Notes sur les homomorphismes, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les homomorphismes, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes de mathématique sur les homomorphismes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le concept d'homomorphismes, définitions, démonstration, l'idéal, les exemples.
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Homomorphismes.

Le concept d'homomorphismes (du grec homoios = semblable et morphê = forme) a été défini par

les mathématiciens car permettant de mettre en évidence des propriétés remarquables des

fonctions en particulier avec leurs structures, leur noyau, et de ce que nous appelons les "idéaux"

(voir plus loin). Ils nous permettront ainsi d'identifier une structure algébrique d'une autre.

Définitions:

D1. Si et sont deux magmas (peu importe la notation utilisé pour les lois internes),

une application f de A dans B est un "homomorphisme de magma" ou "morphisme de magma" (par

abus de langage nous écrivons parfois aussi "homorphisme" par flegme) si :

(5.162)

en d'autres termes, si l'image d'un composé dans A est le composé des images dans B.

D2. Si et sont deux monoïdes, une application f deA dans B est un "homomorphisme

de monoïde" si :

(5.163)

où sont les éléments neutres respectifs des monoïdes A,B.

D3. Si A, B sont deux anneaux, un "homomorphisme d'anneaux" (très important pour le chapitre

de Cryptographie!) de A dans B est une application telle que nous ayons pour

tout :

(5.164)

où sont les éléments neutres des anneaux A, B par rapport à la multiplication.

Soit un homomorphisme d'anneaux. Alors :

P1.

P2.

P3. Si a est une unité de A, alors f(a) est une unité de B et

Démonstrations:

DM1. Par , nous avons . En ajoutant des

deux côtés de l'égalité, nous obtenons

DM2. La propriété P2 découle aussi de et de la propriété P1. En effet,

nous avons . En additionnant aux deux côtés de la

dernière égalité, nous obtenons .

DM3. Soient tel que . Alors par et , nous

avons et de même ce qui montre que f(b) est l'inverse

de f(a) si b est l'inverse de a.

C.Q.F.D.

Montrons maintenant qu'un homomorphisme d'anneaux est injectif si et seulement si

l'élément 0 est la seule pré-image de 0 (et donc réciproquement), ce qui se note techniquement:

(5.165)

c'est-à-dire que le noyau est trivial.

Démonstration:

La condition est clairement nécessaire. Montrons qu'elle est suffisante :

Nous supposons donc que . Soit tel que . Alors comme nous

avons un homorophisme d'anneaux nous pouvons écrire:

(5.166)

qui implique que donc que .

Ce qui montre que f est injectif si c'est un homorphisme et que et que en est

effectivement une condition suffisante.

C.Q.F.D.

D4. Soient et , deux groupes et f une application . Nous disons que f est

un "homomorphisme de groupe" si (nous pourrions tout aussi bien mettre * au lieu de + dans le

premier groupe et + au lieu de * dans le deuxième groupe, la définition resterait la même en

remplaçant simplement les opérateurs respectifs!):

(5.167)

où sont les éléments neutres respectifs des groupes A,B . Nous remarquons que la seule

différence entre un homorphisme d'anneau et un homorphisme de groupe est que ce dernier à

deux lois au lieu d'une et nous y rajoutons le concept d'inverse.

Ceci dit, la troisième proposition ci-dessus est en fait une conséquence de la définition composée

uniquement des deux premières lignes. Effectivement, considérons un homomorphisme f entre les

groupes et avec et respectivement les éléments neutres de A et B.

Nous avons alors:

(5.168)

d'où:

(5.169)

et donc:

(5.170)

D5. Soient f une application d'un corps vers un autre. Nous disons que f est un

"homomorphisme de corps" si f est un homomorphisme d'anneaux...

Effectivement, le fait que l'homomorphisme de corps soit le même que celui d'un anneau tient

juste au fait que la différence entre les deux structures est que les éléments du corps sont tous

inversibles (aucune loi ou propriété de loi ne diffère entre les deux selon leur définition).

Montrons maintenant que tout homomorphisme de corps est injectif ("homomorphisme injectif")

en se rappelant que plus haut nous avons démontré que tout homomorphisme d'anneaux l'était!

Démonstration:

Si a est différent de 0 et (nous utilisons ici la propriété que les éléments d'un corps sont

inversibles!) alors:

(5.171)

Donc lorsque a est différent de zéro f(a) est différent de 0 lorsque ce qui prouve

que et donc quef est injective.

C.Q.F.D.

D6. Soient A et B deux K-ev et une application de A dans B. Nous disons que f est une

"application linéaire" ou "homomorphisme d'espaces vectoriels" si :

(5.172)

et nous notons L(A,B) l'ensemble des applications linéaires.

Remarques:

R1. Nous avions déjà défini plus haut le concept d'application linéaire mais n'avions pas précisé que

les deux ensembles A et B étaient des K-ev.

R2. L'application linéaire est appelée "forme linéaire" si et seulement si

D7. Si l'homomorphisme est bijectif nous dirons alors que f est un "isomorphisme". S'il existe un

isomorphisme entre A et B, nous disons que A et B sont "isomorphes" et nous noterons

cela .

Remarque: L'isomorphisme permet au fait d'identifier deux ensembles munis d'une structure algébrique

identique (que ce soit groupe, anneau, etc.) mais dont les éléments sont nommés d'une façon différente.

D8. Si l'homomorphisme f est une application uniquement interne, nous dirons alors que f est un

"endomorphisme" (en d'autres termes, nous avons un endomorphisme si dans la définition de

l'homorphisme nous avons A=B)

Remarque: Si nous avons un endomorphisme f de E, f est donc restreint à Im(f). Donc le terme

"endomorphisme" veut juste dire que l'application f arrive dans E et pas qu'elle touche tous les éléments

de E. Nous avons et pas forcément car dans ce dernier cas nous disons que f est

surjective comme nous l'avons déjà vu.

D9. Si l'endomorphisme f est en plus bijectif (donc en d'autres termes si l'homomorphisme est un

endomorphisme et un isomorphisme), nous dirons alors que f est un "automorphisme"

5.2. IDÉAL

Définition: Soit A un anneau commutatif. Un sous-ensemble est un "idéal" si :

P1. pour tout

P2. pour tout et tout

En d'autres termes, un idéal est un sous-ensemble fermé pour l'addition et stable par

multiplication par un élément quelconque de A.

Exemple:

L'ensemble des nombres pairs est par un exemple d'idéal de l'ensemble des nombres naturels.

Remarque: Les idéaux et sont appelé les "idéaux triviaux".

Pour savoir si un idéal est égal à tout l'anneau, il est utile d'utiliser la propriété suivante qui

spécifie que si A est un anneau et I un idéal de A, alors si nous avons .

Démonstration:

Ceci résulte de la propriété P2 de la définition d'un idéal :

Pour tout , nous avons car .

C.Q.F.D.

Un premier exemple d'idéal est donné par le noyau d'un homomorphisme d'anneaux.

Effectivement, démontrons que le noyau d'un homomorphisme est un idéal de R.

Démonstration:

Soient . Alors :

(5.173)

ce qui montre que . Soit , alors :

(5.174)

ce qui montre que .

C.Q.F.D.

Proposition : Soit A un anneau et soit . Le sous-ensemble :

(5.175)

noté ou aA, est un idéal (nous allons voir un exemple concret après la prochaine définition).

Définitions:

D1. Un idéal d'un anneau A est dit "idéal principal" s'il existe tel que .

D2. Un anneau dont tous les idéaux sont principaux est dit "anneau principal".

Montrons maintenant que l'anneau est principal (car tous ses idéaux sont principaux).

Démonstration:

Soit I un idéal de (il est facile d'en choisir un : par exemples tous les multiples de 2 ou de 3,

etc.). Soit le plus petit entier positif non nul de I. Nous allons montrer que :

Soit a un élément quelconque de I. La division euclidienne nous permet d'écrire :

(5.176)

avec (nous l'avons déjà démontré).

Mais comme et que , par la définition d'un idéal, nous avons (la somme

ou différences des éléments d'un idéal appartenant à l'idéal). Par choix de r (étant inférieur à r)

ceci implique que et donc que .

Ainsi tout élément de I est un multiple de r et donc :

(5.177)

C.Q.F.D.

La démonstration ci-dessus n'utilise que la division euclidienne sur . Nous pouvons alors

généraliser ce résultat aux anneaux qui possèdent une division euclidienne. Ainsi, par exemple,

l'anneau k[X] des polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique) à coefficients dans un corps k est

un anneau principal car il possède une division euclidienne.

Démonstration:

Soit I un idéal de k[X]. Notons d le plus petit degré que puisse avoir un polynôme non nul de I.

Si alors et donc . Autrement, soit a(X) un polynôme de degré d.

Si alors on peut diviser u(X) par a(X). Il existe tels

que et . Donc ce qui

entraîne (autrement contradiction avec la minimalité de d). Par suite, .

Nous venons de montrer que

C.Q.F.D.

Ainsi, les seuls idéaux de sont ceux de la forme . De plus si nous avons d et m qui sont des

entiers > 1. Alors si et seulement si d | m.

Démonstration:

Si d | m alors il existe n avec . Soit un élément de . Alors :

(5.178)

ce qui montre que .

Réciproquement, si ceci implique que m est de la forme et ceci prouve

que d divise m.

C.Q.F.D.

Démontrons aussi qu'un anneau R est un corps si et seulement s'il ne possède que les idéaux

triviaux {0},R.

Démonstration:

Montrons que la condition est nécessaire : Soit I un idéal non nul de R et un élément non

nul. Par hypothèse (qu'il s'agit d'un corps), il est inversible, c'est-à-dire qu'il existe tel

que . Ceci implique que et donc, par un résultat obtenu plus haut .

Réciproquement, supposons que tout idéal soit l'idéal nul. Alors si est un élément

non nul de R, l'idéal principal (r) doit être égal à R. Mais ceci implique que et dont qu'il

existe avec ce qui montre que r est inversible. L'anneau R est donc un corps.

C.Q.F.D.

Cette caractérisation va nous permettre de démontrer facilement que tout homomorphisme

partant d'un corps est injectif. Soit que si un homomorphisme où R est un corps.

Alors f est injectif.

Démonstration:

Nous mettons ensemble ce qui a été vu jusque-là. Nous avons démontré plus haut que le

noyau Ker(f) d'un homomorphisme est un idéal. Mais nous avons également démontré plus haut

que nous avons soit soit (car l'anneau R est un corps si et seulement

s'il ne possède que les idéaux triviaux).

Mais vu que (de par la définition d'un homomorphisme) il s'ensuit qu'il

reste (puisque nous avons démontré que si A est un anneau et I un idéal de A alors

si alors ). Ceci implique par un théorème précédent (où nous avons démontré que

si l'homomorphisme est injectif) que... f est injective.

C.Q.F.D.

Etudions maintenant les homomorphismes dont l'anneau de départ est . Soit A un anneau

et un homomorphisme. Par définition d'un homomorphisme et par ses propriétés, il

faut que et . Mail il faut encore que :

(5.179)

pour tout . Ainsi f est complètement déterminé par la donnée de f(1) et est donc unique.

Réciproquement, nous montrons que l'application définie par :

(5.180)

est un homomorphisme d'anneaux. En résumé. il existe un et un seul homomorphisme de dans

un anneau quelconque A.

Définition: Soit A un anneau et l'unique homomorphisme défini précédemment. Si f est

injectif, nous dirons que A est de "caractéristique nulle". Sinon, Ker(f)est un idéal non trivial

de et comme est dès lors principal (comme nous l'avons démontré plus haut) il est de la

forme avec . L'entier m est appelé la "caractéristique de A".

Remarque: Moins formellement, la caractéristique d'un anneau est le plus petit entier positif m tel

que . S'il n'y en a pas, alors la caractéristique est nulle.

Exemple:

L'anneau est de caractéristique nulle car l'unique homomorphisme est l'identité. Il

est donc injectif. Les injections montrent que (et également) sont des

corps de caractéristique nulle)

Nous nous proposons maintenant de démontrer que la caractéristique d'un anneau intègre (et en

particulier d'un corps) est égale 0 ou à un premier p.

Démonstration:

Nous montrons la contraposée. Soit A un anneau de caractéristique avec m non premier. Il

existe alors des entiers naturels tels que . Soit l'unique

homomorphisme (définir précédemment). Par définition (de l'idéal) de m, nous

avons mais . Mais alors ce qui montre

que A n'est pas intègre.

C.Q.F.D.

Remarque: La réciproque du théorème n'est pas vraie comme le montre l'exemple de l'anneau où

l'addition et la multiplication se font composante par composante. C'est un anneau de caractéristique nulle

mais avec des diviseurs de zéro :

(5.181)

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