Notes sur les liquides, Notes de Physique. Université Claude Bernard (Lyon I)
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les liquides, Notes de Physique. Université Claude Bernard (Lyon I)

PDF (168.0 KB)
7 pages
89Numéro de visites
Description
Notes de physique sur les liquides. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La distinction entre liquide et gaz, La dynamique des fluides, le théorème de pascal, la viscosité, la loi de poiseuille.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 7
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

LIQUIDES

Les fluides usuels sont de deux types: les liquides et le gaz (les solides sont aussi parfois

considérés comme des fluides...ce n'est qu'une question d'opinion..). Etymologiquement, un

fluide est susceptible de s'écouler. Le liquide adopte la forme du récipient qui le contient tout

en conservant un volume propre à peu près invariable. Le gaz n'a pas de volume propre: il

envahit uniformément (mécanique statistique de Boltzmann) le récipient dans lequel il est

maintenu. Une atmosphère en constitue un cas spécial, du fait qu'elle est maintenue par la

gravité à la périphérie d'un astre, ce qui exclut l'uniformité de la densité ou pression.

La distinction entre liquide et gaz est subtile. Nous pouvons cependant dire que le volume

propre des liquides manifeste l'existence d'une cohésion liée à une densité assez grande

(liaisons de Van der Waals); cette cohésion disparaît avec le volume propre chez les gaz.

Si nous comparons les fluides avec les solides, la première remarque qui s'impose concerne

l'isotropie (les propriétés sont les mêmes dans toutes les directions spatiales) des fluides usuels

qui est toujours réalisée (si nous n'agissons pas sur le fluide en tout cas!).

Nous allons aborder la théorie de la mécanique des fluides en difficulté croissante et par

redondance. D'abord il va être démontré que les propriétés d'un fluide statique sont isotropes

(théorème de Pascal). A l'aide de ce résultat, il va être plus simple de comprendre le théorème

de Bernoulli qui va nous permettre, entre autres, de définir le concept de "pression

hydrostatique". Ensuite, nous construirons un modèle très important de la dynamique des

fluides, connus sous le nom de "équations de Navier-Stokes", que l'on dans tous les domaines

possibles (astrophysique, mécanique quantique, météorologie,..). Ce modèle de dynamique des

fluides est conséquent en développements théoriques et résultats expérimentaux et peut être

considéré comme un terrain difficile. Cependant, pour faciliter la lecture, nous avons choisi de

ne pas aborder celui-ci directement par usage du calcul tensoriel. Nous avons ainsi fait en sorte

que les variables tensorielles apparaissent d'elles-mêmes d'écoulant des résultats simples de

l'analyse vectorielle que nous obtiendrons. Une fois les équations de Navier-Stokes déterminées

et démontrées, nous verrons que nous pouvons retrouver l'expression du théorème de Bernoulli

à partir de ces mêmes équations.

La dynamique des fluides, ou "hydrodynamique", est de loin, le domaine de la mécanique

classique le moins aisé en ce qui concerne la description et la prédiction. C'est pourquoi le

théorème de Bernoulli s'utilise fréquemment, non pour expliquer en détail le comportement

d'un fluide, mais pour en faire une description qualitative.

THÉORÈME DE PASCAL

Le résultat qui va suivre est de la plus haute importance pour comprendre l'ensemble de la

mécanique des fluides. Il faut prendre le temps de comprendre !

(34.92)

Si nous considérons les forces s'exerçant, en l'absence de mouvement, sur un tétraèdre

élémentaire OABC de volume élémentaire V. Il est toujours possible d'adopter un volume

suffisamment petit pour avoir une pression uniforme s'exerçant sur les faces du tétraèdre.

Soient , les pressions de réaction du fluide dues aux contraintes extérieures

sollicitant les faces respectives OBC, OAB, OAC et ABC de surface . Soient

également les cosinus directeurs (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) du vecteur unitaire normal

à la surface ABC.

Le système étant en équilibre, la résultante des forces de réaction du système est nulle. Nous

avons donc les équations suivantes résultant de la projection suivant les trois axes de

coordonnées:

(34.93)

Par simplification élémentaire il vient:

(34.94)

Nous obtenons alors la relation suivante:

(34.95)

Conclusion importante: en un point quelconque d'un fluide, la pression est indépendante de la

direction de la normale à la surface élémentaire sur laquelle elle s'exerce.

Par le principe de l'action et de réaction de Newton, nous sommes amenés à énoncer le

"théorème de Pascal":

Les fluides incompressibles transmettent intégralement et dans toutes les directions, les

pressions qui leur sont appliquées.

Ce théorème est fondamental aussi bien en mécanique des fluides qu'en mécanique des gaz et

les implications pratiques sont énormes (ce théorème explique entre autres, que la pression est

indépendant de la géométrie du contenant du liquide) !

VISCOSITÉ En mécanique des fluides, il est utile de considérer plusieurs types fluides ayant des

caractéristiques qui les différent. Ceci s'avère particulièrement pratique pour les simulations

tout en restant conforme à l'observation expérimentale (cf. chapitre de Génie Météo Et Marin).

Nous définissons la "viscosité" par les forces internes s'opposant au déplacement des

diverses couches composant le fluide. Nous distinguons la "viscosité dynamique" et la

"viscosité cinématique" .

1. La viscosité dynamique :

(34.96)

avec étant le coefficient de viscosité dynamique (l'unité étant le Poiseuille [PI]), dF variation

de la force de frottement entre deux couches infiniment voisines, variation de la vitesse

par la distance entre deux couches infiniment voisines et dS étant la surface

considérée .

Conclusion: le Poiseuille est la viscosité d'un fluide nécessitant 1 Newton pour faire glisser à la

vitesse de 1 mètre pas seconde, deux couches fluides de 1 mètre carré distantes de 1 mètre.

Remarque: Anciennement, l'unité employée était la "poise" :

2. La viscosité cinématique est définie par:

(34.97)

Une transformation de la définition de la viscosité dynamique donne (il faut se rappeler de cette

relation pour plus tard !!):

(34.98)

Soit:

(34.99)

Par définition les fluides ayant les caractéristiques suivantes:

(34.100)

sont nommés respectivement:

- (1) Fluides pseudo-plastique

- (2) Fluides newtoniens (contraintes de cisaillement proportionnelles au gradient de vitesse)

- (3) Fluides dilatant

Il existe encore un 3 autres types de fluide non représenté sur le schéma et dont la viscosité est

supposée nulle (cf. chapitre de Thermodynamique):

- (4) Fluides parfaits

- (5) Fluides semi-parfaits

- (6) Fluides réels

Remarques:

R1. Le comportement d'un fluide parfait est très différent de celui d'un fluide réel aussi petit soit

la viscosité de ce dernier. En effet, le fluide parfait, parce qu'il n'a pas de viscosité, ne dissipe

jamais l'énergie cinétique. Alors qu'un fluide réel très peu visqueux la dissipe efficacement grâce

à la turbulence, et au phénomène de cascade qui l'accompagne.

R2. Nous reviendrons sur les propriétés de la viscosité dynamique et cinématique lors de la

démonstration des équations de Navier-Stokes-(Reynolds).

R3. Les fluides qui ne sont pas newtoniens sont appelés en tout généralité dans la littérature

"fluides non-newtoniens"... et nous ne traiterons pas les ferrofluides ici car trop complexes

théoriquement à analyser.

Les fluides non-newtonien ont donc une déformation dépend de la force que nous leur

appliquons. Le meilleur exemple est celui du sable mouillé en bord de mer : quand nous

frappons le sable, il a la viscosité élevée d'un solide, alors que lorsque nous appuyons

doucement dessus, il se comporte comme une pâte. Par ailleurs certains non-newtoniens ont

des propriétés telles qu'il est possible pour un individu de courir dessus sans couler ou de

couler en restant en position...

LOI DE POISEUILLE

En 1835 un médecin français, Jean Léonard Marie Poiseuille fit une série d'expériences

soignées, pour déterminer comment un fluide visqueux s'écoule dans un tuyau étroit. Son but

était de comprendre la dynamique de la circulation sanguine chez l'homme. Le plasma du sang

se comporte comme un fluide newtonien, tandis que le sang entier ne l'est pas. Presque la

moitié du volume normal du sang est faite de cellules assez grandes pour perturber

l'écoulement laminaire, surtout quand elles entrent en contact avec les parois des vaisseaux, un

phénomène qui prend de l'importance dans les capillaires très étroits. Néanmoins, l'analyse de

Poiseuille s'applique à l'écoulement dans les veines et les plus grosses artères et elle a une

grande valeur, bien qu'elle soit un peu simpliste.

Le résultat de Poiseuille peut être établi en considérant le fluide dans un tuyau comme formé de

couches cylindriques orienté selon un axe x de rayon r concentriques qui se déplacent à des

vitesses qui vont en décroissant à parti du centre (symétrique circulaire supposée).

Alors la relation définissant la viscosité s'écrit :

(34.101)

Ce qui nous donne la force de viscosité sur le cylindre. La surface de contact de chaque couche

cylindrique de longueur l est donnée par et donc :

(34.102)

L'origine de l'accélération (in extenso de la force) ne peut se faire que par une différence de

pression telle que :

(34.103)

ce qui nous amène à écrire :

(34.104)

En intégrant membre à membre, nous obtenons :

(34.105)

Soit :

(34.106)

La courbe représentative de la vitesse en fonction de r est une parabole dont le sommet se situe

sur l'axe centre du cylindre ( ). Le débit volumique transporté par une couche cylindrique

entre r et est . Ainsi, le débit total est :

(34.107)

et nous obtenons la "loi de Poiseuille" pour le débit laminaire visqueux :

(34.108)

Nous trouvons donc le résultat logique que le débit augmente avec le gradient de

pression et le rayon du tube, et diminue avec la viscosité.

Nous trouvons par ailleurs une relation analogue à la loi d'Ohm (cf. chapitre d'Électrocinétique)

où la différence de potentiel est donnée par la résistance multipliée par le courant alors que la

différence de pression est donnée par la résistance visqueuse multipliée par le débit.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome