Notes sur les groupes des permutations, Notes de Géométrie analytique et calcul
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les groupes des permutations, Notes de Géométrie analytique et calcul

PDF (173.8 KB)
7 pages
363Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur les groupes des permutations. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'ordre du groupe de permutations, la composition de deux permutations, les définitions.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 7
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Groupes des permutations.

Les groupes symétriques ont une importance non négligeable dans certains domaines de la

physique quantique mais aussi en mathématiques dans le cadre de la théorie de Galois. Il convient

donc d'y porter aussi une attention toute particulière.

Rappelons d'abord (cf. chapitre de Probabilités) que dans un ensemble il y a n!

permutations possibles. Les mathématiciens disent, à juste titre, qu'il y a n! bijections et appellent

ce nombre "ordre du groupe de permutations".

Prenons par exemple l'ensemble {1,2,3}. Cet ensemble à 3! permutations possibles qui sont notées

dans le cadre des groupes de permutation de la manière suivante:

{(1), (1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)} (9.55)

Ce qui se lit dans l'ordre : application identité id, 1 amène sur 2 ou 2 sur un 1, 1 amène sur 3 ou 3

sur 1, 2 amène sur 3 ou 3 sur 2, 1 amène sur 2 qui amène sur 3 qui amène sur 1, 1 amène sur 3

qui amène sur 2 qui amène sur 1.

Soit de manière plus explicite:

(9.56)

Nous pouvons observer facilement que la composition de deux permutations n'est pas

commutative :

(9.57)

et que la composition de deux permutations est une loi interne :

(9.58)

avec un élément neutre qui est bien l'identité id. Nous avons donc bien un groupe non

commutatif. Rappelons également au lecteur que certains éléments du groupe, s'ils sont bien

choisis, peuvent former un sous-groupe. C'est l'exemple de :

{(1), (1 2)} (9.59)

qui est un sous-groupe de (il est facile de vérifier qu'il possède toutes les propriétés d'un

groupe).

Définition: Un sous-groupe H d'un groupe G est appelé "groupe distingué" si, pour tout g de G et

tout h de H, nous avons qui est élément de H. Les mathématiciens appellent cela un

"automorphisme intérieur"...

Voyons d'abord un exemple géométrique parlant après quoi nous reviendrons à cette définition

avec .

Exemple:

Nous avons vu plus haut les éléments du groupe de symétrie diédral d'ordre 3 du triangle

équilatéral. Géométriquement ils correspondent tous à des déplacements du plan dans lequel se

trouve le triangle. Nous avions obtenu pour rappel le tableau de composition suivant :

id

idid

id

id

id

id

id

Tableau: 9.3 - Compositions de transformations du tétraèdre

D'abord, nous constatons facilement à l'aide de ce tableau que nous avons :

- Le sous-groupe formé de {id} d'ordre 1

- Le sous-groupe formé de d'ordre 3

- Le sous-groupe formé de d'ordre 2

- Le sous-groupe formé de d'ordre 2

- Le sous-groupe formé de d'ordre 2

Parmi ces 5 sous-groupes, voyons lesquels sont distingués (cela est relativement facile à visualiser

à l'aide du tableau de composition) :

- Le sous-groupe formé de {id}

- Le sous-groupe formé de

Nous allons voir maintenant une chose remarquable! En numérotant par 1,2 et 3 les sommets du

triangle équilatéral, nous pouvons identifier les éléments de aux éléments suivants de :

(9.60)

et reconstruire la même table de composition!

Bon... ce petit interlude fermé, revenons au groupe distingué de (car il va être important pour

notre introduction aux groupe de Galois) et rappelons d'abord que :

(9.61)

Nous construisons joyeusement la table de composition (copie de la précédente.. hé hé!) :

(1) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (2 3)

(1) (1) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (2 3)

(1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (2 3) (1 2) (1 3)

(1 3 2) (1 3 2) (1) (1 2 3) (1 3) (2 3) (1 2)

(1 2) (1 2) (1 3) (2 3) (1) (1 2 3) (1 3 2)

(1 3) (1 3) (2 3) (1 2) (1 3 2) (1) (1 2 3)

(2 3) (2 3) (1 2) (1 3) (1 2 3) (1 3 2) (1)

Tableau: 9.4 - Composition du groupe distingué

et nous voyons que le sous-groupe distingué est formé de :

(9.62)

Définition: Pour tout sous-groupe H stable par les automorphismes intérieurs d'un groupe G, nous

appelons "indice de H dans G" le quotient de l'ordre du groupe G par l'ordre du sous-groupe H et

nous l'écrivons [G/H].

Par exemple, l'indice du sous-groupe {(1), (1 2)}dans le groupe est 6/2 c'est-à-dire 3. Ce

concept nous sera très utile lors de notre introduction aux corps de Galois plus loin.

Considérons maintenant, la permutation particulière pour aborder le sujet sous un angle

différent mais équivalent :

(9.63)

Les mathématiciens ont pour habitude de noter cela, dans un premier temps, sous la forme :

(9.64)

avec :

(9.65)

Etant donné et , deux permutations, il est naturel de regarder leur

composition (rappelons que cela signifie d'abord , puis comme pour la composition de

fonctions).

Ainsi, si :

et (9.66)

Alors :

(9.67)

et :

(9.68)

Maintenant, l'idée est d'interpréter la composition comme une multiplication de permutations.

Cette multiplication est alors non-commutative comme nous venons de le constater dans

l'exemple précédent. Nous avons en général .

Chaque bijection a un inverse (une fonction réciproque). Dans notre exemple il s'agit de

évidemment de :

(9.69)

Géométrique, pour calculer l'inverse d'un élément , il suffit de prendre la réflexion du

dessin de dans un axe horizontal comme le montre la partie gauche de la figure ci-dessous:

(9.70)

Définitions:

D1. L'ensemble des permutations d'un ensemble avec n éléments, muni de cette structure de

multiplication, s'appelle le "groupe des permutations d'ordre n" ou "groupe des substitutions

d'ordre n", et se note ou encore S(n).

D2. Nous disons qu'un élément de est un "cycle d'ordre k", ou un "k-cycle", s'il

existe tel que :

- envoie sur , sur ,..., sur , et sur

- fixe tous les autres éléments de

et nous notons le cycle de la manière .

Pour mieux comprendre reprenons notre exemple de :

(9.71)

Ce groupe symétrique est un 3-cycle noté car dans l'ordre : 1 envoie sur 3, 3 envoie

sur 4 et 4 envoie sur 1 (et le 2 n'étant pas mentionné il reste fixe). Nous pouvons noter cela aussi

des façons suivantes équivalents : ou encore .

Définition: L'ordre d'un k-cycle est k (d'où le nom!).

Effectivement si nous reprenons , nous avons alors :

et (9.72)

Définition: Nous disons qu'une permutation est un "cycle" s'il existe tel que est un k-

cycle.

Attention! Toute permutation doit s'écrire comme un produit de cycles disjoints (c'est-à-dire qu'un

nombre qui apparaît dans un cycle ne doit pas apparaître dans un autre cycle). Par exemple,

dans , nous avons :

(9.73)

Donc cette permutation est un produit d'un 4-cycle et d'un 3-cycle disjoint.

Nous laisserons d'ailleurs le lecteur vérifier par lui-même que l'ordre de ce groupe est 12...

Remarque: Les mathématiciens peuvent démontrer que si est un élément qui a une

décomposition en ccycles disjoints de longueur alors l'ordre de est le plus petit

commun multiple des ordres de tous les cycles disjoints qui le compose.

Nous supposerons également intuitif que dans le vocabulaire commun, un 2-cycle

dans s'appelle aussi une "transposition".

Allons un petit peu plus loin. Nous nous proposons de montrer par l'exemple que l'ensemble des

transpositions engendre . Autrement, dit, toute permutation s'écrit comme un produit de

transpositions.

Reprenons notre exemple (il s'agit d'une permutation paire) :

(9.74)

En général, un k-cycle s'écrit donc comme produit de k-1 transpositions.

Définition: Soit une permutation. Nous disons que est "permutation paire" si, dans une

écriture de comme produit de transposition, il y a un nombre paire de transpositions. Nous

disons que est "permutation impaire" si, dans une écriture de comme produit de

transpositions, il y a un nombre impaire de transpositions.

Finissons par un petit complément... Nous avons que est un groupe des permutations d'ordre

3 avec donc 3!=6 permutations possibles.

Si nous énumérons les 6 permutations nous avons vu que nous obtenons :

{(1), (1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)} (9.75)

Parmi ceux-ci seulement certains peuvent être écrit comme un produit pair de transpositions :

(1 2 3)=(1 2)(3 1) et (1 3 2)=(1 3)(2 1) (9.76)

Les permutations paires forment avec la permutation identité id, un sous-groupe (non commutatif)

que nous appelons le "groupe alterné d'ordre n" et que nous notons . C'est facile de le vérifier

avec l'exemple précédent.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome