Notes sur les fonctions holomorphes, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les fonctions holomorphes, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur les fonctions holomorphes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La définition, la démonstration, exemple, l'orthogonalité des iso-courbes réelles et imaginaires, l'logarithme complex...
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FONCTIONS HOLOMORPHES

La définition de la dérivation par rapport à une variable complexe est naturellement

formellement identique à la dérivation par rapport à une variable réelle.

Nous avons alors, si la fonction est dérivable en :

(17.34)

et nous disons (abusivement dans le cadre de ce site) que la fonction est "holomorphe" (alors

que dans on dit "dérivable") ou "analytique" dans son domaine de définition ou dans un

sous-ensemble de celui-ci si elle y est dérivable en chaque point.

Remarque:

R1. Une fonction complexe se dérive comme une fonction réelle, il suffit de poser z comme

étant x... à condition que ce que nous allons voir dans ce qui va suivre soit respecté!

R2. Au fait si la fonction est holomorphe dans un sous-ensemble du plan complexe, nous verrons

un peu plus loin lors de notre étude la converge des séries de puissance qu'il s'agit toujours d'un

sous-ensemble ouvert.

D'une manière équivalente, nous disons que la fonction f est -différentiable en si la limite

suivante existe dans :

(17.35)

Présentons maintenant un théorème central pour l'analyse complexe appelée "théorème de

Cauchy-Riemann"!

Si la fonction:

(17.36)

est -différentiable, en , alors nous avons:

(17.37)

qui est un peu l'équivalent du théorème de Schwarz dans vu dans le chapitre de Calcul

Différentiel et Intégral. Ces deux dernières relations sont appelées "conditions de Cauchy".

Démonstration:

Puisque:

(17.38)

En choisissant:

(17.39)

avec , nous obtenons:

(17.40)

et quand x tend vers une petite valeur dx nous avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel et

Intégral):

(17.41)

et en choisissant:

(17.42)

avec , nous obtenons :

(17.43)

et quand y tend vers une petite valeur dy nous avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel et

Intégral):

(17.44)

Nous avons donc maintenant:

(17.45)

Or nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral que:

(17.46)

Dès lors:

(17.47)

Soit:

(17.48)

Ce qui peut s'écrire:

(17.49)

Une solution triviale est d'avoir:

(17.50)

Soit la possibilité d'écrire:

(17.51)

En identifiant parties réelles et imaginaires, nous terminons la démonstration!

C.Q.F.D.

Donc pour que f soit dérivable au sens complexe (holomorphe) en un point, il suffit qu'elle y

soit différentiable comme fonction de deux variables réelles ( -différentiable en ) et

que ses dérivées premières partielles en ce point vérifient les équations de Cauchy-Riemann.

Par contre, pour qu'elle soit -différentiable, il faut que les équations de Cauchy-Riemann

soient valables en tous les points du plan complexe (on parle alors parfois de "fonctions

entières") et non pas seulement dans un sous-domaine de celui-ci!

Remarque: Géométriquement, nous montrerons plus tard qu'une fonction holomorphe a une

interprétation possible dans le sens qu'elle est conforme (conserve les angles).

Signalons donc que si f(z) est -différentiable alors elle peut donc être développée en série de

Taylor aussi (cf. chapitre de Suites et Séries):

(17.52)

Remarquons une chose importante aussi. Si nous récrivons:

(17.53)

Sous la forme suivante:

(17.54)

Nous disons alors que la fonction f est irrotationnelle (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) puisque

la première relation peut être vue comme:

(17.55)

ce qui est une analogie non anodine! Enfin, la deuxième relation:

(17.56)

permet également de dire par analogie (mais cela s'arrête à une simple analogie!) que la

fonction f est non divergente (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) ce qui est bon moyen

mnémotechnique de s'en souvenir.

Mettons également autre chose en évidence. Si nous reprenons les deux équations de Cauchy-

Riemann:

(17.57)

et que nous les dérivons encore une fois ainsi:

(17.58)

et que nous sommons ces deux relations nous avons alors:

(17.59)

Il en est de même avec v. Nous avons alors:

(17.60)

Et nous connaissons très bien cette forme d'équations (équation de Maxwell-Poisson dans le

chapitre d'Électrodynamique et de Newton-Poisson dans celui d'Astronomie...). Il s'agit d'une

équation d'onde appelée aussi "équation de Laplace" (rien à voir avec celle vue lors de notre

étude de l'hydrostatique!) parfois et donnée par le Laplacien scalaire (cf. chapitre de Calcul

Vectoriel):

(17.61)

Il est alors de tradition de dire que u est harmonique et nous pouvons arriver bien évidemment

au même résultat avec v! Bon évidemment... nous le savions déjà puisque nous avons déjà

étudié que dans le chapitre sur les Nombres que la partie réelle et imaginaire d'un nombre

complexe pouvait être mises sous forme trigonométrique.

Grâce à cette découverte, Riemann a ouvert l'application des fonctions holomorphes à de

nombreux problèmes de la physique, puisque ces dernières équations sont satisfaites par le

potentiel gravitationnel (équation de Newton-Poisson dans le chapitre d'Astronomie), par les

champs électriques et magnétiques (équation de Maxwell-Poisson dans le chapitre

d'Électrodynamique) et par la chaleur en équilibre (par encore d'exemples sur le site) et aux

mouvements sans rotationnel de certains liquides ( par encore d'exemples non plus sur le site).

Exemple:

Le potentiel d'un dipôle peut être décrit par la fonction holomorphe:

(17.62)

La figure ci-dessous:

(17.63)

montre les courbes de niveau des fonctions harmoniques u(x, y) et v(x, y) données comme

parties réelle et complexe de la f(z) donnée précédemment.

ORTHOGONALITÉ DES ISO-COURBES RÉELLES ET IMAGINAIRES

Nous allons maintenant démontrer une propriété sympathique que les fonctions qui satisfont

les conditions de Cauchy (donc les fonctions analytiques!) ont. Effectivement, rappelez-vous

que nous avons vu plus haut la fonction:

(17.64)

qui donnait donc le diagramme suivant:

(17.65)

Eh bien les fonctions satisfaisant les conditions de Cauchy ont la propriété géométrique simple

suivante: les lignes dont la partie réelle de la fonction est constante et les lignes

dont la partie imaginaire sont sont orthogonales les unes aux autres.

En d'autres termes, les fonctions complexes analytiques sont des fonctions de transformation

d'un domaine du plan dans un plan où les angles sont conservés. Nous disons alors que la

fonction est une "transformation conforme".

Pour la démonstration rappelons que nous avons démontré lors dans le chapitre de Calcul

Vectoriel que le gradient d'une fonction f de est donné par:

(17.66)

et dans le cadre de notre étude des isoclines dans le chapitre de Géométrie Différentielle que la

vecteur tangent aux isoclines de la fonction f sera toujours parallèle au vecteur du plan:

(17.67)

et que ces deux derniers vecteurs sont perpendiculaires tels que:

(17.68)

Nous avons alors le vecteur (parallèle) tangent aux lignes:

(17.69)

donné par:

(17.70)

La normale aux lignes:

(17.71)

est le gradient de v de composantes:

(17.72)

Mais en utilisant les conditions de Cauchy démontrées plus haut, nous avons aussi:

(17.73)

En comparant:

et (17.74)

nous voyons donc que et sont parallèles (colinéaires). Et puisque est colinéaires aux

isolignes réelles et que est perpendiculaire aux isolignes imaginaires nous avons terminé

notre démonstration.

Le lecteur pourra donc prendre comme exemple la fonction :

(17.75)

détaillé mathématiquement et schématiquement plus haut! Mais pour changer un peu, prenons

un exemple qui nous accompagnera tout au long du reste de ce chapitre et qui est la fonction

holomorphe suivante:

(17.76)

>assume(x,real,y,real);

> z:=1/(1+(x+I*y)^2);

> F:=1/z;

> u:=Re(F);

> u:=evalc(u);

> v:=Im(F);

> v:=evalc(v);

> with(plots):

> p1:=implicitplot({seq(u=a,a=-5..5)},x=-5..5,y=-5..5,numpoints=1000):

> p2:=implicitplot({seq(v=b,b=-5..5)},x=-5..5,y=-5..5,numpoints=1000,color=green):

> display([p1,p2]);

(17.77)

LOGARITHME COMPLEXE

Nous devons trouver pour toutes les fonctions construites dans leur équivalent dans tout

en sachant que si nous réduisons le cas de à nous devons retomber sur nos pattes!

Pour cela, commençons par la fonction la plus classique et scolaire qui est donc le logarithme.

De la même manière que nous avions construit le logarithme comme étant par définition (!) la

fonction réciproque de l'exponentielle naturelle dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle

nous partons d'abord de:

(17.78)

où z est donc un nombre complexe et nous allons définir le logarithme complexe qui doit se

réduire au logarithme naturel si z n'a pas de partie imaginaire!

Donc par définition le logarithme complexe sera:

(17.79)

et sur l'ensemble de ce site, le logarithme complexe sera différencie du logarithme réel par

un L majuscule!

Ecrivons z et w sous la forme d'Euler vue dans le chapitre sur les Nombres:

(17.80)

Nous avons alors:

(17.81)

Par correspondance nous trouvons immédiatement:

et (17.82)

avec . Il vient alors:

(17.83)

Donc:

(17.84)

ou autrement écrit:

(17.85)

Donc si w n'a pas de partie imaginaire nous retombons bien sur nos pattes puisque arg(w)

devient nul.

Une grosse différence est mise en avant donc entre le logarithme des nombres complexes et

réels: ces premiers peuvent prendre plusieurs valeurs à cause de l'argument.

Nous vérifions bien par ailleurs maintenant que:

(17.86)

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