Notes sur les groupes de transformations, Notes de Géométrie analytique et calcul
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les groupes de transformations, Notes de Géométrie analytique et calcul

PDF (171.6 KB)
8 pages
368Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur les groupes de transformations. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le groupe des rotations, le groupe des transformations affines, la forme matricielle, les définitions.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 8
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Groupes de transformations.

Le groupe des rotations est celui qui intéresse le plus les physiciens surtout dans les domaines

des matériaux, de la chimie, de la physique quantique et de l'art... Les mathématiciens apprécient

eux l'étude des groupes de rotation dans le cadre de la géométrie bien évidemment (mais pas

seulement) et les informaticiens tout autant les groupes linéaires. Nous en avons d'ailleurs vu un

exemple de groupe de rotation juste précédemment.

Définition: Nous appelons "groupe linéaire d'ordre n" et nous notonsGL(n) les matrices inversibles

(donc le déterminant est non nul selon ce que nous avons vu dans le chapitre d'Algèbre Linéaire)

dont les coefficients sont dans un corps quelconque :

(9.14)

Un exemple simple et important de groupe linéaire est celui du sous-"groupe des transformations

affines" du plan qui est traditionnellement noté (c'est intuitif) :

(9.15)

avec (nous verrons le pourquoi du comment de l'inégalité un peu

plus loin).

Prenons un exemple pratique :

(9.16)

ce qui appliqué à un cercle donnerait :

(9.17)

Cette transformation est une manière de définir les ellipses comme images d'un cercle par une

transformation affine.

Les coefficients sont sans importance pour la forme de l'image. En fait, ils induisent bien

évidemment des translations sur les figures. Nous pouvons donc nous en passer si nous

cherchons seulement à la déformer.

Ainsi, il nous reste :

(9.18)

ce qui peut s'écrire sous forme matricielle :

(9.19)

La transformation se réduit donc à la matrice :

(9.20)

et comme nous l'avons vu en algèbre linéaire, la multiplication matricielle est associative n'est pas

commutative, donc la transformation linéaire ne l'est pas non plus.

L'élément neutre est la matrice :

(9.21)

et l'inverse de F est :

(9.22)

et comme nous avons imposé tout élément y possède donc un inverse. Ainsi, le

groupe linéaire affine est non commutatif et... forme bien un groupe...

Définition: Nous appelons "groupe spécial linéaire d'ordre n" et nous notons SL(n) les matrices

inversibles dont les coefficients sont dans un corps quelconque et dont le déterminant est égal à

l'unité :

(9.23)

Il s'agit évidemment d'un sous-groupe de GL(n).

En reprenant l'exemple précédant et en se rappelant que le déterminant d'une matrice carré

bidimensionnelle est (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) :

(9.24)

nous remarquons bien géométriquement ce que signifie d'avoir un déterminant unitaire dans ce

cas! Effectivement nous avons vu dans le chapitre d'Algèbre Linéaire lors de notre interprétation

géométrique qu'avoir un déterminant équivaut à une surface. Ainsi, le fait d'avoir ad-bc unitaire

permet donc que quelque soit l'ordre de la transformation, nous avons l'aire qui vaut toujours 1.

Ainsi, le groupe spécial linéaire conserve les surfaces.

Définition: Nous appelons "groupe orthogonal réel d'ordre n" et notons O(n) les matrices

orthogonales (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) données par :

(9.25)

Par ailleurs, nous avons démontré dans le chapitre d'Algèbre Linéaire lors de notre étude des

matrices de rotation que implique .

C'est le cas par exemple de la matrice de O(2) vue précédemment (elle appartient au groupe

orthogonal mais aussi au groupe des rotations que nous verrons plus loin) :

(9.26)

qui est orthogonale comme il est facile de le vérifier.

Remarque:O(1) est constitué aussi de l'ensemble des matrices triviales.... [1],[-1]

Définition: Si et que nous avons alors nous obtenons un sous-groupe de O(n)

appelé "groupe spécial orthogonal réel d'ordre n" et noté SO(n) :

(9.27)

La matrice de rotation donnée précédemment fait partie de ce groupe puisque son déterminant est

égal à l'unité! Par ailleurs, ce groupe occupe une place très spéciale en physique et nous le

retrouverons de maintes fois.

Le sous-groupe SO(2), appelé aussi parfois "groupe cercle" et noté , que nous avions aussi

étudié dans le chapitre de Géométrie Euclidienne a une représentative donnée par la matrice:

(9.28)

occupe une place à part dans la famille des groupes SO(n) avec n supérieur à l'unité. Effectivement

il est le seul à être commutatif. Par ailleurs, il est isomorphe à soit à U(1) le groupe

multiplicatif des nombres complexes de module 1. C'est aussi le groupe de symétrie propre d'un

cercle et l'équivalent continu .

Le sous-groupe SO(3) donné par la matrice (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) :

(9.29)

pour la rotation autour de l'axe X dans l'espace tridimensionnel n'est pas commutatif. Par ailleurs

les quaternions, dont la représentative est donc SO(3), forment une groupe non commutatif aussi

(par rapport à la loi de multiplication) comme nous l'avons vu dans le chapitre sur les Nombres.

Par rapport à un vecteur unitaire on se rend facilement compte visuellement parlant que SO(3) est

un sous-groupe fermé de GL(3), c'est-à-dire de l'ensemble des groupes linéaires de dimension 3.

Remarque:SO(1) est constitué de la matrice [1].

Définition: Nous appelons "groupe unitaire d'ordre n" et nous notons U(n) les matrices dont les

composantes sont complexes (dans le cadre de ce site le plus souvent) ou réelles et qui sont

orthogonales :

(9.30)

Remarquons par ailleurs que toute matrice unitaire à coefficients complexes et à une dimension...

(de U(n) donc...) est un nombre complexe de module unitaire, qui peut toujours s'écrire sous la

forme .

Nous en avons déjà vu un exemple aussi sur le site lors de notre étude des spineurs dans le

chapitre de Calcul Spinoriel. Il s'agit des matrices de Pauli (utilisées dans le chapitre de Physique

Quantique Relativiste) données par :

(9.31)

Définition: Nous appelons "groupe spécial unitaire d'ordre n" et nous notons SU(n) les matrices

dont les coefficients sont complexes et qui sont orthogonales et dont le déterminant est unitaire :

(9.32)

Remarque: U(1) est égal à SU(1) et il s'agit donc du cercle unité complexe égal à . Par

ailleurs, SO(2) est commutatif et isomorphe à U(1) car c'est l'ensemble des rotations du plan.

Un exemple connu est toujours celui des matrices de Pauli mais simplement écrites sous la forme

utilisée en Physique Quantique Relativiste (voir chapitre du même nom) :

(9.33)

qui font partie de SU(2) et qui comme nous l'avons montré (implicitement) au début du chapitre de

Calcul Spinoriel est isomorphe au groupe des quaternions SO(3) de module 1 sur la sphère de

dimension 3 (notée ). Relation que les mathématiciens appellent dans le cas présent un

homomorphisme de revêtement....

Remarque: Le groupe spécial unitaire possède une importance particulière en physique des

particules. Si le groupe unitaire U(1) est le groupe de jauge de l'électromagnétisme (pensez au

nombre complexe apparaissant dans les solutions de l'équation d'onde!), SU(2) est le groupe associé

à l'interaction faible, et SU(3) celui de l'interaction forte. C'est par exemple grâce à la structure des

représentations de SU(3) que Gellman a conjecturé l'existence des quarks.

Avec une approche différente que celle vue dans le chapitre de Calcul Spinoriel comment montrer

que les matrices de Pauli sont les bases de SU(2).

D'abord, rappelons que nous avons montré dans de Calcul Spinoriel que toute rotation dans

l'espace de trois dimensions pouvait s'exprimer à l'aide de la relation:

(9.34)

Et nous avons vu dans le chapitre d'Informatique Quantique qu'une formulation explicite et

décomposée la relation précédente était (nous changeons les notations des angles car rien nous

oblige de tourner :

(9.35)

et donc que tout élément de SU(2) est produit de ces trois matrices qui font chacune décrire à

l'extrémité d'un vecteur dans l'espace une courbe!

Maintenant, nous remarquons que ces trois matrices sont égales à:

(9.36)

lorsque . Nous obtenons donc la matrice identité. Donc si nous cherchons la tangente en ce

point conjoint, nous pouvons donc construire une base (3 vecteurs orthogonaux).

Regardons ceci:

(9.37)

Ainsi, SU(2) admet pour base:

(9.38)

et ce sont en d'autres termes les générateurs infinitésimaux du groupe SU(2). SU(2) a donc une

base qui est une Algèbre de Lie selon le vocabulaire des mathématiciens.

Ce résultat est assez remarquable... Puisque SU(2) et SO(3) sont isomorphes, nous pouvons alors

obtenir la base de l'Algèbre de Lie de SO(3) alors avec la méthode!!!

Voyons ceci! Nous avons vu dans le chapitre de Géométrie Euclidienne que les matrices de rotation

étaient données par (nous changeons le R par un U afin de ne pas confondra avec les matrices

précédentes):

(9.39)

Nous remarquons à nouveau qu'en la courbe que fait décrire à un vecteur les trois

matrices de rotation passent par:

(9.40)

Alors de la même manière que pour SU(2), nous calculons les dérivées en ces angles pour

déterminer les matrices de bases génératrices de SO(3):

(9.41)

L'algèbre de Lie de SO(3) admet donc pour base:

(9.42)

En physique, on préfère travailler avec des matrices complexes. Nous introduisons alors les

matrices:

(9.43)

Il faut alors remarquer que si nous définissons:

(9.44)

nous avons trivialement pour la complexe conjuguée de la matrice transposée:

(9.45)

et au fait... nous avons aussi les relations de non-commutation (ce que nous pouvons développer

sur demande):

(9.46)

(cycl.)

et aussi la relation de commutation:

(9.47)

(cycl.)

ce que satisfont aussi les matrices de Pauli et... pour rappel (ou information pour ceux qui n'ont

pas encore lu le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) les sont les opérateurs du

moment cinétique total du système de couplage spin-orbite!!!

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome