Notes sur les fractions continues, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les fractions continues, Notes de Logique mathématique

PDF (166.2 KB)
8 pages
144Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur les fractions continues. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la notion de fraction, l'algorithme d'Euclide, exemple, démonstration.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 8
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Fractions continues.

La notion de fraction continue remonte à l'époque de Fermat et atteint son apogée avec les

travaux de Lagrange et Legendre vers la fin du 18ème siècle. Ces fractions sont importantes en

physique car nous les retrouvons en acoustique ainsi que dans la démarche intellectuelle qui a

amené Galois à créer sa théorie des groupes.

Considérons dans un premier temps le nombre rationnel a/b avec avec et .

Nous savons que tous les quotients et les restes sont dans le cadre de la division euclidienne

des entiers positifs.

Rappelons l'algorithme d'Euclide vu plus haut (mais noté de manière un peu différente):

(4.89)

Par substitutions successives, nous obtenons:

(4.90)

Ce qui est aussi parfois noté:

(4.91)

Ainsi, tout nombre rationnel positif peut s'exprimer comme une fraction continue finie où .

Exemples:

E1. Cherchons l'expression de 17/49. Nous savons déjà que donc que . Nous

avons alors:

(4.92)

Nous voyons bien dans cet exemple que nous avons effectivement . Nous pouvons

également remarquer que par construction:

(4.93)

où les crochets représentent la partie entière et nous avons aussi:

(4.94)

E2. Voyons comment extraire la racine carrée d'un nombre A par la méthode des fractions

continues.

Soit a le plus grand nombre entier dont le carré est plus petit que A. On le soustrait de A. Il y a

donc un reste de:

(4.95)

où nous avons utilisé une des identités remarquables vues dans le chapitre d'Algèbre. D'où en

divisant les deux membres par la deuxième parenthèse, nous avons:

(4.96)

Soit:

(4.97)

Dans le dénominateur, nous remplaçons par:

(4.98)

Cela donne:

(4.99)

etc.... on voit ainsi que le système est simple pour déterminer l'expression d'une racine en termes

de fraction continue.

Le développement du nombre a/b s'appelle le "développement du nombre a/b en fraction continue

finie" et est condensé sous la notation suivante:

(4.100)

Nous considérerons comme intuitif que tout nombre rationnel peut s'exprimer comme fraction

continue finie et inversement que toute fraction continue finie représente un nombre rationnel. Par

extension, un nombre irrationnel est représenté par une fraction continue infinie!

Considérons maintenant une fraction continue finie. La fraction continue:

(4.101)

où est appelée la "k-ème réduite" ou la "k-ème convergente" ou encore le "k-ème

quotient partiel".

Avec cette notation, nous avons:

(4.102)

Pour simplifier les expressions ci-dessus, nous introduisons les suites (n pour

numérateur et d pour dénominateur) définies par:

(4.103)

à l'aide de cette construction, nous avons une petite inégalité intéressante immédiate pour un peu

plus loin:

(4.104)

Avec la définition ci-dessus, nous constatons que:

(4.105)

Soit en généralisant:

(4.106)

Maintenant, montrons pour un usage ultérieur que pour , nous avons:

(4.107)

Le résultat est immédiat pour . En supposant que le résultat est vrai pour i montrons qu'il est

aussi vrai pour . Puisque:

(4.108)

alors en utilisant l'hypothèse d'induction, nous obtenons le résultat!

Nous pouvons maintenant établir une relation indispensable pour la suite. Montre que si est

la k-ème réduite de la fraction continue simple finie alors:

(4.109)

Démonstration:

(4.110)

puisque:

(4.111)

donc:

(4.112)

ce qui nous indique que le signe est le même que celui de .

Il en résulte que pour k impair, et que pour k pair. Il s'ensuit que:

et (4.113)

Ensuite, puisque:

(4.114)

Donc pour k pair, nous avons , nous en déduisons donc:

(4.115)

C.Q.F.D.

Montrons maintenant que toute fraction continue infinie peut représenter un nombre irrationnel

quelconque.

En des termes formels, si est une suite d'entiers tous positifs et que nous

considérons alors celui-ci converge nécessairement vers un nombre réel

si .

Effectivement il n'est pas difficile d'observer (c'est assez intuitif) avec un exemple pratique que

nous avons:

(4.116)

lorsque .

Maintenant, notons x un nombre réel quelconque et la partie entière de ce nombre réel.

Alors nous avons vu tout au début de notre étude des fractions continues que:

(4.117)

Il vient donc que:

(4.118)

Attardons nous pour les nécessités du chapitre d'Acoustique sur le calcul d'une fraction continue

d'un logarithme en utilisant la relation précédente!

D'abord rappelons que:

(4.119)

Soit (relation démontrée dans le chapitre d'Analyse fonctionnelle):

(4.120)

avec et .

Soit défini par:

(4.121)

Alors montrons que:

(4.122)

En effet, pour nous avons:

(4.123)

pour nous avons:

(4.124)

donc:

(4.125)

et puisque nous avions montré que:

(4.126)

etc... par récurrence ce qui démontre notre droit d'utiliser ce changement d'écriture.

Exemple:

Cherchons l'expression de la fraction continue de:

(4.127)

Nous savons en jouant avec la définition du logarithme que:

(4.128)

donc:

(4.129)

donc . Nous avons alors:

(4.130)

et puisque:

(4.131)

il vient:

(4.132)

Donc nous avons le premier quotient partiel:

(4.133)

Et in extenso nous avons déjà:

(4.134)

Simplifions:

(4.135)

Donc le premier quotient partiel peut s'écrire:

(4.136)

et passons au deuxième quotient partiel. Nous savons déjà pour cela que:

(4.137)

donc il est immédiat que et alors:

(4.138)

Il vient alors:

(4.139)

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome