Notes sur les implications et les applications - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les implications et les applications - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur les implications et les applications - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la particule libre, les puits de potentiel a parois rectilignes, 1ère approche.
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IMPLICATIONS ET APPLICATIONS

Les différentes définitions et outils qui ont été vus précédemment, vont nous permettre

d'étudier certains cas fondamentaux qui débouchent sur des résultats splendides.

Dans un premier temps, nous allons voir comment traiter le cas de la particule libre (état non

lié) et quels sont les problèmes que pose cette configuration simple.

Ensuite, nous allons résoudre l'équation de Schrödinger avec une particule sans spin dans un

puits de potentiel à parois rectilignes et montrer que nous retrouverons avec la formalisme de

la physique quantique les mêmes résultats que le modèle de Bohr (plus généralisé même!).

Après quoi, nous allons introduire l'étude de l'oscillateur harmonique en repassant au préalable

brièvement sur la résolution de l'équation de Schrödinger d'une particule libre. Cet exemple

constitue une forme d'introduction quantique à l'étude théorique de systèmes atomiques. C'est

dans cet exemple, que nous utiliserons toute la puissance des opérateurs linéaires fonctionnels.

Il sera donc important de ne pas brûler les étapes lors de sa lecture.

Il nous faudra également étudier un autre phénomène fameux, l'effet tunnel! Evidemment, nous

avons décidé de faire une introduction d'un cas particulier afin que le lecteur puisse voir le

raisonnement qui a amené à la découverte de ce phénomène épatant (mais logique). Encore une

fois, cet exemple appuiera la validité de la théorie quantique et démontrant la valeur des

constantes de désintégration des isotopes nucléaires!

En ce qui concerne les cas relativistes, avec ou sans spin nous renvoyons le lecteur au chapitre

de Physique Quantique Relativiste et en ce qui concerne le modèle atomique simple, nous le

renvoyons au chapitre de Chimie Quantique.

Enjoy!

PARTICULE LIBRE

Curieusement la résolution de l'équation de Schrödinger pour une particule libre (où le potentiel

est nul) est le cas simple... le plus complexe... mathématiquement parlant car les bornes

d'intégration de la normalisation sont infinies.

Voyons cela:

Rappelons d'abord que nous avons démontré de manière simplifiée dans le chapitre de Suites et

Séries que la transformée de Fourier d'une fonction f et son inverse étaient données par:

(42.267)

Soit sous forme unidimensionnelle:

(42.268)

Procédons maintenant au changement de variable qui relie le nombre d'onde k à la quantité de

mouvement (relation introduite au début de ce chapitre):

(42.269)

Ce qui nous donne:

(42.270)

Revenons maintenant à l'équation de Schrödinger d'évolution:

(42.271)

Si la particule est libre il n'y pas de potentiel et à une dimension nous avons alors:

(42.272)

Cette équation différentielle admet des solutions en ondes planes monochromatiques du type

(cf. chapitre d'Électrodynamique):

(42.273)

avec bien évidemment la petite nuance que nous avons à utiliser la relation (sinon ça joue pas

par contre!):

(42.274)

Sans oublier que (cela nous sera utile par la suite):

(42.275)

La courbe de l'énergie E en fonction du vecteur d'onde k est parfois appelée "courbe de

dispersion" et c'est une parabole (puisque k est au carré) pour une particule libre!

Bien évidemment la densité de probabilité de cette solution vaut:

(42.276)

mais cela ne peut pas correspondre à la réalité car nous ne pouvons pas normaliser la

probabilité sur des distances infinies! Une onde plane monochromatique de module constant

dans tout l'espace n'étant pas de carré sommable : elle ne peut donc pas représenter un état

physique d'une particule libre.

Au fait la solution vient du fait que la vraie solution utilise le principe de superposition des

toutes les ondes monochromatiques de toutes les fréquences tel que:

(42.277)

et nous retrouvons donc ici une relation très similaire une transformée de Fourier inverse. Une

telle superposition d'ondes planes est appelée : "paquet d'ondes unidimensionnel".

Ce que nous pouvons récrire:

(42.278)

Or, nous voyons de suite que nous ne pourrons pas non plus normaliser suivant:

(42.279)

Dès lors, il n'y a plus de solution générale. Il faut donner une enveloppe porteuse aux ondes

imposant une normalisation possible. Cette enveloppe porteuse peut être un Dirac ou une

Gaussienne ou d'autres fonctions de distributions plus ou moins complexes. Ensuite les

physiciens doivent utiliser une propriété des transformées de Fourier qui font naturellement

apparaître les incertitudes de Heisenberg. Ainsi, ces dernières sont une condition à la

normalisation des particules libres utilisant les transformées de Fourier.

A ce jour, nous n'avons pas de démonstration pédagogique et simple à proposer sur ce dernier

point. Cela viendra peut-être plus tard.

Par contre, nous pouvons prendre comme solution triviale les modes propres de la particule tel

que:

(42.280)

Effectivement:

(42.281)

C'est ce que nous utiliserons comme situation lors de notre étude plus bas de l'oscillateur

harmonique.

Avant d'étudier le cas particulier du paquet d'ondes quasimonochromatiques, nous allons

rappeler quelques résultats concernant la somme de deux ondes planes.

Commençons par sommer deux ondes planes monochromatiques de fréquences voisines:

et (42.282)

avec:

et (42.283)

et:

et (42.284)

A noter que nous imposons donc:

et (42.285)

L'onde résultante a pour expression :

(42.286)

Soit en utilisant les relations trigonométriques remarquables (cf. chapitre de Trigonométrie):

(42.287)

qui est une onde plane se propageant selon x avec la pulsation et le vecteur d'onde

moyen et , et donc à la vitesse de phase:

(42.288)

Le terme en cosinus s'interprète alors comme l'amplitude lentement variable de cette onde

plane.

Remarquons un point assez important!: La vitesse de phase n'est pas conforme à la vitesse que

nous obtenons en utilisant l'énergie cinétique d'un particule libre. Effectivement:

(42.289)

Dès lors la vitesse de phase ne répresente pas la vitesse dans le sens classique habituel mais se

déplace à la vitesse de groupe :

(42.290)

où nous retrouvons donc la formulation classique de la vitesse à partir de l'énergie cinétique

(pas mal....)!

Nous pouvons représenter aisément tout cela avec Maple:

>restart:with(plots):

>lambda[0]:=1; T[0]:=1; k[0]:=2*Pi/lambda[0]; w[0]:=2*Pi/T[0];

>delta_k:=k[0]/8: k[1]:=k[0]-delta_k; k[2]:=k[0]+delta_k;

delta_w:=w[0]/10: w[1]:=w[0]-delta_w; w[2]:=w[0]+delta_w;

> P1:=animate(cos(k[1]*x-w[1]*t)+cos(k[2]*x-w[2]*t), x=0..1*2*Pi/delta_k, t=0..2*Pi/delta_w,

numpoints=200, frames=15, color=red):

> P2:=animate({2*cos(-1/2*k[1]*x+1/2*w[1]*t+1/2*k[2]*x-1/2*w[2]*t), -2*cos(-

1/2*k[1]*x+1/2*w[1]*t+1/2*k[2]*x-1/2*w[2]*t)}, x=0..1*2*Pi/delta_k, t=0..2*Pi/delta_w,

numpoints=100, frames=15, color=blue):

> display(P1,P2);

Ce qui donne:

(42.291)

A la différence de l'onde plane harmonique, cette onde n'a pas un module constant : son

module est nul dans certaines zones. Par contre, elle s'étend toujours sur une distance infinie,

donc a une norme (somme de la probabilité sur tout l'espace) infinie. Elle ne possède donc pas

de sens physique.

L'étude précédente peut être étendue en sommant un nombre N de plus en plus grand d'ondes

planes au voisinage de et . Une telle superposition conduit à une fonction de plus en

plus localisée dans certaines zones de l'espace (en particulier vers par exemple

pour ), la distance entre ces zones augmentant proportionnellement avec N. A la

limite , alors seule la zone vers demeure, les autres étant rejetées à l'infini. Le

passage à cette limite s'effectue en remplaçant la somme discrète sur les ondes

planes par une sommation continue c'est-à-dire par une intégrale de la forme :

(42.292)

avec:

(42.293)

avec donc :

et (42.294)

Un tel paquet est donc appelé "paquet d'ondes quasimonochromatiques".

Cette expression peut se réécrire :

(42.295)

Il importe de comprendre que est une fonction de k, donnée par l'équation de dispersion.

Nous allons faire le calcul de cette expression en utilisant le fait que .

implique que . Il est possible d'effectuer un développement limité au

voisinage de :

(42.296)

où est la vitesse de groupe. Alors :

(42.297)

Posons :

(42.298)

Calculons l'intégrale:

(42.299)

avec:

(42.300)

Soit:

(42.301)

Le dernier terme s'interprète à nouveau comme une onde plane se déplaçant à la vitesse de

phase:

(42.302)

L'amplitude de cette onde plane est donnée par une fonction type sinus cardinal. A , cette

fonction sinc n'a des valeurs importantes que dans la zone:

(42.303)

Il s'agit donc d'une fonction bien localisée. En conséquence, est une fonction de carré

sommable. Le calcul donne:

(42.304)

La fonction peut donc être normalisée en posant donc:

(42.305)

Nous avons donc réussi à obtenir une fonction satisfaisant à la fois l'équation de Schrödinger et

la condition de normalisation, grâce à l'emploi d'une somme infinie d'ondes harmoniques.

L'exemple que nous avons traité n'est qu'un cas particulier. D'autres types de paquets d'ondes

peuvent être obtenus en prenant d'autres distributions pour les amplitudes des ondes planes

qui composent le paquet (nous avons supposé ici qu'elles avaient toutes la même amplitude).

Dès lors, la vitesse de groupe est associée classiquement à la vitesse de la particule de

massem et d'impulsion p.

Ainsi, Le paquet d'ondes se déplace globalement à la vitesse de groupe, qui s'identifie à la

vitesse donnée par la mécanique classique.

Les relations d'incertitude ont déjà été introduites au début de ce chapitre de deux manières

différentes. Mais dans l'exemple du paquet d'ondes étudié au paragraphe précédent, nous

avons vu que la fonction est localisée dans une zone d'extension (largeur à mi-hauteur) :

(42.306)

Nous avons donc la relation :

(42.307)

Nous retrouvons ici une expression de type incertitude. Le coefficient numérique pourrait être

légèrement différent suivant la définition choisie pour et , ou le type de paquet. Il

pourrait en particulier être nettement plus grand dans certains cas. Nous avons donc en fait une

inégalité du type:

(42.308)

En physique quantique, ces inégalités s'expriment en fonction de l'impulsion p, reliée

à k par . Nous avons donc :

(42.309)

Il ne s'agit donc pas d'incertitudes au sens de la mesure, et qui serait limitées par les appareils

de mesure, mais d'une propriété fondamentale intrinsèque, liée à la représentation quantique

d'une particule selon le modèle mathématique proposé. Le modèle de l'atome de Bohr est donc

à rejeter pour les niveaux d'énergie qui sont proche de cette égalité.

PUITS DE POTENTIEL A PAROIS RECTILIGNES Prenons pour premier exemple, très important pour le chapitre de Physique Nucléaire et pour

les spécialistes des semiconducteurs, la résolution sous forme classique du puits de potentiel à

parois rectilignes, également appelé "puits rectangulaire" (cet exemple est vraiment très

important, prenez vraiment votre temps afin de le comprendre et de la maîtriser au mieux).

C'est l'exemple le plus simple d'une fonction , nulle à l'intérieur du puis et infiniment

grande sur les parois, distantes d'une longueur L.

Remarque: Lorsque nous disons que les parois sont parfaitement réfléchissantes.

Nous supposons une particule piégée dans ce puits. Elle ne peut s'en échapper puisque les

parois (c'est-à-dire le potentiel U) ont une hauteur infinie. Mais à l'intérieur, elle est libre de se

déplacer sans faire d'interaction avec les parois.

Cette configuration se traduit par les conditions aux limites où l'énergie potentielle

électrostatique est notée U :

si

si ou

(42.310)

Il existe deux manières d'aborder problème. Voyons les deux types de traitements car le

premier permet d'avoir une approche simpliste alors que le deuxième permet d'avoir une

approche avec une plus générale qui nous sera utile par la suite lors de notre étude de l'effet

Tunnel :

1ère approche

L'équation de Schrödinger (classique) :

(42.311)

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