Notes sur les inéquations, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les inéquations, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les inéquations. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la différence entre égalité et inégalité, le système d'inéquations.
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INÉQUATIONS

Précédemment nous avons vu qu'une équation était une égalité composée de différents calculs

avec différents termes (dont au moins une "inconnue" ou un "chiffre abstrait"), et que "résoudre"

une équation revenait à calculer la valeur de l'inconnue de l'égalité, alors que la "simplifier"

revenait à minimiser mathématiquement le nombre de termes (en factorisant ou autre..) et que

développer revenait à mettre à plat tous les termes.

Pourquoi avons-nous besoin de rappeler la définition d'une équation ? Tout simplement parce que

pour l'inéquation, c'est le même système. La différence ? Si l'équation est une égalité, l'inéquation

est une inégalité: comme l'équation, l'inéquation est composée de différents calculs avec différents

termes reliés entre eux par des opérateurs quelconques, dont au moins une inconnue.

Différence entre égalité et inégalité:

- Egalité: Symbolisée par le signe =

- Inégalité: Symbolisée par les relations d'ordre d'égalités strictes et larges .

Lorsque nous résolvons une inéquation, notre inconnue peut-avoir un intervalle de valeurs qui

satisfont à l'inéquation. Nous disons alors que la solution de l'inéquation est un "ensemble de

valeurs".C'est la différence fondamentale entre une égalité (plusieurs solutions) et une inégalité

(intervalle de solutions) !

Rappelons les signes que nous pouvons rencontrer dans une inéquation sont:

: Se lit "strictement inférieur à" ou "strictement plus petit que". Dans ce cas, le plus souvent, la

valeur butoir numérique n'est pas comprise dans le domaine et nous pouvons représenter alors le

domaine avec un crochet ouvert à gauche ]... ou à droite ...[ selon que la valeur butoir est positive

ou négative.

: Se lit "strictement supérieur à" ou "strictement plus grand que". Dans ce cas, le plus souvent,

la valeur butoir numérique n'est également pas comprise dans le domaine et nous pouvons

représenter alors le domaine avec un crochet ouvert à gauche ]... ou à droite ...[ selon que la

valeur butoir est positive ou négative.

Remarque: Attention cependant pour les deux cas précités, il existe des situations où le domaine est

imposé par l'ensemble de nombres sur lequel nous travaillons (penser par exemple à une inéquation

où pour certaines valeurs les solutions appartiennent à l'ensemble des complexes). Dans ce cas, les

valeurs butoirs à l'ensemble de nombres sur lequel nous travaillons peuvent imposer des crochets

fermés.

: Se lit "inférieur ou égal à "ou "plus petit ou égal à". Dans ce cas, la valeur butoir numérique est

comprise dans le domaine et nous pouvons représenter alors le domaine avec un crochet fermé à

gauche [... ou à droite ...] (mais pas nécessairement les deux!) selon que la valeur butoir est

positive ou négative.

: Se lit "supérieur ou égal à" ou "plus grand ou égal à" . Dans ce cas, la valeur butoir numérique

est également comprise dans le domaine et nous pouvons représenter alors le domaine avec un

crochet fermé à gauche [... ou à droite ...] (mais pas nécessairement les deux!) selon que la valeur

butoir est positive ou négative.

Remarque: Nous renvoyons le lecteur au début de ce chapitre où nous avions définit la manière

d'écrire des domaines de définition.

L'objectif des inéquations est la plupart du temps (excepté le côté esthétique) d'avoir au moins

parmi l'ensemble des termes une valeur numérique qui permet de définir le domaine de solution

(de tous les termes abstraits de l'inéquation) qui satisfait l'inéquation.

Il existe plusieurs façons de représenter les domaines de définition des variables qui satisfont à

l'inéquation. Nous allons voir à travers un petit exemple quelles sont ces possibilités:

Soit une inéquation linéaire (du premier degré) en x à une seule inconnue à laquelle nous

imposons une contrainte particulière arbitraire pour l'exemple (évidemment l'expression peut

contenir plus de termes...):

(8.27)

nous avons dans l'inéquation ci-dessus déjà simplifié tous les termes qui étaient superflus.

Résoudre l'inégalité revient à chercher les valeurs de x inférieures à 2. Bien sûr, il n'existe pas une

seule solution dans mais un ensemble (intervalle) de solutions et c'est cela même le principe

des inéquations!

Pour résoudre l'inéquation, nous observons d'abord le type d'inégalité imposée ("stricte" ou "égal").

Ensuite, dans les petites classes (et pas seulement parfois...) nous représentons

l'ensemble traditionnellement par un tableau tel que:

- 0 +

................... ......|...... ...................

Tableau: 8.1 - Résolution d'inéquation

Nous savons intuitivement que la solution de notre inéquation regroupe toutes les valeurs

inférieures à 2 (2 exclu des solutions) et ce jusqu'à - . Nous écrivons alors cet intervalle ou

domaine sous la forme suivante:

(8.28)

Ensuite, nous pouvons représenter graphiquement l'ensemble des solutions (cela aide à

comprendre et prépare l'étudiant à la résolution de systèmes d'équations et d'inéquations et aux

variations de fonctions). Pour cela, nous reprenons le modèle de schéma du système numérique,

et y plaçons notre valeur butoir (nous n'en avons qu'une dans cet exemple mais parfois il peut y en

avoir plusieurs dû au fait qu'il y a une singularité ou des racines pour certaines valeurs du

domaine de définition), soit 2:

- 0 2 +

................... ......|...... ......|...... ...................

Tableau: 8.2 - Construction des points particuliers de l'inéquation

et enfin, nous délimitons au stylo de couleur (...) l'ensemble des solutions de - à 2 exclu:

- 0 2 +

................... ......|...... ......[...... ...................

Tableau: 8.3 - Mise en place du type de bornes l'inéquation

A la valeur 2, nous n'oublions pas de marquer le signe ....[ pour montrer que cette valeur est

exclue des solutions. Et voilà, le tour est joué et le concept est extrapolable a des inéquation

beaucoup plus complexes.

Remarques:

R1. Parfois au lieu de représenter les tableaux comme nous l'avons fait, certains professeurs (c'est

un choix complètement artistique) demandent à leur élèves d'hachurer les cases du tableau et d'y

dessiner de petits ronds, ou encore se servent de petites flèches, ou encore de dessiner le graphique

des fonctions de l'inéquation (cette dernière méthode est certes esthétique mais prend du temps..).

R2. Dans le cadre d'inéquations de degré supérieur à 1, il faut (voir plus loin ce que cela signifie

exactement) d'abord déterminer les racines de l'inéquation qui permettent de déterminer les

intervalles et ensuite par essais successifs, déterminer quels intervalles sont à rejeter ou a conserver.

Nous pouvons également (au même titre que les équations) parfois avoir à résoudre un "système

d'inéquations". Qu'est-ce que c'est ?: C'est un ensemble d'au moins 2 inéquations à résoudre. La

particularité du système ? : L'ensemble des solutions du système est l'intersection des solutions

des toutes les inéquations à résoudre.

Autrement dit, la méthode est la même que la précédente, à la différence que notre tableau

(représentant les domaines de solutions) comportera une ligne supplémentaire par inéquation

supplémentaire dans le système plus une ligne de synthèse qui est la projection des domaines de

solutions possibles du système.

Ainsi, un système à n inéquations aura un tableau récapitulatif à lignes.

Mathématiquement, les domaines (car ils peuvent y en avoir plusieurs qui sont disjoints) peuvent

s'écrire comme un ensemble des domaines:

(8.29)

Les systèmes d'inéquations sont très fréquents dans beaucoup de problèmes de la mathématique,

physique, économétrie, etc... Il est donc important de s'entraîner à les résoudre pendant vos

études avec l'aide de votre professeur.

Par exemple, voici une possible représentation du domaine de solutions d'un système

d'inéquations pris du chapitre de Méthodes Numériques où nous étudions la "recherche

opérationnelle".

(8.30)

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