Notes sur les formules de Descartes - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les formules de Descartes - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur les formules de Descartes - 2° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la formule de Descartes pour les lentilles minces, l'équation de conjugaison.
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La distance focale est positive et le système dit "convergent" quand le foyer objet est réel,

placé devant la surface sphérique. Quand le foyer objet est virtuel la distance focale est

négative et le système est dit "divergent".

De même, si les rayons incidents sont parallèles à l'axe optique, ce qui revient à avoir un objet

très éloigné de la surface sphérique , les rayons réfractés passent par un point de

l'axe optique appelé "foyer image" ou "second point focal" (avec à nouveau les même problèmes

de stigmatisme). Dans ce cas la distance de la surface sphérique à l'image est appelée "distance

focale image" et nous la désignons par . En posant et nous avons alors :

(39.91)

Intéressons nous maintenant à un autre type de surface réfléchissantes et réfractantes: les

lentilles.

Une lentille est par définition un milieu transparent limité par deux surfaces courbes

(généralement sphériques), bien que l'une des faces d'une lentille puisse être plane. Une onde

incidente subit donc deux réfractions à la traversée de la lentille. Admettons pour simplifier que

les milieux de part et d'autre de la lentille sont identiques et leur indice de réfraction égal à 1

(l'air ou le vide par exemple) tandis que l'indice de réfaction de la lentille estn. Nous ne

considérerons également que les lentilles minces, c'est-à-dire dont l'épaisseur est très petite

devant les rayons de courbure :

(39.92)

L'axe optique est maintenant la droite déterminée par les deux centres . Considérons le

rayon incident PApassant par P. Au passage de la première surface, le rayon incident est

réfracté suivant le rayon AB. Si nous le prolongions, le rayon AB passerait par Q' qui est donc

l'image de P donnée par le premier dioptre. La distance q' de Q' à s'obtient par l'application

de la seconde formule de Descartes (sans oublier que la première partie de la lentille est un

dioptre convexe) :

(39.93)

Mais en ayant d'où :

(39.94)

En B le rayon subit une deuxième réfraction et devient le rayon BQ. Nous pouvons dire alors

que Q est "l'image finale" de produit par le système des deux dioptres constituant la lentille.

Mais, en considérant la réfraction en B, l'objet (virtuel) est Q' et l'image est Q, à une

distance q de la lentille. Donc, en appliquant à nouveau :

(39.95)

avec à nouveau et en prenant garde au fait que selon notre point de

référence qdevient -q' nous avons alors :

(39.96)

En combinant les deux relations précédentes pour éliminer q' nous trouvons que :

(39.97)

ce que constitue la "formule de Descartes pour les lentilles minces". En écrivant cette équation,

il convient d'appliquer à la convention des signes que nous avons fixés, c'est-à-dire que

les rayons sont positifs pour une surface concave et négatifs pour une surface convexe, vue du

côté duquel la lumière frappe la lentille.

Le point O dans la figure précédente, est choisi de façon à coïncider avec le "centre optique" de

la lentille. Le centre optique à pour propriété d'être un point tel que tout rayon passant par lui

sort parallèlement à la direction du rayon incident!!

Pour montrer qu'en tel point existe, considérons, dans la lentille ci-dessous (à symétrie

horizontale et verticale) :

(39.98)

Considérons les deux rayons parallèles générateurs des dioptres

(éléments de la lentille) choisis tels que les plans tangents correspondants et sont par

construction aussi parallèles.

Pour le rayon , dont la direction est telle qu'il se réfracte suivant , le rayon émergent

est et parallèle à de par la symétrie horizontale de la lentille. Ainsi, les

triangles et étant semblables quels que soient les "rayons générateurs", nous

voyons ainsi que la position de O est satisfaite par la relation :

(39.99)

et existe donc indépendamment des rayons générateurs.

Comme dans le cas d'un simple dioptre, le foyer objet , ou "premier point focal d'une lentille"

est la position de l'objet pour laquelle les rayons émergent parallèlement à l'axe optique (

) après avoir traversé la lentille. La distance de la lentille à est alors appelée "distance focale

objet" nous la désignons par f. En posant alors et dans l'équation de Descartes

précédente, nous obtenons la distance focale objet sous la forme :

(39.100)

que nous appelons parfois "équation de l'opticien".

Pour un rayons incident parallèle à l'axe optique (q - f) le rayon émergent passe un point ,

caractérisé par , et appelé "foyer image d'une lentille" ou "second point focal d'une

lentille". Par conséquent, dans une lentille mince les deux foyers sont placés symétriquement

de chaque côté.

Par ailleurs, si f est positif, la lentille est dite "lentille convergente", si f est négatif elle est dite

"lentille divergente".

Remarque: A nouveau, les problèmes d'aberrations sont aussi existants pour les lentilles.

ÉQUATION DE CONJUGAISON

Tout point d'un objet étendu (non ponctuel donc!) envoie de la lumière dans toutes les

directions de l'espace. Si une partie de cette lumière tombe sur une lentille, elle en émerge soit

convergente en un point, soit divergente en semblant venir d'un point image.

Pour trouver l'image, il suffit alors de considérer intuitivement les situations suivantes dans le

cas d'une lentille convexe (à gauche) ou concave (à droite):

1. Si les rayons lumineux, non confondus avec l'axe de symétrie horizontal de la lentille,

passent par le centre optique O de la lentille convexe ou concave, nous avons vu plus haut qu'à

ce moment ils sortent alors parallèles aux rayons entrants.

2. Si les rayons lumineux, confondus avec l'axe de symétrie horizontal de la lentille, passent par

le centre optiqueO de la lentille convexe ou concave (donc ils passent par le centre optique O)

alors ils seront non déviés (c'est une situation particulière du cas suivant!).

3. Si les rayons lumineux partant de l'objet et se dirigeant vers la lentille sont parallèles à l'axe

de symétrie horizontal de la lentille et non confondus ou confondus avec ce dernier, alors si la

lentille est convexe nous avons démontré qu'ils convergent tous sur un même foyer image .

4. Si les rayons lumineux partant de l'objet et se dirigeant vers la lentille sont parallèles à l'axe

de symétrie horizontal de la lentille et non confondus ou confondus avec ce dernier, alors si la

lentille est concave nous avons démontré qu'ils divergent tous et qu'ils ont une image virtuelle

venant pour tous du foyer objet (c'est la situation miroir du cas précédent!).

5. Tous les rayons partant de l'objet qui ne sont pas parallèles à l'axe de symétrie horizontal de

la lentille et qui ne passent pas par le foyer objet en se dirigeant vers la lentille convexe

alors sortiront non parallèles de la lentille.

6. Tous les rayons partant de l'objet qui ne sont pas parallèles à l'axe de symétrie horizontal de

la lentille et qui ne passent pas par le foyer objet en se dirigeant vers la lentille concave

alors sortiront non parallèles de la lentille (c'est le cas miroir du cas précédent).

Si nous sommes attentifs, nous voyons que les 6 situations ci-dessus qui sont intuitives

peuvent se réduire par symétrie miroir à 3 situations (1), (3), (5).

Appliquons cette superposition à l'exemple de la fleur ci-dessous située à une distance

entre f et 2f d'une lentille convergente (convexe).

Du sommet S, traçons ses 3 rayons. Ils convergent par construction géométrique (donc résultat

à accepter tel quel) au même point P (ce que nous avons démontré), qui est l'image du

sommet S de la fleur mais à une distance non symétrique par rapport à O. De même, E est

l'image de D.

(39.101)

Le schéma ci-dessus fournit donc une relation analytique entre les distances de l'image et de

l'objet et la distance focale.

Les triangles et sont semblables et tous leurs angles sont donc égaux ce qui nous

amène à écrire par application du théorème de Thalès (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) :

(39.102)

où .

Les triangles SOD et POE sont aussi semblables d'où à nouveau par application de Thalès :

(39.103)

En combinant les deux derniers rapports, nous obtenons ainsi "l'équation de conjugaison" (qui

ne s'accorde pas...) :

(39.104)

L'application de cette équation est très importante. Elle permet en définissant à quelle

distance on place un objet de la lentille et en souhait avoir son image à une distance ,

quelle doit être la distance focale de la lentille convergente (et ce indépendamment des indices

de réfraction !).

Un peu de biologie... :

Le cristallin de l'oeil pouvant se déformer sous l'effet de certains muscles, constitue une lentille

à focale variable permettant d'accommoder la vision des objets à distance variable. La distance

du centre optique à la rétine étant fixe, le seul moyen de voir clairement des objets situés à des

distances différentes est de modifier la distance focale. Dans son état ordinaire, le cristallin a

une configuration assez plate, avec un grand rayon de courbure (il a alors une grand distance

focale).

L'oeil à pour rôle de focaliser la lumière provenant d'un objet à l'infini (environ 25 centimètres

pour un humain moyen...) sur la rétine. Mais tous les yeux ne font pas cela correctement et le

"punctum remotum" (distance maximale de vision distincte sans accommodation) est parfois à

une distance finie, même parfait inférieur à cinq mètres (entraînant probablement une fatigue

des yeux).

Si l'objet s'approche, les muscles se contractent, le cristallin gonfle et sa distance focale

diminue de façon que l'image se forme toujours sur sa rétine. Le point le plus proche qui peut

être vu clairement avec le maximum d'accommodation est appelé le "punctum proximum".

Cette distance évolue beaucoup avec l'âge : elle est de dix centimètres pour un enfant de dix

ans, de cent centimètres pour une personne de soixante ans (c'est la presbytie).

Il est habituel de parler de "puissance dioptrique" d'une lentille qui est simplement l'inverse

de sa distance focale. La puissance d'une lentille s'exprime ainsi en

"dioptries" où .

Ainsi :

(39.105)

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