Notes sur les formules de Descartes - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les formules de Descartes - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur les formules de Descartes - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la réflexion des ondes sur une surface, les schémas, les démonstrations.
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Nous avons discuté précédemment certains phénomènes qui se produisent lorsqu'un front

d'onde passe d'un milieu à un autre dans lequel la propagation est différente. Non seulement

nous avons analysé ce que devient le front d'onde, mais encore nous avons introduit le concept

de "rayon" qui est particulièrement utile pour les constructions géométriques. Nous nous

proposons maintenant d'approfondir les phénomènes de réfraction et de réflexion d'un point de

vue géométrique en utilisant le concept de rayon comme l'outil permettant de décrire les

processus qui prennent place aux surfaces de discontinuité de la propagation. Nous admettrons

également que les processus se limitent à des réflexions et réfractions, aucune autre

modification n'affectant les surfaces d'onde.

Ce traitement géométrique est correct tant que les surfaces et les discontinuités rencontrées

par l'onde au cours de sa propagation sont très grandes devant la longueur d'onde. Tant que

cette condition est remplie, le traitement s'applique aussi bien aux ondes lumineuses,

acoustiques (en particulier ultrasonores - très hautes fréquences), sismiques, etc.

Nous commençons par considérer la réflexion des ondes sur une surface. Nous devons d'abord

établir certaines définitions. Le centre de courbure C (cf. chapitre de Géométrie Différentielle)

est le centre de la surface sphérique de la figure ci-dessous et le sommet O est le pôle de la

calotte sphérique.

Définition: La droite passant par O et C est appelée "axe optique".

Si nous prenons O pour origine des coordonnées, toutes les quantités mesurées à droite

de O seront prises comme positives, toutes celles à gauche comme négatives.

(39.60)

Supposons que le point P soit une source d'ondes sphériques. Le rayon donne par réflexion

le rayon et, comme les angles d'incidence et de réflexion sont égaux par rapport à la

perpendiculaire AC de la surface (comme nous l'avons déjà fait remarquer lors de notre étude

de la réfraction), nous voyons sur la figure que :

et (39.61)

d'où :

(39.62)

En admettant que les angles et sont très petits, c'est-à-dire que les rayons sont

"para-axiaux" et que la source est très distante ou que le détecteur est très petit par rapport à

la source, nous pouvons écrire avec une bonne approximation (développement de MacLaurin

pour de petits angles) :

(39.63)

En substituant ces valeurs approximatives de et dans , nous obtenons :

(39.64)

qui est la "formule de Descartes pour la réflexion sur une surface sphérique concave". Elle

implique, dans l'approximation utilisée pour l'établir, que pour tous les rayons incidents

passant par P passeront par Q après réflexion sur la surface. Nous pouvons alors dire que Q est

"l'image de l'objet" P.

Dans le cas particulier où le rayon incident est parallèle à l'axe optique, ce qui équivaut à placer

l'objet à une très grande distance du détecteur, nous avons . La formule de Descartes

devient alors :

(39.65)

et l'image se forme au point F appelée "foyer", et sa distance du détecteur donnée par :

(39.66)

est appelée "distance focale".

La relation obtenue précédemment est également valable pour une surface convexe.

Effectivement, il suffit de tirer les traits représentant les rayons lumineux au-delà de la surface

concave pour voir que l'objet d'étude est le même à une symétrie près :

(39.67)

La seule différence entre la surface concave et convexe tient au fait que dans le cas de la

surface convexe, l'image de l'objet réfléchi apparaît comme s'il semblait être derrière la surface

(à l'équivalent du point P). Ceci nous amène à définir la terminologie suivante :

Définition: Dans le cas d'une surface concave, nous disons que l'image d'un objet est une

"image réelle" alors que dans le cas d'une surface convexe, nous disons que l'image d'un objet

est une "image virtuelle".

Remarque: Si l'ouverture du miroir est grande, de telle sorte qu'il reçoive des rayons fortement

inclinés la formule de Descartes que nous avons précédemment déterminé n'est plus, nous le

savons, une bonne approximation Il n'y a plus dans ce cas une image ponctuelle bien définie d'un

"point objet", mais un nombre infini d'entre elles : en conséquence l'image d'un objet de grandes

dimensions apparaît flou puisque les images se superposent. Cet effet porte le nom "d'aberration

de sphéricité" et la partie de l'axe optique qui contient l'ensemble des images réfléchies s'appelle

alors la "caustique par réflexion". L'aberration de sphéricité ne peut pas être éliminée, mais un

dessin approprié de la surface permet de la supprimer pour certaines positions sur l'axe optique

appelées "stigmatiques". Par exemple, dans notre cas d'étude précédent, il est évident (par

construction géométrique) que si nous posons P en C, alors le point C devient alors le point

stigmatique. Nous disons alors qu'il est le point "rigoureusement stigmatique".

Par contre pour le miroir parabolique tous les rayons convergent vers le foyer du miroir où est

concentrée l'énergie lumineuse reçue par le miroir. Réciproquement, nous plaçons le filament

d'une lampe au foyer d'un miroir parabolique pour obtenir des projecteurs de grande portée.

Nous donnons aussi une forme parabolique aux antennes de réception des ondes hertziennes.

Pour la télévision diffusée par des satellites comme on travaille en ondes centimétriques

(fréquence de quelques GHz) une distance focale de l'ordre du mètre est convenable pour

l'antenne (in extenso cela s'applique aux télescopes et radiotélescopes).

(39.68)

L'idée pour démontrer que le foyer de la parabole est le point stigmatique rigoureux est la

suivante :

Reprenons le schéma que nous avons utilisé lors de notre étude des coniques dans le chapitre

de Géométrie Analytique :

(39.69)

Nous y avons rajouté le point qui est la projection orthogonale du point M (point d'incidence

du rayon lumineux) ainsi que la tangente de la parabole au point M. Si nous arrivons à

démontrer que la tangente à M est la médiatrice du segment , alors nous démontrons

également que l'angle d'incidence et de réflexion sont bien égaux.

Prenons l'équation :

(39.70)

d'une parabole de paramètre (cf. chapitre de Géométrie Analytique) rapporté à un repère

principal . Le foyer à donc pour coordonnées et la directrice a pour équation :

(39.71)

Nous obtenons l'équation de la tangente en par la dérivée en ce même point (attention...

rappelez-vous de l'orientation particulière de la parabole!) :

(39.72)

Ce qui s'écrit encore :

(39.73)

et en sachant que :

(39.74)

nous obtenons donc l'équation de la tangent :

(39.75)

Un des vecteurs directeur de la tangente est donc alors :

(39.76)

D'autre part, nous avons (cela se vérifie facilement en posant ) :

et (39.77)

Nous avons donc le produit scalaire :

(39.78)

comme les vecteurs et ont même norme d'après la définition de la parabole, nous en

déduisons déduit que le vecteur (directeur de la tangente) dirige la bissectrice de l'angle des

vecteurs et et donc par extension que la tangent à M est bien la médiatrice de .

Nous pouvons toujours dans le cadre des surfaces sphériques, déterminer le grandissement :

(39.79)

où pour rappel le centre de courbure C (cf. chapitre de Géométrie Différentielle) est le centre de

la surface sphérique de la figure ci-dessous et le sommet O est le pôle de la calotte sphérique.

Ainsi, le "grandissement" M d'un système optique est défini comme le rapport de la grandeur de

l'image ab à celle de l'objet AB, c'est-à-dire :

(39.80)

Nous voyons d'après la figure ci-dessus que :

(39.81)

Nous avons donc, en tant compte de ce que :

(39.82)

d'où :

(39.83)

Faisons maintenant une étude équivalente à celle effectuée précédemment, ayant les mêmes

propriétés de symétrie et les défauts, mais sur les "dioptres sphériques" (résultats intéressant

pour ce qui est de l'étude de l'oeil).

Nous allons donc considérer la réfraction au passage d'une surface sphérique séparant deux

milieux d'indices de réfaction absolus et (voir figure ci-dessous).

(39.84)

où pour rappel le centre de courbure C (cf. chapitre de Géométrie Différentielle) est le centre de

la surface sphérique de la figure ci-dessous et le sommet O est le pôle de la calotte sphérique.

Les éléments géométriques fondamentaux sont les mêmes que ceux définis pour les surfaces

sphériques.

Nous considérons donc dans un premier temps un dioptre concave et observant que la

"distance objet" est situé à l'opposé des autres points, nous devons opter à une convention de

signe pour mettre cette observation en évidence dans les équations. Ainsi, q sera défini comme

une valeur négative.

Un rayon incident tel que PA est réfracté suivant AQ et coupe donc l'axe optique en q. Nous

observons sur la figure que :

et (39.85)

Remarque: Nous avons opté pour pour refléter le fait que q est négatif d'après nos

conventions de signe. Sinon quoi, les relations trigonométrique remarquables nous donneraient

un q positif.

Nous avons d'après la loi de Snell :

(39.86)

et nous admettrons comme pour les surfaces sphériques que les rayons sont peu inclinés. Dans

ces conditions les angles et sont très petits et que nous pouvons écrire à l'aide

des développement en série de MacLaurin et de sorte que la loi de Snell

s'écrit :

(39.87)

D'après la figure nous pouvons faire les approximations :

(39.88)

de sorte qu'en substituant dans l'approximation de la loi de Snell nous trous après

simplification élémentaire :

(39.89)

qui constitue la "formule de Descartes pour la réfraction au passage d'une surface sphérique".

Bien qu'elle ait été démontrée dans le cas d'une surface concave, elle reste valable pour les

surface convexe en tenant compte alors de ce que r est négatif à son tour.

Le "foyer objet" appelé également "premier point focal" d'une surface sphérique réfringente

est la position d'un point objet de l'axe optique tel que les rayons réfractés soient parallèles à

l'axe optique, ce qui revient à former l'image du point à l'infini, où . La distance de l'objet

à la surface sphérique est appelée alors "distance focale objet", et nous la désignons par . En

posant et . Nous avons alors :

(39.90)

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