Notes sur les groupes de symétries, Notes de Géométrie analytique et calcul
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les groupes de symétries, Notes de Géométrie analytique et calcul

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Notes de mathématique sur les groupes de symétries. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le groupe de symétrie d'un objet, le "groupe diédral d'ordre n", La combinaison des différents éléments de symétrie, l'...
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Groupes de symétries.

Le groupe de symétrie d'un objet noté X (image, signal, etc. en 1D, 2D ou 3D) est le groupe de

toutes les isométries sous lesquelles il est invariant avec la composition en tant qu'opération.

Tout groupe de symétrie dont les éléments ont un point fixe commun, ce qui est vrai pour tous les

groupes de symétrie de figures limitées, peut être représenté comme un sous-groupe du groupe

orthogonal O(n) en choisissant l'origine pour point fixe. Le groupe de symétrie propre est alors un

sous-groupe du groupe orthogonal spécial SO(n), et par conséquent, il est aussi appelé le groupe

de rotation de la figure.

Dans ce qui suit, nous allons interpréter la composée de deux opérations de symétrie comme une

multiplication au même titre que pour les permutations.

Définition: Le groupe des symétries de X est l'ensemble des symétries de X, muni de la structure

de multiplication donnée par composition.

Exemples:

E1. Le coeur à un groupe de symétries a deux éléments (d'ordre deux), à savoir l'application

identité id, et l'application : réflexion dans l'axe vertical. Nous observons que le symétrique via

la relation .

E2. La lettre à un groupe de symétries à quatre éléments, c'est donc un groupe de symétrie

d'ordre 4, à savoir l'application idenditéid, les deux réflexions et et la rotation par l'angle

que nous noterons .

Dans ce groupe nous avons par exemple (et c'est commutatif), est la rotation

par un angle , ce qui est la même application que l'application identique, donc .

Ainsi, le groupe de symétrie de cette lettre est commutatif et la loi de composition est bien

interne. C'est donc bien un groupe.

E3. Le pentagone régulier à un groupe de symétries à 10 éléments, c'est donc un groupe de

symétrie d'ordre 10, à savoir les 5 rotations ainsi que les 5 réflexions

dans les 5 axes de symétrie.

Les règles de multiplication sont un peu compliquées dans cet exemple mais nous pouvons

néanmoins observer que la composition est toujours une opération interne (le produit de deux

réflexions est toujours une rotation par exemple).

Plus généralement, le groupe de symétries d'un n-gone régulier (si n est impaire) a exactement

2n éléments. Ce groupe s'appelle le "groupe diédral d'ordre n" est noté .

E4. Nous reviendrons sur cet exemple lorsque nous introduirons un peu plus loin le concept de

groupe distingué lors de notre étude des groupes de permutations et la définition des groupes

distingués.

Le groupe diédral d'ordre 3 des isométries d'un triangle équilatéral à 6 éléments que nous

noterons (afin que l'écriture soit moins lourde) :

(9.48)

où sont les symétries par rapports au trois bissectrices (respectivement médiatrices).

La table de composition de ce groupe diédral montre aussi que ce groupe est non-commutatif :

id

idid

id

id

id

id

id

Tableau: 9.1 - Symétries du groupe diédral d'ordre 3

E5. Regardons un dernier exemple appliqué à la chimie en énumérant les opérations de symétrie

qui laissent la molécule (tétraèdre) invariante.

Le groupe de transformation contient 6 éléments : l'identité id, qui est la rotation de

, la rotation de (que nous noterons par la suite ) toutes deux selon l'axe Z

(perpendiculaire au plan XYdonc...) et 3 axes de symétrie/réflexion passant chacun par

le milieu d'un des arêtes de base au milieu de l'arête opposée comme le montre la figure ci-

dessous (pyramide vue du dessus) :

(9.49)

La combinaison des différents éléments de symétrie montre que la table de composition est (ce

qui prouve que la loi est interne et que nous travaillons donc bien dans un groupe) :

id

idid

id

id

id

id

id

Tableau: 9.2 - Compositions de transformations du tétraèdre

Attention à l'ordre, nous appliquons d'abord l'élément de ligne puis l'élément de colonne. Nous

constatons que le groupe n'est donc pas commutatif.

ORBITE ET STABILISATEUR

Nous allons voir maintenant deux définitions que nous retrouverons en cristallographie (leur nom

n'est pas innocent!).

Définition: L'orbite d'un élément x de E est donnée par:

(9.50)

L'orbite de x est l'ensemble des positions (dans E) susceptibles d'être occupées par l'image

de x sous l'action deG. Les orbites forment évidemment une partition de E.

Exemple:

Considérons un ensemble E sur lequel agit un groupe G, par:

(9.51)

l'ensemble des 6 sommets d'un hexagone sur lequel nous faisons agir le

groupe . Nous observons déjà trivialement que G est bien un groupe!

Maintenant, prenons un élément de E, par exemple .

Son orbite va donc être par définition:

(9.52)

Définition: Le stabilisateur x d'un élément de E est l'ensemble:

(9.53)

des éléments qui laissent x invariant sous leur action. C'est un sous-groupe de G.

Pour reprendre notre exemple précédent. Son stabilisateur va être réduit à:

(9.54)

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