Notes sur les identités remarquables, Notes de Géométrie analytique et calcul
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les identités remarquables, Notes de Géométrie analytique et calcul

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Notes de mathématique sur les identités remarquables. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les identités remarquables, les identités algébriques, le binôme de Newton, la démonstration, l'exemple.
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Les identités remarquables

Les identités remarquables sont des sortes formules magiques, qui nous servent le plus souvent

pour la factorisation ou la résolution d'équations algébriques.

Rappelons certaines notions qui ont déjà été vues dans le chapitre de théorie des ensembles de la

section d'arithmétique (nous supposons le concept d'élément neutre connu puisque déjà défini):

Commutativité:

et (8.31)

Associativité:

et (8.32)

Distributivité:

(8.33)

Les mêmes observations sont valables avec l'opération de soustraction bien évidemment dans les

domaines de définition adéquats.

Nous pouvons vérifier avec des valeurs numériques (en remplaçant chaque nombre abstrait par un

nombre choisi au hasard), ou par distribution (ce serait mieux, ainsi vous êtes sûr d'avoir compris

ce dont quoi nous parlions), que les identités algébriques suivantes sont vérifiées (ce sont les plus

connues):

1. Identité du second degré:

(8.34)

2. Identité du troisième degré:

(8.35)

Remarque: Nous pouvons très bien poser que où nous avons bien

évidemment posé que (nous faisons un "abstrait d'abstraction" ou plus couramment: un

"changement de variable")...:

(8.36)

Nous pouvons remarquer que pour calculer le développement de , nous utilisons le

développement de , c'est-à-dire calculé avec la valeur précédente de n.

Nous remarquons les propriétés suivantes pour a et b:

P1. Les puissances de a décroissent de n à 0 ( , donc il n'est pas noté dans le dernier terme)

P2. Les puissances de b croissent de 0 à n ( , donc il n'est pas noté dans le dernier terme)

P3. Dans chaque terme, la somme des puissances de a et b est égal à n

P4. Les coefficients multiplicateurs devant chaque terme se calculent en faisant la somme des

coefficients multiplicateurs de deux termes du développement obtenu avec la valeur précédente

de b (voir la figure ci-dessous).

Les coefficients binomiaux peuvent alors êtres obtenus par construction du "triangle de Pascal" ci-

dessous:

(8.37)

Dont chaque élément est donné par (cf. chapitre de Probabilités):

(8.38)

avec .

Nous pouvons alors démonter que:

(8.39)

ce qui constitue le fameux "binôme de Newton" (que nous réutiliserons à de multiples endroits sur

le site).

Démonstration:

Cette relation se démontre simplement par récurrence en supposant la relation précédente vraie et

en la calculant pour le rang 1 :

(8.40)

Montrons que si elle est vraie pour n alors elle est vraie pour n+1:

(8.41)

La relation est vraie au rang n+1, elle est donc vraie pour tout n.

C.Q.F.D.

Pour ce qui est des identités remarquables avec des valeurs négatives, il est inutile d'apprendre

par coeur l'emplacement du signe "-". Il suffit de faire un changement de variable et une fois le

développement fait de refaire le changement de variable dans l'autre sens.

Exemple:

(8.42)

et ainsi de suite pour toute puissance n.

Nous pouvons bien sûr mélanger les genres tels que (fameux exemple particulier):

(8.43)

et quelques relations remarquables pratiques supplémentaires qui sont souvent utilisées dans les

petites classes pour les exercices:

(8.44)

et autre cas très fréquent:

(8.45)

Remarque: Lorsqu'à partir du terme de droite (sous forme numérique simplifiée) le professeur

demande à ses élèves en tant qu'exercice d'obtenir la factorisation à gauche de l'égalité, il n'existe

pas d'autres moyens que de procéder par essais successifs.

Bien sûr, il y en a encore un beaucoup plus grand nombre de relations utiles (dont une partie

découle d'une généralisation de celle présentées ci-dessus) que le lecteur découvrira par ses

propres raisonnements et en fonction de sa pratique.

Remarque: Il est bien sûr possible de multiplier des polynômes entre eux et de distribuer les termes

multiplicatifs. Inversement, il est souvent demandé aux élèves des petites classes de faire la

procédure inverse ("factoriser" ou "décomposer" un polynôme) afin qu'ils s'habituent à la

manipulation des identités remarquables. Décomposer en un produit de facteurs est une opération

importante en mathématiques, puisqu'il est ainsi possible de réduire l'étude d'expressions

compliquées à l'étude de plusieurs expressions plus simples.

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