Notes sur les estimateurs de vraisemblance - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les estimateurs de vraisemblance - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les estimateurs de vraisemblance - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'estimateur de la loi binomiale, l'estimateur de la loi weibull.
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5.3. ESTIMATEUR DE LA LOI BINOMIALE

En utilisant la même méthode que pour la loi Normale (Gauss-Laplace) et la loi de Poisson, nous

allons donc rechercher l'estimateur de maximum de vraisemblance la loi Binomiale qui rappelons-

le, est définie par :

(7.30)

Dès lors, la vraisemblance est donnée par :

(7.31)

Il convient de se rappeler que le facteur qui suit le terme combinatoire exprime déjà les variables

successives selon ce que nous avons vu lors de notre étude de la fonction de distribution de

Bernoulli et de la fonction bin0miale.

Maximiser une fonction ou maximiser son logarithme est équivalent donc:

(7.32)

Nous cherchons maintenant à la maximiser :

(7.33)

Ce qui donne :

(7.34)

d'où nous tirons l'estimateur de maximum de vraisemblance biaisé qui sera :

(7.35)

Ce résultat est assez intuitif si l'on considère l'exemple classique d'une pièce de monnaie qui à

une chance sur deux de tomber sur une des ces faces. La probabilité p étant le nombre de

fois k où une face donnée a été observée sur le nombre d'essais total (toutes faces confondues).

Remarque: Dans la pratique, il n'est pas aussi simple d'appliquer ces estimateurs! Il faut bien réfléchir

lesquels sont les plus adaptés à une expérience donnée et idéalement calculer également l'erreur

quadratique moyenne (erreur standard) de chacun des estimateurs de la moyenne (comme nous l'avons

déjà fait pour la moyenne empirique plus tôt). Bref c'est un long travail de réflexion.

5.4. ESTIMATEUR DE LA LOI WEIBULL

Nous avons vu dans le chapitre de Génie Industriel une étude très détaillée de la loi de Weibull à

trois paramètres avec son écart-type et son espérance car nous avions précisée qu'elle était assez

utilisée dans le domaine de l'ingénierie de la fiabilité.

Malheureusement les trois paramètres de cette loi nous sont en pratique inconnus. A l'aide des

estimateurs nous pouvons cependant déterminer l'expression de deux des trois en

supposant comme étant nul. Cela nous donne donc la loi de Weibull dite "à deux paramètres"

suivante:

(7.36)

avec pour rappel et .

Dès lors la vraisemblance est donnée par:

(7.37)

Maximiser une fonction ou maximiser son logarithme est équivalent donc:

(7.38)

Cherchons maintenant à maximiser cela en se rappelant que (cf. chapitre de Calcul Différentiel et

Intégral):

et (7.39)

d'où:

(7.40)

Et nous avons pour le deuxième paramètre:

(7.41)

d'où:

(7.42)

Finalement avec les écritures correctes (et dans l'ordre de résolution dans la pratique):

et (7.43)

La résolution de ces équations implique de lourds calculs et on peut rien en tirer dans les tableaux

classiques comme MS Excel ou Calc de Open Office.

On prend alors une approche différente en écrivant notre loi de Weibull à deux paramètres ainsi:

(7.44)

avec pour rappel et .

Dès lors la vraisemblance est donnée par:

(7.45)

Maximiser une fonction ou maximiser son logarithme est équivalent donc:

(7.46)

Cherchons maintenant à maximiser cela en se rappelant que (cf. chapitre de Calcul Différentiel et

Intégral):

et (7.47)

d'où:

(7.48)

Et nous avons pour le deuxième paramètre:

(7.49)

Il est alors immédiat que:

(7.50)

injecté dans la relation:

(7.51)

Il vient:

(7.52)

en simplifiant:

(7.53)

La résolution des deux équations (dans l'ordre de haut en bas):

(7.54)

peut très facilement être calculé avec l'outil Valeur Cible de MS Excel ou Calc de Open Office.

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