Notes sur les fonctions - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les fonctions - 2° partie, Notes de Mathématiques

PDF (139.8 KB)
7 pages
467Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur les fonctions - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les asymptotes, exemples.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 7
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

(16.84)

Il faut démontrer que, quel que soit , l'inégalité sera satisfaite dès que ,

où N est défini par le choix de . L'inégalité précédente est évidemment équivalente à , qui est satisfait si nous avons x:

(16.85)

Nous admettons que l'exemple et la méthode sont discutables mais nous verrons plus tard les outils mathématiques adéquats pour arriver rigoureusement, sans magouilles et hypothèses de départ, au résultat obtenu précédemment.

La signification des symboles et , rend évidente celle des expressions :

f(x) tend vers b quand

et :

f(x) tend vers b quand

que nous notons symboliquement par:

et (16.86) Nous avons étudié le cas où la fonction f(x) tend vers une certaine limite b quand ou . Considérons maintenant le cas où la fonction tend vers l'infini quand la variable x varie d'une certaine manière. Définition: La fonction f(x) tend vers l'infini quand , autrement dit f(x) est infiniment grande quand , si pour chaque nombre positif M, aussi grand qu'il soit, nous pouvons trouver un nombre tel que pour toutes les valeurs de x différentes de a et vérifiant la

condition , l'inégalité est satisfaite. Si f(x) tend vers l'infini quand , nous écrivons:

(16.87) Si f(x) tend vers l'infini quand , en ne prenant que des valeur positives ou que des valeurs négatives, nous écrivons respectivement :

et (16.88)

Si la fonction f(x) tend vers l'infini quand on écrit:

(16.89)

et en particulier, nous pouvons avoir:

, , , (16.90) Il peut arriver que la fonction f(x) ne tende ni vers une limite finie, ni vers l'infini quand (par exemple ), la fonction est alors bornée (cf. chapitre de Théorie des Ensembles).

Maintenant que nous avons grosso modo eu un aperçu du concept de limite, nous allons donner une définition extrêmement importante qui est un des piliers de beaucoup de domaines de la mathématique et de la physique.

Définition: Soit f une fonction définie sur . Soit , nous disons que nous avons une

"fonction continue" en si et seulement si:

(16.91)

c'est-à-dire si (il faut pouvoir arriver à y lire le fait qu'on s'approche de manière infiniment

petite d'une limite ce qui permet d'assurer le continuité) que tel que alors:

(16.92) Remarque:f est "continue à droite" (resp. à gauche) si nous rajoutons la

condition (resp. ).

Nous avons les corollaires triviaux suivants:

C1. f est continue en si et seulement si f est continue à droite et à gauche en C2. f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I.

ASYMPTOTES

Le terme d'asymptote est utilisé en mathématiques pour préciser des propriétés éventuelles d'une branche infinie de courbe à accroissement tendant vers l'infinitésimal.

L'étude du comportement asymptotique est particulièrement développée dans les études de fonctions. Dans le domaine scientifique, il arrive fréquemment d'étudier des fonctions dépendant du temps (évolution de populations, réaction chimique ou nucléaire, graphique de température, oscillation d'un amortisseur). Un des objectifs du chercheur est alors de connaitre l'état à la fin de l'expérience, c'est à dire lorsqu'un grand intervalle de temps s'est écoulé. L'objectif n'est alors pas de connaitre les variations intermédiaires mais de déterminer le comportement stable, à l'infini du phénomène mesuré. Le chercheur étudie donc le comportement asymptotique de sa fonction avec les outils que les mathématiques lui offrent.

Définitions :

D1. Lorsque la limite d'une fonction f(x) tends vers une constante quand , alors la représentation graphique de cette fonction nous amène à dessiner une droite horizontale que nous appelons "asymptote horizontale" et dont l'équation est :

(16.93)

D2. Lorsque la limite d'une fonction f(x) tends vers quand , alors la représentation graphique de cette fonction nous amène à dessiner une droite verticale que nous appelons "asymptote verticale" et dont l'équation est :

(16.94) Exemple:

La courbe représentative de la fonction f(x)=1/(x-1) admet la droite d'équation comme asymptote verticale et comme asymptote horizontale:

(16.95)

D3. La droite d'équation est une "asymptote oblique" à la courbe de la fonction f(x) si :

(16.96) les valeurs de a et de b peuvent se retrouver facilement à l'aide des relations suivantes :

(16.97) Remarque:Attention une courbe peut admettre deux asymptotes obliques distinctes en + et en -

Pour rechercher une asymptote oblique éventuelle, il faut déjà être sur que la fonction f admet une limite infinie en + ou en - ensuite nous cherchons la limite en + ou en de f(x)/x .

Trois cas sont à considérer :

C1. La courbe représentative de f a pour direction asymptotique la droite d'équation :

(16.98)

Exemple:

La fonction possède entre autre une asymptote d'équation :

(16.99)

C2. La courbe représentative de f admet une branche infinie (cette branche infinie n'admet pas d'asymptote) et l'axe des abscisses en est la direction asymptotique (fonction racine carrée par exemple)

(16.100) Exemple:

La fonction (en rouge) ou ln(x) (en vert) ont une limite f(x)/x nulle et possèdent donc toutes deux une "branche parabolique" de direction Ox.

(16.101)

C3. La courbe représentative de f admet une branche infinie (cette branche infinie n'admet pas d'asymptote) et l'axe des ordonnées en est la direction asymptotique. (nous parlons aussi de "branche parabolique" voir de "fonction carrée")

(16.102) Exemple:

La fonction à une limite f(x)/x infinie et possède donc une "branche parabolique" de direction Oy.

(16.103)

 

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome