Notes sur les géométries non-euclidiennes, Notes de Géométrie analytique et calcul
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les géométries non-euclidiennes, Notes de Géométrie analytique et calcul

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Notes de mathématique sur les géométries non-euclidiennes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: définitions, remarques, la géodésique et l'equation métrique, les espaces de riemann.
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Géométries non-euclidiennes.

Les géométries non-euclidiennes sont toutes les géométries qui satisfont non nécessairement tous les axiomes de Hilbert (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) mais sans en contredire aucune

(contrairement aux anciens axiomes d'Euclide et en particulier celui sur les parallèles).

Une représentation particulière de ce type de géométrie consiste à définir les points comme étant

répartis sur la surface d'une sphère (ce sont les intersection des diamètres de la sphère avec la

surface), et les lignes, pour généraliser le concept de droite, (nous disons maintenant

"géodésique"), comme les intersections de la surface de la sphère avec les plans contenant le

centre de la sphère. Deux points définissent alors de façon unique une ligne et un point est

toujours donné par l'intersection de deux lignes. Cependant, dans cette géométrie, si nous nous

donnons une ligne AB et un point P, il n'existe aucune ligne passant par P et ne coupant pas AB.

Ainsi, le cinquième postulat d'Euclide n'est pas satisfait car en P nous pouvons tracer aucune

parallèle à AB.

(22.1)

Remarque: Avant d'aborder ce chapitre, nous recommandons vivement au lecteur d'avoir lu et si

possible compris les chapitres traitant du Calcul Tensoriel, de Trigonométrie et de Géométrie

Euclidienne car nous allons utiliser grand nombre de résultats, non nécessairement triviaux, que

nous avons pu y démontrer.

En géométrie euclidienne, nous avons étudié un certain nombre de théorèmes relatifs aux plans.

Insistons maintenant sur le fait que le "plan" et une figure bidimensionnelle dont la courbure est

nulle et plongée dans un espace à 3 dimensions (donc le plan peut dès lors s'orienter). Ceci

précisé, il convient peut-être de définir plus rigoureusement ce qu'est le concept intuitif de

"courbure".

Définition: Une figure est dite "courbe" s'il existe au moins en un point se situant sur la ou les

droites, surfaces, volumes, ... la délimitant une tangente non confondue au délimitateur et donc

tangent en un seul point.

C'est Gauss qui en 1824 avait formulé la possibilité qu'il existe des géométries alternatives à celles

d'Euclide. Nous distinguons les géométries à "courbure négative", comme celle du russe Nicolaï

Lobatchevsky (1829) et Bolyai (1832) (somme des angles d'un triangle inférieurà 180°, nombre

infini de parallèles possibles à une droite par un point), des géométries à "courbure positive"

comme celle de Riemann (1867) (somme des angles d'un triangle supérieure à 180°, parallèles se

rejoignant aux pôles).

Nous allons voir dans ce chapitre différentes géométries non-euclidiennes dont les plus connues

sont les "géométries riemanniennes" (à courbure constante) et les "géométries de Lobatchevski"

(de type hyperbolique donc à courbure non-constante).

Remarque: La géométrie communément appelée "géométrie de Riemann" est un espace sphérique à

trois dimensions, espace fini et cependant sans bornes, à courbure régulière, alternative au postulat

euclidien des parallèles.

L'intérêt de l'étude de ces géométries est que nous ne pouvons déterminer si l'Univers dans lequel

nous vivons est fait d'un type de géométrie plutôt que d'un autre car étant donné notre taille

(physique), plongés que nous sommes dans quelque géométrie que ce soit à faible courbure, toute

surface de l'espace nous semble localement euclidienne (deux droites parallèles ne se coupent

pas). Cependant, la relativité générale, qui fait usage à outrance du calcul tensoriel (généralisation

de n'importe quelle géométrie) montre qu'il existe des zones de l'espace où la géométrie est très

fortement courbée et donc localement non-euclidienne et seulement l'étude de ce genre de

géométries nous permet de tirer des théories expliquant des observations qui ne sont pas

exploitables uniquement avec l'intuition humaine.

Avant de nous attaquer de manière formelle et abstraite à certaines géométries non-euclidiennes

nous allons d'abord faire une introduction pragmatique et particulière de certains concepts qui ne

nous sont pas totalement étrangers car déjà traités dans d'autres chapitres de manière théorique.

Une fois cette introduction faite, qui nous sera très utile pédagogiquement parlant, nous

aborderons les concepts vus plus rigoureusement.

GÉODÉSIQUE ET EQUATION MÉTRIQUE

Revenons donc sur les concepts de géodésique et courbure dont nous avons souvent fait mention

dans le chapitre de Calcul Tensoriel (le fait de ne pas avoir lu ce chapitre ne pose aucun problème

normalement à la compréhension de ce qui va suivre).

Considérons la surface bidimensionnelle d'une sphère de rayon R. Etat donnés deux

points B et C diamétralement opposés, nous cherchons la plus courte distance s mesurée sur la

sphère entre B et C. La courbe obtenue est comme nous le savons une "géodésique", notion qui

généralise donc, pour une surface arbitraire, la notion de droite du plan.

(22.2)

Remarque: Nous supposerons comme intuitif que la longueur d'une courbe de l'espace

tridimensionnel euclidien est toujours supérieure ou égale à la longueur de toute projection plane de

cette courbe. La courbe géodésique est donc nécessairement une courbe plane.

Le rayon entre l'axe Oz et l'un des points B ou C est trivialement donné par un peu de

trigonométrie élémentaire :

(22.3)

Et donc la moitié du périmètre du cercle à hauteur de B et C sera donné par :

(22.4)

Et nous avons démontré dans le chapitre de Trigonométrie quel le périmètre d'un cercle en

fonction de l'angle d'ouverture de ce dernier étant donnée par:

(22.5)

Il vient donc automatique :

(22.6)

Comme sur l'intervalle alors (il y a égalité en et ).

Les géodésiques de la sphère sont donc les arcs de grands cercles, trajets empruntés par les

avions pour les vols intercontinentaux, et correspondent aux lignes obtenues entre la surface de la

sphère et un plan passant par le centre de celle-ci.

Les propriétés géométriques des figures tracées sur la surface d'une sphère ne sont donc plus

celles de la géométrie euclidienne. Ainsi, le plus court chemin d'un point B à un point C, sur la

surface sphérique, est constitué par un arc de grand cercle passant par les points B et C. Les arcs

de grand cercle jouent le même rôle pour la sphère que les droites dans le plan. Ce sont les

"géodésiques" de la sphère.

Considérons maintenant deux surfaces bidimensionnelles : la surface de la sphère et celle du

cylindre. Etant donnés deux points B et C, nous traçons la courbe géodésique entre ces points :

(22.7)

Le cylindre peut être découpé parallèlement à son axe et déplié à plat. La géodésique apparaît

ainsi comme une droite du plan. Nous disons alors que le cylindre est "intrinsèquement plat"

(même si sa topologie diffère de celle du plan, il faut en particulier ici éviter que la coupure ne

traverse la géodésique). Ce n'est évidemment intuitivement pas le cas de la surface de la sphère.

Dans le cas de la surface cylindrique, nous pouvons définir les coordonnées cartésiennes du

plan et permettant d'écrire la longueur s de la courbe (droite) BC sous la

forme du théorème de Pythagore :

(22.8)

La métrique du plan est euclidienne et sous infinitésimale nous obtenons "l'équation métrique

euclidienne" :

(22.9)

Sur le cylindre, le changement de variable donne :

(22.10)

Ou sous forme locale :

(22.11)

La surface du cylindre peut ainsi être représentée par des coordonnées cartésiennes analogues à

celles du plan, la métrique de la surface du cylindre étant euclidienne sous forme infinitésimale et

sous forme globale.

Remarque: La relation précédente correspond à ce que nous avions obtenu dans le chapitre de

Calcul Tensoriel pour l'équation métrique en coordonnées polaires.

Nous pouvons nous intéresser maintenant au problème d'écrire l'analogue du théorème de

Pythagore pour une surface sphérique. L'impossibilité de découper la sphère et de l'aplatir pour

épouser un plan suggère des difficultés...

C'est la raison pour laquelle l'équation de la métrique ne peut s'écrire sous forme générale comme

le théorème de Pythagore. Effectivement, nous avons vu dans le chapitre de Calcul Tensoriel que

celle-ci était donnée par :

(22.12)

Cependant, localement (c'est-à-dire dans une région de petite dimension devant le rayon de la

sphère), les propriétés de la sphère peuvent être décrites par des coordonnées cartésiennes d'un

plan tangent à sa surface (c'est la propriété essentielle des espaces de Riemann!) tel que l'équation

métrique soit localement euclidienne :

(22.13)

En posant il vient alors :

(22.14)

Avec :

(22.15)

Alors que sont les coordonnées de Gauss, sont les coordonnées du plan localement

tangent.

Cette petite présentation ayant été faite, passons à un cadre plus général en nous intéressant aux

espaces de Riemann.

ESPACES DE RIEMANN

Pour mieux comprendre ce qu'est un espace de Riemann, nous allons de suite passer par un petit

exemple d'une surface à deux dimensions (exemple très classique) :

Considérons une sphère de rayon R, de surface S, située dans l'espace ordinaire à trois

dimensions. Les coordonnées cartésiennes x, y, z d'un point M de la surface S peuvent s'exprimer,

par exemple, en fonction des coordonnées sphériques . La sphère est entièrement décrite

pour un rayon donné et et .

Trois tels paramètres, permettent de déterminer un point sur la surface d'une sphère, sont nous le

savons (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) des coordonnées curvilignes sur la surface ou également

dites "coordonnées de Gauss" (Gauss étant un des premiers mathématiciens à s'intéresser à

l'étude des corps plongés dans les espaces non-euclidiens). D'autres paramètres

quelconques u, v, w peuvent évidemment être choisis comme coordonnées curvilignes sur la

surface.

L'élément linéaire de la surface , carré de la distance entre deux points infiniment

voisins M, M', s'écrit en fonction des coordonnées sphériques, comme nous l'avons démontré dans

le chapitre de Calcul Tensoriel :

(22.16)

Nous obtenons ainsi une expression de l'élément linéaire en fonction des trois seules coordonnées

de Gauss . Nous pourrions bien sûr imposer une étude locale (plan tangent) afin que

l'élément linéaire ne soit plus fonction que de comme nous l'avons vu plus haut :

(22.17)

Ecrire à l'aide des trois paramètres, la surface de la sphère (considérée comme un espace à deux

dimensions) constitue un exemple d'espace de Riemann à deux dimensions.

Dont l'élément linéaire est de la forme générale bien connue (cf. le chapitre de Calcul Tensoriel) :

(22.18)

où les sont les composantes contravariantes du vecteur par rapport au repère

naturel .

Remarque: L'étude des figures sur des surfaces riemanniennes fait partie de la géométrie

différentielle à laquelle nous consacrons un chapitre entier dans cette section.

Considérons à présent une surface quelconque de coordonnées . Les coordonnées

cartésiennes x, y, z de l'espace ordinaire où se trouve plongée cette surface s'écrivent de manière

générale :

(22.19)

Remarquons par ailleurs que l'équation métrique sous forme tensorielle :

(22.20)

peut s'écrire sous forme développée de la manière suivante (cette relation est démontrée avec une

approche géométrique dans le chapitre de Géométrie Différentielle) :

(22.21)

avec :

(22.22)

Remarques:

R1. L'expression donnée ci-dessus de l'élément linéaire s'appelle "forme quadratique fondamentale"

de la surface considérée. Les coefficients E, F, G sont des fonctions des coordonnées curvilignes.

De manière générale cette surface, considérée comme un espace à deux dimensions, constituera un

exemple d'espace de Riemann, pour des coordonnées curvilignes arbitraires.

R2. Les différents espaces de Riemann constituent ce que nous appelons sous une forme générale

(parce qu'il n'y pas que des espaces de type riemannien à courbure constante) une "variété" munie

d'une métrique riemannienne. Une variété peut être définie (non formellement), par exemple, par un

ensemble de points situés dans un espace préexistant. De manière générale une surface donne l'idée

d'une variété à deux dimensions. La sphère et le tors sont des variétés à deux dimensions sans

frontière. Un cylindre de révolution, un paraboloïde hyperbolique, sont des variétés à deux

dimensions ouvertes, avec frontières à l'infini. Mais nous pouvons aussi envisager des variétés

abstraites. C'est le cas par exemple d'un espace de configuration. Il s'agit alors d'un espace de points

àn dimensions représenté par un ensemble (ou noté )de coordonnées généralisées (voir

l'introduction au formalisme lagrangien dans la section de mécanique analytique), ces dernières

pouvant avoir des valeurs comprises dans un domaine fini ou non.

Nous pouvons maintenant mieux définir ce qu'est un espace de Riemann.

Définition: Un "espace de Riemann" est une variété à laquelle nous avons attaché une métrique.

Cela signifie que, dans chaque partie de la variété, représentée analytiquement au moyen d'un

système de coordonnées , nous nous sommes donné une forme différentielle quadratique :

(22.23)

qui constitue la métrique de l'espace.

Les coefficients ne sont pas entièrement arbitraires et doivent vérifier, nous l'avons démontré

dans le chapitre de Calcul Tensoriel, les conditions suivantes :

C1. Les composantes sont symétriques .

C2. Le déterminant de la matrice est différent de zéro.

C3. La forme différentielle de l'élément linéaire, et par conséquent le concept de distance défini

par les , est invariantes vis-à-vis de tout changement de coordonnées.

C4. Toutes les dérivées partielles d'ordre deux des existent et sont continues donc de

classe .

Un espace de Riemann est donc un espace de points, chacun étant repéré par un système

de n coordonnées , doté d'une métrique quelconque telle que la forme différentielle de

l'élément linéaire vérifiant les conditions précédentes. Cette métrique est dite dès lors "métrique

riemannienne".

Remarques:

R1. Si la métrique est définie positive, c'est-à-dire si pour tout vecteur non nul, nous

disons que l'espace est "proprement riemannien". Dans ce cas, le déterminant de la matrice est

strictement positif et toutes les valeurs propres de la matrice sont strictement positives.

R2. Par définition, nous disons qu'une métrique d'un espace est euclidienne lorsque tout tenseur

fondamental de cet espace peut être ramené, par un changement approprié de coordonnées, à une

forme telle que (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) la base orthonormée canonique : .

R3. La définition des espaces riemanniens montre que l'espace euclidien est un cas très particulier

de ces espaces. Il n'existe donc qu'un seul espace euclidien alors que nous pouvons créer une

infinité d'espaces riemanniens.

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