Notes sur les formes géométriques - 2° partie, Notes de Géométrie analytique et calcul
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les formes géométriques - 2° partie, Notes de Géométrie analytique et calcul

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Notes de mathématique sur les formes géométriques - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les vecteurs, le triangle isocèle, le triangle équilatéral, le triangle rectangle, le trapèze, le parallélog...
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(26.34)

Il vient alors que :

(26.35)

Les vecteurs et sont donc colinéaires! Donc les points A, G, A' sont alignés. Autrement

écrit, le point G fait partie de la médiane AA' du triangle ABC. Nous pouvons même dire qu'il se

trouve au deux tiers du segment AA' à partir du sommet A.

Ce que nous venons de montrer avec la médiane AA' est bien évidemment aussi vrai pour les deux

autres médianes. Ainsi :

(26.36)

En résumé, le point G fait donc partie des trois médianes AA',BB' et CC'. Ces trois droites sont donc

concourantes et le point G en est le point d'intersection. Ce résultat nous sera utile plus tard lors

de notre étude des polyèdres.

C.Q.F.D.

Enfin, indiquons que si nous étions des êtres vivants dans un espace à deux dimensions, le

triangle serait ce que nous apercevrions si des formes géométriques composées d'au moins trois

faces jointes traverseraient notre univers par un des sommets.

Nous arrêterons là cette analogie avec un espace à deux dimensions généralisable à chaque forme

géométrique que nous allons présenter par la suite (cercle et sphère, ellipse et ellipsoïde, etc.).

L'idée était surtout de soumettre la conception que les volumes que nous connaissons dans notre

quotidien peuvent aussi être vus comme des formes à 4 dimensions traversant notre espace de 3

dimensions.

TRIANGE ISOCèLE

Définition: Un "triangle isocèle" est un cas particulier du triangle quelconque, dans le sens où il a

deux côtés égaux (isométriques).

(26.37)

Le périmètre d'un tel triangle reste :

(26.38)

mais comme il a deux côté égaux tel que par exemple :

(26.39)

La surface comme nous l'avons démontré dans le cas général reste :

(26.40)

Et le centre de gravité reste, comme nous l'avons démontré dans le cas général, à la position :

(26.41)

Propriétés remarquables d'un triangle isocèle : la médiatrice et la médiane h du troisième côté non

égal aux deux autres sont confondues (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne).

triangle équilatéral

Définition: Un "triangle équilatéral" est un cas particulier du triangle, dans le sens où il a trois

côtés égaux :

(26.42)

Le périmètre d'un tel triangle reste :

(26.43)

mais comme il a trois côtés tel que :

(26.44)

La surface comme nous l'avons démontré dans le cas général reste :

(26.45)

Et le centre de gravité reste comme nous l'avons démontré dans le cas général, reste à la position :

(26.46)

Propriété remarquables d'un triangle équilatéral : Médiatrices et médianes sont confondues (cf.

chapitre de Géométrie Euclidienne)!

triangle rectangle

Définition: Un "triangle rectangle" est un cas particulier du triangle, dans le sens que sur un de ses

trois angles, il y a au moins un angle droit.

(26.47)

Le périmètre d'un tel triangle reste :

(26.48)

La surface comme nous l'avons démontré dans le cas général reste (surface de la moitié d'un

rectangle de même base et de même hauteur):

(26.49)

Et le centre de gravité reste comme nous l'avons démontré dans le cas général, reste à la position :

(26.50)

Propriété remarquable d'un triangle rectangle : le triangle rectangle à ceci de particulier, que nous

pouvons directement lui appliquer le théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie

Euclidienne).

TRAPÈZE

Définition: Un "trapèze", est un quadrilatère (non croisé) ayant deux côtés (au moins) parallèles.

(26.51)

Lorsque les deux côtés ont même longueur (ou, sont de même longueur), nous obtenons les cas

particuliers du carré, du rectangle, du losange, du parallélogramme (ici, ordre du plus précis au

plus général, nous pourrions mettre le losange en n° 2).

Aussi un usage courant consiste à ne retenir qu'une définition plus restrictive, afin de ne pas

prendre en compte ces figures particulières. Nous ajoutons dans ce cas que les longueurs des

deux côtés parallèles ne sont pas égales (cela permet aux élèves des petites classes d'éviter les

confusions résultant de l'existence de deux noms pour le même objet, par exemple losange et

trapèze).

Remarque: Il existe un cas particulier de trapèze, le "trapèze isocèle", dont les deux côtés non

parallèles sont de même longueur. (nous pouvons ajouter : Comme ces deux côtés ne sont pas

parallèles, il ne s'agit pas d'un parallélogramme).

PARALLÉLOGRAMME

Définition: Le "parallélogramme" est un cas particulier du quadrilatère (et du losange aussi), où les

côtés sont parallèles deux à deux :

(26.52)

Remarque: Tous les parallélogrammes sont donc dans la famille des trapèzes.

LOSANGE

Définition: Le "losange" est un cas particulier du parallélogramme dans le sens où ses quatre côtés

sont égaux.

(26.53)

CERCLE

Il existe plusieurs définitions possibles du cercle. Voyons au moins deux.

Définitions:

D1. Un "cercle" est un cas particulier d'un polygone avec une infinité de côtés.

D2. Un "cercle" est une courbe plane dont tous les points sont à égale distance d'un point fixe

appelé "centre".

(26.54)

Nous démontrons dans la section d'Informatique Théorique (cf. chapitre de Méthodes

Numériques), que le périmètre d'un cercle de rayon R et donc de diamètre est donné par :

(26.55)

La relation de surface peut être obtenue de deux manières :

1. Par recherche de la primitive du périmètre P ce qui nous donne :

(26.56)

2. La seconde méthode est plus esthétique et fait appel à l'équation paramétrique du cercle,

trivialement donnée par les projections orthogonales des coordonnées cartésiennes :

(26.57)

Nous savons que l'aire décrite par une fonction f(x) est donnée par :

(26.58)

Il nous suffit alors de substituer dans cette intégrale les variables paramétrées :

(26.59)

Ainsi :

(26.60)

Les bornes d'intégration étant bien évidemment nous avons :

(26.61)

Nous avons donc aussi par cette méthode :

(26.62)

La longueur l d'une tranche d'angle d'ouverture d'un cercle de rayon R est bien évidemment

donné par :

(26.63)

et la surface S d'une tranche d'angle d'ouverture d'un cercle de rayon R de manière identique

par :

(26.64)

Soit connue la relation de calcul de la surface d'un triangle. Nous avons selon la figure ci-dessous

(la démonstration tient seulement dans le résultat lui-même) :

(26.65)

Remarque: Par définition du cercle, il est évident que le centre de gravité du cercle se confond avec

le centre de celui-ci.

ELLIPSE

Définition: Une "ellipse" est une courbe fermée dont chaque point est tel que la somme de ses

distances à deux points fixes appelés "foyers" est constante (comme nous l'avons vu dans le

chapitre d'Algèbre Ensembliste, l'ellipse peut aussi être vue comme une transformation affine du

cercle).

(26.66)

Introduisons pour commencer un petit texte relativement au calcul du périmètre de l'ellipse:

Soit l'équation paramétrique en coordonnées cartésiennes d'une ellipse :

(26.67)

La distance entre le centre de l'ellipse et son périmètre est alors donnée par le théorème de

Pythagore :

(26.68)

Un élément d'arc est alors donné par :

(26.69)

Le périmètre de l'ellipse est alors donné par l'intégrale :

(26.70)

et là sa commence à se corser... Ce genre d'intégrale n'est pas facilement calculable à l'aide des

primitives connues, intégration par parties, changements de variable ou autre. Il s'agit de ce que

nous appelons une "intégrale elliptique du second ordre en J" pour (cf. chapitre de

Calcul Différentiel Et Intégral) :

(26.71)

De longs développements que nous présenterons dans quelques années dans le chapitre de Calcul

Différentiel Et Intégral donnent pour le périmètre après un calcul en série limitée :

(26.72)

La relation de surface de l'ellipse peut être obtenue de manière très similaire à celle du cercle et

les calculs sont curieusement beaucoup plus simples que ceux du périmètre. Rappelons que

l'équation paramétrique l'ellipse est :

(26.73)

Nous savons que l'aire décrite par une fonction f(x) est donnée par :

(26.74)

Il nous suffit alors de substituer dans cette intégrale les variables paramétrées :

(26.75)

Ainsi :

(26.76)

Les bornes d'intégration étant bien évidemment nous avons :

(26.77)

Remarque: Il faut faire attention dans ce genre de calculs à l'ordre des bornes d'intégration.

Effectivement, si nous avions pris les bornes allant de (au lieu de ) il faut imaginer que

la fonction intégrée parcoure le périmètre dans le sens négatif de l'axe des abscisses. Donc

l'intégrale serait alors forcément négative.

Nous avons donc aussi par cette méthode :

(26.78)

Remarques:

R1. Nous supposons comme évident que le centre de gravité de l'ellipse se confond avec le centre

de celle-ci.

R2. Nous renvoyons le lecteur à l'étude des coniques (cf. chapitre de Géométrie Analytique) pour le

calcul de la surface d'une ellipse à partir de son "paramètre d'ellipse" et son "excentricité" (tout y est

démontré).

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