Notes sur les logarithmes, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les logarithmes, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur les logarithmes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la définition des logarithmes, le développement, la démonstration.
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LOGARITHMES

Nous avons longuement hésité à mettre la définition des logarithmes dans le chapitre traitant

du calcul algébrique. Après un moment de réflexion, nous avons décidé qu'il valait mieux la

mettre ici car pour bien la comprendre, il faut avoir connaissance des concepts de limite,

domaine de définition et fonction exponentielle. Nous espérons que notre choix vous

conviendra au mieux.

Soit la fonction exponentielle (bijective) de base quelconque a, où notée :

(16.104)

pour laquelle il correspond à chaque nombre réel x, exactement un nombre

positif (l'ensemble image de la fonction est dans ) tel que les règles de calcul des

puissances soient applicables (cf. chapitre de Calcul Algébrique).

Nous savons que pour une telle fonction, que si , alors f(x) est croissante et positive

dans , et si , alors f(x) est décroissante et positive dans .

Remarques:

R1. Si , lorsque x décroît vers des valeurs négatives, le graphique de f(x) tend vers l'axe

des x. Ainsi, l'axe des x est une asymptote horizontale. Lorsque x croît par valeurs positives, le

graphique monte rapidement. Ce type de variation est caractéristique de la "loi de croissance

exponentielle" et f(x) est quelque fois appelée "fonction de croissance". Si ,

lorsque x croît, le graphique tend asymptotiquement vers l'axe des x. Ce type de variation est

connue sous le nom de "décroissance exponentielle".

R2. En étudiant , nous excluons le cas et . Notons que si , alors n'est pas

un nombre réel pour de nombreuses valeurs de x (nous rappelons que l'ensemble image est

contraint à ). Si , n'est pas défini. Enfin, si , alors pour tout x et le

graphique de f(x) est une droite horizontale.

Puisque la fonction exponentielle f(x) est bijective alors il existe une fonction

réciproque et appelée "fonction logarithme" de basea notée :

(16.105)

Et donc :

(16.106)

si et seulement si .

En considérant comme un exposant, nous avons les propriétés suivantes :

Propriétés Justification

Tableau: 16.2 - Propriétés du logarithme en base a

Remarques:

R1. Le mot "logarithme" signifie "nombre du logos", "logos" signifiant "raison" ou "rapport".

R2. Les fonctions logarithme et exponentielle sont définies par leur base (le nombre a).

Lorsqu'on utilise un base de puissance de 10 (10, 100, 1000,…) nous parlons alors de "système

vulgaire" car ils ont pour logarithme des nombres entiers successifs.

R3. La partie entière du logarithme s'appelle la "caractéristique".

Il existe deux types de logarithmes que nous retrouvons presque exclusivement en

mathématique et en physique : le logarithme en base dix et le logarithme en base e (ce dernier

étant fréquemment appelé "logarithme naturel" ou plus exactement pour des raisons

historiques justifiées "logarithme népérien").

D'abord celui en base 10:

(16.107)

abusivement noté :

(16.108)

et celui en base (eulérienne) e:

(16.109)

historiquement noté:

(16.110)

le "n" signifiant "népérien".

Remarque: Historiquement, c'est à John Napier (1550-1617) dont le nom latinisé est "Neper" que

l'on doit l'étude des logarithmes et le nom aux "logarithmes népérien".

En français pour la fonction logarithmique en base 10 il faut pour calculer:

(16.111)

se poser la question suivante : à quelle puissance devons nous élever 10 pour obtenir x ?

Formellement, cela consiste à résoudre l'équation:

(16.112)

ou autrement écrit:

(16.113)

avec x étant connu et donc en base 10:

(16.114)

Pour la fonction logarithmique en base eulérienne e (ou dite "base nepérienne") il faut pour

calculer:

(16.115)

se poser aussi la question suivante : à quelle puissance devons nous élever le

nombre e pour obtenir x ?

Formellement, cela consiste à résoudre l'équation :

(16.116)

ou autrement écrit:

(16.117)

avec x étant connu et donc:

(16.118)

Techniquement, nous disons alors que la fonction exponentielle (voir plus bas les détails):

(16.119)

est la bijection réciproque de la fonction ln(x).

(16.120)

Mais quel est donc ce nombre "eulérien" appelé également "nombre d'Euler" ? Pourquoi le

retrouve-t-on si souvent en physique et en mathématique? D'abord déterminons l'origine de sa

valeur :

Pour cela, il nous faut déterminer la limite (dont l'origine historique semblerait être l'étude de

problèmes financiers par Euler) de :

(16.121)

avec et quand .

Remarque: Le deuxième terme de l'égalité est donc typiquement le type d'expression que nous

retrouvons dans les intérêts composés en finance (cf. chapitre d'Économie) ou dans tout autre

type d'accroissement à facteur égal. Et ce qui nous intéresse dans le cas présent c'est quand ce

type de d'accroissement tend vers l'infini.

L'intérêt que nous avons à poser le problème ainsi c'est que si nous faisons tendre la

fonction écrite précédemment tend vers e et cette fonction a pour propriété particulière de

pouvoir se calculer plus ou moins facilement pour des raisons historiques à l'aide du binôme de

Newton.

Donc d'après le développement du binôme de Newton (cf. chapitre de Calcul Algébrique) nous

pouvons écrire :

(16.122)

Ce développement, est similaire au développement de Taylor de certaines fonctions pour des

cas particuliers de valeurs de développement (d'où la raison pour laquelle nous retrouvons ce

nombre eulérien dans beaucoup d'endroits que nous découvrirons au fur et à mesure).

En effectuant certaines transformations algébriques évidentes, nous trouvons:

(16.123)

Nous voyons de cette dernière égalité que la fonction est croissante quand croît. En

effet, quand nous passons de la valeur à la valeur chaque terme de cette somme

augmente:

, etc. (16.124)

Montrons que la grandeur variable est bornée. En remarquant que :

, , etc. (16.125)

Nous obtenons donc par anologie avec l'expression étendue en binôme de Newton déterminée

plus haut la relation d'ordre suivante:

(16.126)

D'autre part:

(16.127)

Nous pouvons donc écrire l'inégalité :

(16.128)

Les termes soulignés constituent une progression géométrique de raison (cf. chapitre

de Suites et Séries) et dont le premier terme est 1. Par suite en utilisant les résultant obtenus

dans le chapitre de Suites et Séries, nous pouvons écrire:

(16.129)

Par conséquent nous avons :

(16.130)

Nous avons donc prouvé que la fonction est bornée.

La limite:

(16.131)

tend donc vers cette valeur bornée qui le nombre e dont la valeur est :

(16.132)

Remarque: Comme nous l'avons démontré dans le chapitre traitant des Nombres ce nombre est

irrationnel.

Nous pouvons alors définir la "fonction exponentielle naturelle" (réciproque de la fonction

logarithme népérien) par :

(16.133)

ou également parfois notée:

(16.134)

Le nombre e et la fonction qui permet de le déterminer sont très utiles. Nous les retrouvons

dans tous les domaines de la mathématique et de la physique et donc dans la quasi totalité des

chapitres de ce site.

Les logarithmes ont plusieurs propriétés. Les voici (nous nous référons à une base X donnée):

(16.135)

Si nous posons et nous avons donc :

(16.136)

Si nous avons le cas particulier alors:

(16.137)

Cherchons à exprimer:

(16.138)

sous une forme différente. Posons ce qui nous amène au développement:

(16.139)

Cherchons à exprimer maintenant avec sous un forme différente. Posons :

(16.140)

ce qui nous amène à:

(16.141)

Il y a une relation assez utilisée en physique relativement aux changements de bases

logarithmiques. La première relation est triviale et découle des propriétés algébriques des

logarithmes:

(16.142)

La seconde relation:

(16.143)

est un peu moins triviale et nécessite peut-être une démonstration (nous en aurons besoin lors

de notre étude des fractions continues dans le chapitre de Théorie des nombres).

Démonstration:

Nous avons d'abord les équations équivalentes (de la première relation ci-dessus):

et (16.144)

et nous procédons comme suit:

(16.145)

Ce qui nous amène finalement à:

(16.146)

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