Notes sur les implications et les applications - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les implications et les applications - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur les implications et les applications - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: 2ème approche, la forme générale de la solution.
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a donc une solution simple respectant les conditions initiales en une dimension du type :

(42.312)

dont la dérivée seconde est :

(42.313)

Introduits dans l'équation de Schrödinger nous obtenons après quelques simplifications

d'algèbre élémentaire:

(42.314)

Donc finalement la solution s'écrit:

(42.315)

à propos de laquelle il faut appliquer les conditions aux limites (la solution en cosinus est en

tout point similaire).

Si nous voulons pouvoir, par la suite, faire un parallèle avec un (ou des) électron(s) piégé(s)

dans le puits du potentiel du noyau de l'atome (qui n'est par rectangulaire lui!), nous sommes

amenés aux considérations suivantes:

La stabilité des atomes suggère l'existence d'une onde stationnaire électronique dans le puits.

De plus, l'observation montre que seuls certains niveaux d'énergie semblent autorisés dans ce

dernier.

Si nous faisons une similitude avec les cordes vibrantes, la fonction d'onde de l'électron doit

être telle que:

1. Pour et il doit y avoir un noeud de vibration. Donc:

2. La fonction d'onde doit présenter un nombre entier de demi-longueur d'onde sur la

longueur L

3. Dans la boîte donc

4. Si aux extrémités ( et ) alors l'argument du sinus vaut

Donc nous devons avoir :

(42.316)

d'où puisque l'énergie potentielle est nulle :

(42.317)

L'énergie totale de la particule présente donc une suite discrète de valeurs, les seules permises.

La valeur de L est quant à elle déterminée à l'aide du modèle de Bohr ou de Sommerfeld en

fonction des cas (cf. chapitre Physique Quantique Corpusculaire).

L'énergie totale de la particule ci-dessus sont les "valeurs propres" de l'énergie dans le puits de

potentiel.

Donc l'équation de Schrödinger permet de faire abstraction du 3ème postulat de Bohr dans le

sens où elle explicite directement la notion de quantification des niveaux par des valeurs

entières (discrètes) solution des conditions aux limites d'un puits de potentiel considéré comme

parfait.

Les fonctions d'onde correspondantes dans le puits où sont donc:

(42.318)

Soit après simplification :

(42.319)

C'est l'expression d'une des solutions de l'équation pour le puits de potentiel rectangulaire

idéal. Ainsi, il existe une suite discrète de fonctions d'onde solutions. Ce sont les "fonctions

propres" de la particule.

La constante dans cette expression est déterminée par la normalisation de De Broglie (dont

nous avions parlé au début de ce chapitre), c'est-à-dire par la condition:

(42.320)

Nous trouvons alors (calcul d'intégration normelement élémentaire):

(42.321)

et l'expression finale de la fonction d'onde associée à la valeur propre se lit donc:

(42.322)

Certains physiciens ont pour habitude de noter cela sous forme complexe en ne prenant que la

partie réelle de l'expression (nous utilisons la "formule d'Euler" vue lors de l'introduction aux

complexes dans le chapitre des Nombres):

(42.323)

avec:

(42.324)

Nous disons alors que nous avons des "conditions de quantification" sur k imposées par les

conditions aux limites.

Cette notation est parfois utile et nous l'utiliserons lors de l'étude de l'effet tunnel dans le

chapitre de Physique Nucléaire.

Nous pouvons déduire de l'expression obtenue, les propriétés principales des fonctions d'onde

décrivant les états stationnaires de la particule dans une boîte:

1. La figure ci-dessous représente des fonctions et des densités de probabilités pour

les premiers niveaux d'énergie :

(42.325)

Nous remarquons que (évidemment nous pourrions analyser ceci de façon analytique et non

graphique si nous le désirions), en plus des points et , a (n-1) zéros situés en:

avec (42.326)

Ces points, où la fonction d'onde et la densité de probabilité sont nulles, sont appelés "points

nodaux" ou simplement "noeuds" de la fonction d'onde. Le nombre de noeuds augment

quand n augmente, c'est-à-dire quand l'on passe à des états de plus en plus excités. La

fonction d'onde de l'état fondamental à:

et donc (42.327)

n'a pas de noeuds, celle du premier état excité d'énergie:

(42.328)

a un point nodal, celle du deuxième état excité a deux points nodaux, etc... La variation des

propriétés nodales des fonctions d'onde quand n varie traduit l'orthogonalité des états

stationnaires d'énergie différente. En effet, nous vérifiions aisément que est nul

quand :

(42.329)

2. Comme nous pouvons le voir sur la figure précédente, la densité de probabilité associée à

tout état stationnaire de la particule est symétrique par rapport au point médian

Nous anticipons donc que la valeur moyenne de x sera exactement égale à L/2 dans un tel état.

En effet nous avons vu dans le chapitre de Statistique que l'espérance (moyenne) d'un

événement de probabilité P(x) est définie par:

(42.330)

où x, E(x) et P(x) n'ont pas d'unités (attention nous allons faire une analyse dimensionnelle).

Or, en physique quantique E(x) et x sont des grandeurs dimensionnelles identiques. Ce qui

signifie que les dimensions de P(x) doivent annuler celles de dx. Ainsi, nous devinons suite à

l'étude des conditions de normalisation de De Broglie que:

(42.331)

qui est une probabilité linéique de présence de la particule.

Le domaine d'intégration étant [0; L] nous avons finalement:

(42.332)

Egalement sans démonstration car ce résultat est trop évident (si jamais il ne l'est pas pour

vous dites-le nous et nous ajouterons le développement comme pour tout autre chose dans ce

site d'ailleurs), la quantité de mouvement le long x est nulle:

Nous pouvons par ailleurs vérifier sans trop de peine que ce nous avons vu lors de l'énoncé du

2ème postulat se vérifie bien dans cet exemple. C'est-à-dire que les fonctions propres de

l'onde sont reliées à l'opérateur hamiltonien via les valeurs propres de l'énergie :

(42.333)

Effectivement, dans notre exemple, cela donne:

(42.334)

voilà... pour la première approche du problème. Voyons maintenant la deuxième :

2ème approche

Nous avons donc l'équation de Schrödinger dans le cas unidimensionnel :

(42.335)

Dans les régions situées en dehors de la boîte où le potentiel est infini, nous avons :

(42.336)

Soit :

(42.337)

ce qui donne :

(42.338)

Ainsi, les fonctions d'onde sont nulle dans les régions où le potentiel est infini.

Considérons maintenant le cas du puits où puisque le potentiel électrostatique est nul

l'équation de Schrödinger se réduit à:

(42.339)

C'est donc une équation différentielle linéaire d'ordre 2 avec des coefficients constants,

équation qu'il est relativement aisé de résoudre dans le cas général (cf. chapitre de Calcul

Différentiel Et Intégral). Soit l'équation :

(42.340)

En nous aidant des résultats obtenus lors du traitement de la solution particulière, supposons

que la fonction yqui satisfait cette équation différentielle soit de la forme . Nous avons

alors :

ou (42.341)

pourvu, bien sûr, que . Cette dernière relation est donc l'équation quadratique auxiliaire

de l'équation différentielle (polynôme caractéristique). Elle a deux solutions/racines (c'est une

simple résolution d'un polynôme du deuxième degré) que nous noterons dans le cas

général . Ce qui signifie que :

et (42.342)

est satisfait pour les deux racines. Si nous faisons la somme puisque les deux sont égales à la

même constante :

(42.343)

Ainsi, il est immédiat que la solution générale de y est du type :

(42.344)

où le lecteur devrait normalement sans peine pouvoir vérifier que l'ajout des

constantes A et B ne changent en rien les développements des paragraphes précédents.

Dans le cas qui nous occupe :

(42.345)

L'équation quadratique est :

(42.346)

soit :

(42.347)

Donc finalement la solution générale est de la forme :

(42.348)

Posons maintenant :

(42.349)

Nous avons alors :

(42.350)

avec :

et (42.351)

Il faut maintenant déterminer A' et B' en utilisant les conditions aux limites. Ainsi, en x=0

et x=L nous devrions avoir et nous avons pour x=0 :

(42.352)

Le coefficient A' doit donc être nul. Et en x=L nous devrions avoir :

(42.353)

Mais dans ce cas, B' doit être différent de zéro. En effet, s'il était nul, la fonction d'onde serait

nulle dans tout le puits ce qui est contraire à la réalité physique du problème. Il faut donc que

ce soit le sinus qui soit nul, ou encore que son argument soit égal à un multiple d'un nombre

entier non nul d'angle tel que :

(42.354)

Donc :

(42.355)

Nous retrouvons donc exactement le même résultat que la méthode précédente.

Il reste à déterminer B et la méthode est exactement identique à la première méthode de

résolution que nous avons vu plus haut. Ainsi, nous avons bien :

(42.356)

Ce qui est important surtout dans cette méthode c'est de se souvenir pour plus tard de la forme

générale de la solution :

(42.357)

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