Notes sur les fonctions et les applications, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les fonctions et les applications, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur les fonctions et les applications. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: une "application", Le "graphe", la loi de composition, la loi externe, le théorème de cantor-bernstein.
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Fonctions et applications.

Définition: En mathématiques, une "application" (ou "fonction") notéef ou A est la donnée de deux

ensembles, l'ensemble de départ E et l'ensemble d'arrivée F (ou d'image de E), et d'une relation

associant à chaque élément x de l'ensemble de départ un et un seul élément de l'ensemble

d'arrivée, que nous appelons "image de x par f " et que nous notons f(x).

Nous appelons "images" les éléments de f(E) et les éléments de Esont appelés les antécédents.

Nous disons alors que f est une application de E dans F notée:

(5.90)

(se rappeler du premier diagramme sagittal présenté au début de ce chapitre), ou encore une

application à arguments dans E et valeurs dans F.

Remarque: Le terme "fonction" est souvent utilisé pour les applications à valeurs numériques, réelles ou

complexes, c'est-à-dire lorsque l'ensemble d'arrivée est ou . Nous parlons alors de "fonction réelle",

ou de "fonction complexe".

Définitions:

D1. Le "graphe" (ou encore "graphique" ou "représentative") d'une application est le

sous-ensemble du produit cartésien constitué des couples (x,f(x)) pour x variant dans E. La

donnée du graphe de f détermine son ensemble de départ (par projection sur la première

composante souvent notée x) et son image (par projection sur la seconde composante souvent

notée y).

D2. Si le triplet est une fonction où E et F sont deux ensembles et est un

graphe et donc E et F sont respectivement la source et le but de f. Le "domaine de définition" ou

"ensemble de départ" de f est :

= (5.91)

D3. Etant donnés trois ensembles E, F et G (non vides), toute fonction de vers G est appelée

"loi de composition" de à valeurs dans G.

D4. Une "loi de composition interne" (ou simplement "loi interne") dans E est une loi de

composition de à valeurs dans E (casE=F=G).

Remarque: La soustraction dans n'est pas une loi de composition interne bien qu'elle fasse partie des

quatre opérations élémentaires apprises à l'école. Par contre l'addition sur en est biens une.

D5. Une "loi composition externe" (ou simplement "loi externe") dansE est une loi de composition

de à valeurs dans E, où F est un ensemble distinct de E. En général, F est un corps, dit

"corps de scalaires"

Exemple:

Dans le cas d'un espace vectoriel (voir définition beaucoup plus bas) la multiplication d'un vecteur

(dont les composantes se basent sur un ensemble donné) par un réel est une loi de composition

externe.

Remarque: Une loi de composition externe à valeurs dans E est aussi appelée "action de F sur E".

L'ensembleF est alors le domaine d'opérateurs. On dit aussi que F opère sur E (ayez en tête l'exemple des

vecteurs précédemment cité)

D6. Nous appelons "image de f", et nous notons Im(f), le sous-ensemble défini par :

(5.92)

Ainsi, "L'image" d'une application est la collection des f(x) pour x parcourant E , c'est

un sous-ensemble de F.

Et nous appelons "noyau de f", et nous notons Ker(f), le sous-ensemble très important en

mathématiques défini par :

(5.93)

Selon la figure (il faut bien comprendre ce concept de noyau car nous le réutiliserons de

nombreuses fois pour démontrer des théorèmes ayant des applications pratiques importantes) :

(5.94)

Remarques:

R1. Ker(f) provient de l'allemand "Kern", signifiant tout simplement "noyau". En anglais, le noyau

se dit aussi "kernel", signifiant "amande" dans le civil.

R2. Normalement les notations Im et Ker sont réservées aux homomorphismes de groupes,

d'anneaux, de corps et aux applications linéaires entre espaces vectoriels ou modules etc.... (voir

plus loin). Nous n'avons normalement pas l'habitude de les utiliser pour des applications

quelconques entre ensembles quelconques. Mais bon...ça fait rien.

Les applications peuvent avoir une quantité phénoménale de propriétés dont voici celles qui font

partie des connaissances générales du physicien (pour plus de renseignements sur ce qu'est une

fonction, voir le chapitre traitant de l'Analyse Fonctionnelle).

Soit f une application d'un ensemble E à un ensemble F alors nous avons les propriétés suivantes :

P1. Une application est dite "surjective" si :

Tout élément y de F est l'image par f d'au moins (nous insistons sur le "au moins") un élément

de E. Nous disons encore que c'est une "surjection" de E dans F. Il découle de cette définition,

qu'une application est surjective si et seulement si . En d'autres termes, nous

écrivons aussi cette définition ainsi :

(5.95)

ce qui s'illustre par:

(5.96)

P2. Une application est dite "injective" si :

Tout élément y de F est l'image par f d'au plus (nous insistons sur le "au plus") un seul élément

de E. Nous disons encore que f est une injection de E dans F. Il résulte de cette définition, qu'une

application est injective si et seulement si les

relations et impliquent autrement dit : une application pour

laquelle deux éléments distincts ont des images distinctes est dite injective. Ou encore, une

application est injective si l'une aux moins des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

P2.1

P2.2

P2.3 l'équation en x, a au plus une solution dans E

Tout cela s'illustrant par:

(5.97)

P3. Une application est dite "bijective" si :

Une application f de E dans F est à la fois surjective et injective. Dans ce cas, nous avons que pour

tout élémenty de F de l'équation admet dans E une unique (ni "au plus", ni "au moins")

pré-image x. Ce que nous écrivons aussi :

(5.98)

ce qui s'illustre par:

(5.99)

Nous sommes ainsi tout naturellement amené à définir une nouvelle application de F dans E,

appelée "fonction réciproque" de f et notée , qui a tout élément y de F, fait correspondre

l'élément x de E pré-image (ou solution) unique de l'équation . Autrement dit:

(5.100)

L'existence d'une application réciproque implique que le graphique d'une application bijective

(dans l'ensemble des réels...) et celui de son application réciproque sont symétriques par rapport à

la droite d'équation .

Effectivement, nous remarquons que si est équivalent à . Ces équations

impliquent que le point (x, y) est sur le graphique de f si et seulement si le point (y, x) est sur le

graphique de .

Exemple:

Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel.

Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une

application de l'ensemble des touristes vers l'ensemble des chambres (à chaque touriste est

associée une chambre).

- Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chacun d'entre eux ait

une chambre individuelle. Cela n'est possible que si le nombre de touristes ne dépasse pas le

nombre de chambres.

- L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit

occupée. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.

- S'il est possible de répartir les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre, et que

toutes les chambres soient occupées : l'application sera alors à la fois injective et surjective nous

dirons qu'elle est bijective.

Remarques:

R1. Il vient des définitions ci-dessus qu'une application f est bijective (ou "biunivoque") dans

l'ensemble des réels si et seulement si toute droite horizontale coupe la représentation graphique de

la fonction en un seul point. Nous pouvons donc amener à faire la seconde remarque suivante :

R2. Une application qui vérifie le test de la droite horizontale est continument croissante ou

décroissante en tout point de son domaine de définition.

P4. Une application est dite "fonction composée" si :

Soit une application de E dans F et une fonction de F dans G. L'application qui associe à

chaque élément x de l'élément de E, de G s'appelle "application composée" de et

de et se note .

Le symbole " " est appelé "rond". Ainsi, la relation précédente ce lit "psi rond phy". Ainsi:

(5.101)

Soit, de plus, une application de G dans H. Nous vérifions aussitôt que l'opération de

composition est associative:

(5.102)

Cela nous permet d'omettre les parenthèses et d'écrire plus simplement:

Dans le cas particulier où serait une application de E dans E, nous notons l'application

composée (k fois).

Ce qui est important dans ce que nous venons de voir dans ce chapitre, c'est que toutes les

propriétés définies et énoncées ci-dessus sont applicables aux ensembles de nombres.

Voyons en un exemple très concret et très puissant:

3.2. THÉORÈME DE CANTOR-BERNSTEIN

Attention. Ce théorème, dont le résultat peut sembler évident, n'est pas forcément simple à

aborder (son formalisme mathématique n'est pas très esthétique...). Nous vous conseillons de lire

très lentement et de vous imaginer les diagrammes sagittaux dans la tête lors de la

démonstration.

Voici l'hypothèse à démontrer: Soit X et Y deux ensembles. S'il existe une injection (voir la

définition d'une fonction injective ci-dessus) de X vers Y et une autre de Y vers X, alors les deux

ensembles sont en bijection (voir la définition d'une fonction bijective ci-dessus). Il s'agit donc

aussi d'une relation antisymétrique.

Ce qui s'illustre par:

(5.103)

Pour la démonstration, nous avons besoin en toute rigueur de démontrer au préalable un lemme

(évident à nouveau intuitivement...) dont l'énoncé est le suivant :

Soit X, Y, Z trois ensembles tels que . Si X et Y sont en bijection, alors X et Z sont en

bijection.

Une exemple d'application de ce lemme est l'ensemble des nombres naturels et des nombres

rationnels qui sont en bijection. Dès lors, l'ensemble des entiers relatifs est en bijection avec

l'ensemble des nombres naturels puisque:

(5.104)

Démonstration:

D'abord, au niveau formel, créons une fonction f telle quelle soit bijective:

(5.105)

Nous avons besoin maintenant de définir l'ensemble A par les images de l'union des fonctions des

fonctions f (du genre f(f(f...))) ) des pré-images de l'ensemble Z dont nous excluons les éléments

de X (ce que nous notons: Z-X).

En d'autres termes (si la première forme n'est pas claire...) nous définissons l'ensemble A comme

étant l'union des images de (Z-X) par les applications Ce que nous noterons donc:

(5.106)

Nous avons alors bien évidemment (faire un schéma de tête des diagrammes sagittaux peut aider

à ce niveau là...):

(5.107)

Nous pouvons démontrer élégamment cette dernière relation:

(5.108)

(sympathique n'est-ce pas...).

Comme Z peut être partitionné en et , nous posons comme une définition

l'applicationg telle que:

(5.109)

tel que pour toute pré-image a nous ayons:

(5.110)

(rappelez-vous de la définition des applications notées "f") et:

(5.111)

L'application g est alors bijective car ses restrictions à et , (qui forment une

partition) sont f et l'identité qui sont par définition bijectives.

Finalement il existe bien, par construction, une bijection entre X et Z.

C.Q.F.D.

Reprenons les hypothèses du théorème de Cantor-Bernstein:

Soit une injection de X vers Y et une injection de Y vers X

Nous avons alors:

et (5.112)

donc:

(5.113)

Comme est injective, X et sont par définition en bijection et de même, comme est

injective, et sont en bijection (là il est bon de relire...).

Donc: X et sont eux aussi en bijection.

En utilisant le lemme sur et X , il vient donc que est en bijection ce

qui nous donne avec ceux que nous avons vu juste précédemment, que puisque

aussi et sont en bijection, alors que est en bijection avec

, alors X et Y sont en injection (ouf! c'est beau mais c'est aussi vicieux que simple).

C.Q.F.D.

Ce théorème s'interprète de la manière suivante : Si nous pouvons compter une partie d'un

ensemble avec la totalité des éléments d'un autre ensemble, et réciproquement, alors ils ont le

même nombre d'éléments. Ce qui est évident pour des ensembles finis. Ce théorème généralise

alors cette notion pour des ensembles infinis et c'est là sa force!

À partir de là, ce théorème représente l'une des briques de base pour généraliser la notion de

tailles d'ensembles à des ensembles infinis.

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