Notes sur les fractales - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les fractales - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les fractales - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les fractals, la géométrie fractale, la topologie fractale, la démonstration, exemple.
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LES FRACTALES

Les fractals sont des figures invariantes par changement d'échelle (nous parlons aussi de

"structures autosimilaires") et sont la représentation graphique de suites récurrentes.

L'idée de base consiste souvent à prendre un point de départ, de construire son image via une

fonction mathématique donnée, de prendre l'image de l'image et ainsi de suite. Le but étant

d'étudier comment se répartissent les points successifs dans l'ensemble global, s'ils

s'approchent d'une limite ou s'ils errent entre diverses valeurs que nous pouvons expliciter, s'il

y a plus de points dans telle partie de l'ensemble que dans telle autre?

L'intérêt de ce type de questions concerne aussi bien l'étude de l'évolution de populations

biologiques que celle de l'avenir du système solaire ou la génération de nombre aléatoires dans

des domaines particuliers.

Pour le commun des mortels, les fractals servent à faire joli. Mais ils ont des applications plus

sérieuses : nous avons vu par exemple sur le présent site web que certaines de ces

"séduisantes" images reproduisaient des phénomènes physiques (dynamique des populations

pour le fractal de Feigenbaum, turbulences dans un fluide pour l'attracteur de Lorentz,

dispositions des galaxies, L-Fractals, amas et super-amas de galaxies,...). Les fractals ont

également trouvé des applications en musique (avec des logiciels générant de la musique

fractale). Enfin, dans le domaine de l'infographie, les fractals permettent de compresser très

efficacement les images, avec une qualité constante quel que soit le zoom, ils permettent de

créer des textures réalistes, et peuvent permettre de tramer une image avec de bons résultats.

Dans le génie civil les fractales sont utilisés pour la construction de certains murs absorbeurs

de son. Et bien d'autres choses encore...

Cette géométrie fractale se différencie de la géométrie euclidienne par leur définition d'une part

: les figures de la géométrie euclidienne sont en général déterminées par des relations

algébriques, alors que les courbes fractales sont définies de façon récursive comme nous

l'avons déjà mentionné. Les fractales ont aussi des dimensions fractionnaires comme nous le

démontrerons (nous en avons déjà vu un petit exemple en géométrie euclidienne lors de la

définition du concept de dimension). D'autre part, il ne faut pas non plus négliger leur aspect

autosemblable : chaque partie d'un fractal peut être observé à n'importe quelle échelle : chaque

partie est (sensiblement) une copie de l'ensemble.

Remarque: Les développements qui vont suivre auraient très bien pu être mis dans le chapitre de

Suites Et Séries ou encore d'Analyse Fonctionnelle ou encore comme un cas particulier du

chapitre de Topologie réduit à l'espace euclidien (c'est la raison pour laquelle vous y trouverez

par ailleurs de nombreuses références). Notre choix se veut pédagogique au même titre que le

chapitre de Cryptographie, dans le sens qu'il est beaucoup plus intéressant pour un étudiant d'une

petite classe de voir une application des concepts abstraits de la topologie dans un cadre pratique

(et par ailleurs esthétique) où ils sont absolument nécessaires à la bonne compréhension du sujet

plutôt que dans un cadre où l'on peut très bien s'y soustraire sans avoir à trop en souffrir. Le

lecteur retrouvera ici certains développements et théorèmes proposés ailleurs sur le site ceci dans

le but de lui éviter à avoir trop à "tourner les pages".

TOPOLOGIE FRACTALE

Remarque: La dénomination "topologie fractale" est une invention fantaisiste de notre part car

les développements qui vont suivre ne s'appliquent, comme vous l'aurez compris relativement à

la remarque précédente, de loin pas qu'aux fractales.

Les objets fractals naturels sont dits "objets non-déterministes", car le processus dynamique

qui permet leur création varie lui-même avec le temps de façon aléatoire (voir le chapite de

Dynamique des populations pour un excellent exemple). Nous pouvons néanmoins essayer de

modéliser des systèmes dynamiques permettant d'aboutir à des objets fractals, sous la forme

suivante :

Nous nous donnons un objet géométrique initial de l'espace E, une

fonction f de E dans E telle que , et nous créons le système dynamique discret

défini par :

(1)

Sous certaines conditions que nous allons de suite voir, la suite d'objets géométriques

"tend" vers une limite, qui est souvent un objet fractal (nous en verrons par ailleurs quelques

exemples).

Naturellement, il existe un cadre mathématique rigoureux dans lequel les conditions évoquées

et le verbe "tendre" a une définition précise. En particulier, les objets sont tous des compacts

de E, c'est à dire des sous-ensembles bornés (que nous pouvons inclure dans un segment

si E est une droite, un disque si E est un plan ou une boule si E est l'espace à trois dimensions)

et fermés (toute suite convergente de a sa limite dans E). Nous nous plaçons alors dans

l'espace métrique des compacts, muni de la distance de Hausdorff, dont nous allons montrer

qu'il est complet lorsqu'il s'agit de compacts du plan et de l'espace, et nous vérifierons que f est

un "opérateur de Hutchinson", c'est à dire une application contractante de l'espace des

compacts dans lui-même pour cette distance. Il ne restera alors plus qu'à appliquer le théorème

du point fixe.

Des systèmes dynamiques de ce type sont dits déterministes, et appelés IFS (deteministic

iterated function systems). Précisons que la limite de l'IFS s'appelle "l'attracteur de l'IFS". Nous

pouvons montrer que sous les conditions évoquées plus haut, cet attracteur ne dépend pas de

la forme de l'objet géométrique initial.

Dans un premier temps nous nous limiterons notre étude à (le cas général étant donné dans

le chapitre de Topologie du site) sachant de toute façon qu'une généralisation à l'espace

euclidien de dimension deux ne nécessite par un travail intellectuel trop grand et que

l'ensemble des complexes y est isomorphe.

Définition: Pour nous permettre de définir les frontières de nos fonctions fractales considérons

. Nous disons que est le "supremum" de X et nous notons :

(2)

si est le plus petit des "majorants" de X (un majorant de X est un nombre a qui

vérifie ). De la même façon, nous disons que est "l'infimum" de X et nous

notons :

(3)

si est le plus grand des "minorants" de X (un minorant de X est un nombre a qui

vérifie ). Il existe des sous-ensembles de qui n'ont pas de supremum

(respectivement d'infimum) par exemple ( respectivement ).

Remarque: Nous utilisons souvent la caractérisation suivante du sup :

(4)

si et seulement si :

(5)

ce qui est évident car nous pouvons nous s'approcher aussi près que l'on veut de par des

éléments de X(penser à petit). Pour l'information nous avons alors aussi dans la même idée:

(6)

si et seulement si :

(7)

Nous considérerons comme inuitif que si est majoré, c'est-à-dire s'il existe tel

que (respectivement minoré), alors X possède un supremum (respetivement un

infimum).

Nous verrons plus tard que c'est cette propriété qui permettra de montrer que est un

"espace métrique complet"!

Remarque: En passant, nous remarquerons que le théorème précédent n'est pas vérifié dans

l'ensemble des nombres rationnels. En effet l'ensemble:

(8)

est majoré mais n'a pas de supremum dans car ce supremum se situe dans puisque:

(9)

donc:

(10)

C'est ce qui fait que n'est pas "complet".

Définition: Nous disons que est "borné" si X est majoré et minoré.

De la définition suit immédiatement que X est borné si et seulement s'il

existe avec tels que .

Définition: Nous disons qu'une suite de est une "suite croissante" (resp.

"décroissante") si :

(resp. ) (11)

Nous disons que la suite est "monotone" si elle est croissante ou décroissante.

Définition: Soit un sous-ensemble infini de avec . Nous disons

que la suite est une "sous-suite" de la suite .

Montrons maintenant que toute suite de admet une sous-suite monotone (c'est un

peu l'idée de fractale!).

Démonstration:

Nous disons que est un "pic de la suite" si . Considérons l'ensemble P des

pics de la suite . Si P est infini alors la sous-suite est monotone car décroissante.

Si P est fini ou vide alors soit (si nous

choisissons quelconque). n'est pas un pic, donc il existe tel que . A

son tour n'est pas un pic, donc il existe tel que etc. Nous voyons que

nous définissons ainsi une sous-suite croissante.

C.Q.F.D.

Définition: Nous disons que la suite "converge" vers et nous notons si

:

(12)

Nous disons dans ce cas que a est la "limite de la suite" .

Par exemple dans l'exemple de la figure ci-dessous où la suite sembler converge vers 1.13

nous observons que pour un positif non nul particuler donné il existe un n (valant 17) à

partir de laquelle la suite converge.

(13)

S'il n'existe pas de a pour lequel la relation précédente est vraie, nous disons que la suite

"diverge".

Démontrons maintenant que Toute suite croissante (resp. décroissante) et majorée

(resp. minorée) converge.

Remarque: Si elle ne convergeait pas nous pourrions difficilement savoir quelle est son minorant

et son majorant... d'où le fait que la nécessité du théorème devient triviale.

Démonstration:

Ce théorème est au fait assez intuitif. En effet nous nous doutons que est

la limite de cette suite. Remarquons tout d'abord que existe car est

majorée (cf. premier théorème).

Soit . Il existe un tel que . Mais dans ce cas vu que la suite est

croissante nous avons . C'est-à-dire . Dans le cas où la suite

est décroissante en procédant de la même façon nous montrons que est la

limite de cette suite.

C.Q.F.D.

Voici le résultat important à retenir suite à tout cela : Toute suite bornée de nombres réels

possède une sous-suite convergente.

C'est que les mathématiciens appelente le "théorème de Bolzano-Weierstrass" et il est

extrêmement important dans de nombreux domaines des mathématiques.

Démonstration:

Soit une telle suite. Par une proposition précédente nous savons qu'il existe une sous-

suite monotone que nous noterons . est donc une suite monotone et bornée et par

le théorème précédant, converge.

C.Q.F.D.

Rappelons que nous avons vu dans le chapitre de Suites et Séries qu'une suite de Cauchy, est

une suite qui vérifie (nous nous restreignons à un rappel particulier sur la distance

euclidienne) :

(14)

La différence entre deux termes d'une suite de Cauchy peut être rendue arbitrairement petite

pourvu que les indices de ces termes soient assez grands.

Nous avions aussi démontré (à nouveau dans le chapitre de Suites Et Séries) que dans le cas

d'une distance dans le sens topologique général que toute suite convergente est une suite de

Cauchy.

Refaisons la démonstration restreinte à la distance euclidienne (la méthode est exactement la

même comme le lecteur pourra le remarquer) :

Démonstration:

Soit , nous devons montrer qu'il existe :

(15)

Mais tend vers a donc il existe tel que .

Pour nous avons donc :

(16)

C.Q.F.D.

Montrons maintenant que toute suite de Cauchy est bornée (nous n'en avions pas parlé jusque

là où que ce soit sur le site d'où la nécessité d'une démonstration).

Démonstration:

Si est une suite de Cauchy alors en particulier pour (choisi au hasard) nous savons

qu'il existe tel que . Donc si nous fixons m nous obtenons :

(17)

C.Q.F.D.

Voici à présent le théorème fondamental (c'est à ce niveau qu'il y a un impact énorme sur la

compréhension de ce qu'est réellement un fractal !) de ces quelques lignes précédentes.

Nous devons démontrer que toute suite de Cauchy de nombres réels est convergente. Nous

disons alors que l'espace métrique muni de la distance (valeur de absolue) est un

"espace complet".

Remarques:

R1. La propriété de complétude est liée à la métrique (dont ce théorème aurait tout aussi bien sa

place dans le chapitre de topologie!): un espace peut être complet pour une distance et incomplet

pour une autre. Il est donc important de toujours préciser la distance que l'on prend quand on

parle d'espace complet.

R2. Intuitivement, un espace est complet s'il n'a pas de trous.

Considérons d'abord une suite de Cauchy. Nous avons vu que est bornée donc

par le théorème de Bolzano-Weierstrass, il existe une sous-suite convergente.

Notons a la limite de la sous-suite . Nous allons montrer maintenant que la

suite est convergente de limite a.

Démonstration:

Soit , il existe tel que :

(18)

Pour ce même il existe tel que :

(19)

Soit . Choisissons . Nous avons donc, et pour

, . Donc par l'inégalité triangulaire, pour tout :

(20)

Ce qui veut justement dire que converge vers a.

C.Q.F.D.

Définition (intuitive): Un "point adhérent" est un point pour lequel nous pouvons nous

approcher autant que nous voulons à l'aide d'éléments d'un ensemble X donné (nous nous en

approcherons par exemple avec une suite). Cependant, ce point adhérent peut aussi bien être à

l'intérieur qu'à l'extérieur de X (tous les points à l'intérieur deX sont bien évidemment des

points adhérents). Un bonne image est de voir une suite qui se rapproche de ce point adhérent

et de définir des cercles autour ce celui-ci qui deviennent de plus en plus petits contenant des

éléments de la suite. Dès lors, vient la définition suivante :

Définition (formelle): Soit . Nous disons que est un "point adhérant" à X si pour

toute bouleB(x,r) de rayon r centrée en x nous avons :

(21)

L'ensemble des points adhérents à X est "l'adhérence" de X et est noté . Nous avons

évidemment (il suffit de se le conceptualiser de manière abstraite pour toutes les boules

possibles) et nous admettrons comme évident que .

Exemple:

Prenons l'intervalle ]0,1] avec la boule B(0,1). L'intersection entre la boule et l'intervalle est non

nulle, nous pouvons alors dire que 0 est adhérent ! Mais maintenant prenons une suite 1/n par

exemple, dans l'intervalle ]0,1]. Cette suite tend vers zéro mais pourtant 0 n'appartient pas

l'intervalle. Nous pouvons faire dès lors la proposition suivante

Montrons maintenant que est adhérent à X si et seulement si il existe une

suite dans X qui converge vers x (attention, l'exemple précédent nous montre que x n'est

pas nécessairement dans X).

Démonstration:

Si est adhérent à X alors considérons la suite des boules

concentriques avec tel que :

(22)

et alors il existe toujours des éléments une qui satisfont :

(23)

avec lesquels nous pouvons créer une suite par l'infinité des suites existantes.

Définition: Nous disons que est un "espace fermé" si .

Des propositions précédentes découle le fait que dans tout fermé F, une suite qui

converge a sa limite dans F.

Nous considérerons comme trivial que si une famille de fermés indexée sur un

ensemble I quelconque. Alors est fermé.

Définition: est un "espace compact" si X est fermé et borné.

Le théorème suivant donne une caractérisation des compacts à partir des suites: est

compact si et seulement si toute suite de X possède une sous-suite qui converge dans X.

Démonstration:

Si X est compact et est une suite de X alors par le théorème de Bolzano-

Weierstrass, possède une sous-suite convergente de limite . Mais puisque X est

fermé, nous avons . Réciproquement, supposons que toute suite de X possède une

sous-suite qui converge dans X. Alors X est fermé car si il existe une

suite de X qui tend vers x. Par hypothèse, possède une sous-suite qui converge

vers . étant convergente toute les sous-suites convergent vers la même valeur,

donc (c'est pas beau ça ?!!). Ainsi c'est-à-dire X est fermé. Montrons

que X est borné. Supposons le contraire. Il existe donc une suite de X telle que .

Mais dans ce cas, aucune sous-suite de est convergente, ce qui est une contradiction.

Donc X est borné. En conclusion, X est compact.

Une propriétés des compacts est que si nous considérons une suite décroissante de

compacts non-vides. C'est-à-dire . Alors est un compact non-vide. Nous

nous passerons de la démonstration qui est triviale de par la définition du concept d'ensemble

d'adhérence qui oblige qu'un compact soit par construction non vide... !

Exemple:

Nous obtenons l'ensemble C de Cantor de la manière suivante. Nous commençons par

considérer l'intervalle fermé borné de . Nous partageons en trois parties égales

et nous enlevons l'intervalle du milieu. Nous obtenons ainsi l'ensemble :

(24)

Nous recommencons avec les deux intervalles pour obtenir :

(25)

réunion disjointe de quatre intervalles. Et de suite nous obtenons une suite décroissante de

compacts. Nous définissons :

(26)

Grâce à la proposition précédente, nous savons que C est non vide et qu'il est compact ce qui

montre que les compacts ne sont pas tous "triviaux" comme des intervalles. L'ensemble de

Cantor est un exemple de fractale (de compact) :

(27)

Regardons pour finir comment se comportent les compacts vis-à-vis des applications continues

(nous en avons besoin pour montrer comment déterminer la distance d'un point à un ensemble

ce qui nous sera indispensable après pour déterminer les propriétés de la distance de

Hausdorff).

Nous rappelons (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle) qu'une

application où est quelconque, est continue en un point si :

(28)

Ce qui traduit le fait que pour y assez proche de x, f(y) est arbitrairement proche de f(x). Nous

disons aussi que fest continue sur X si elle est continue en tout point de X.

Proposition : Soit une application continue en et une suite de X avec

:

(29)

Alors la suite converge et (cette proposition est très importante!) :

(30)

Démonstration:

Soit . f est continue en x, donc il existe tel que :

(31)

tend vers x donc il existe tel que :

(32)

Par suite pour , nous avons :

(33)

C.Q.F.D.

Si nous considérons maintenant un compact et une application

continue. f(X) est compact. En particulier sup( f ) et inf( f ) sont atteints.

Démonstration:

f(X) est fermé. En effet, soit une suite qui tend vers (nous prenons l'adhérence

au fait pour espérer montrer qu'il est égal à l'ensemble lui-même) alors X étant

compact, possède une sous-suite convergente.

Posons :

(34)

f est continue, donc :

(35)

Mais comme :

(36)

nous avons . Ceci prouve que :

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