hilbert (respectivement

réels ou complexes).

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