Notes sur les lois fondamentales de l'arithmétique - 1° partie, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les lois fondamentales de l'arithmétique - 1° partie, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur les lois fondamentales de l'arithmétique - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L'addition, La soustraction, La multiplication,
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Lois fondamentales de l'arithmétique.

Comme nous l'avons déjà dit précédemment, il existe un opérateur de base (addition) à partir

duquel il possible de définir la multiplication, la soustraction (à condition que l'ensemble de

nombres soit ad hoc) et la division (même remarque que pour la soustraction) et autour desquels

nous pouvons construire toute la mathématique analytique.

Bien évidemment il y a certains subilités à prendre en compte lorsque le niveau de rigueur

augmente. Le lecteur peut alors se rapport au chapitre de Théorie Des Ensembles où ses lois

fondamentales sont redéfinies avec plus de justesse.

2.1. ADDITION

Définition: L'addition de nombres entiers est une opération notée "+" qui a pour seul but de réunir

en un seul nombre toutes les unités contenues dans plusieurs autres. Le résultat de l'opération se

nomme "somme" ou "total". Les nombres à additionner sont appelés "termes de l'addition".

Remarque: Les signes d'addition "+" et de soustraction "-" sont dus à Widmann (1489).

Ainsi, A+B+C... sont les termes de l'addition et le résultat est la somme des termes de l'addition.

Voici une liste de quelques propriétés intuitives que nous admettrons sans démonstrations de

l'opération de l'addition:

P1. La somme de plusieurs nombres ne dépend pas de l'ordre des termes. Nous disons alors que

l'addition est une "opération commutative". Ce qui signifie que nous avons si A est différent de B:

P2. La somme de plusieurs nombres ne change pas si nous remplaçons deux ou plusieurs d'entre

eux par leur résultat intermédiaire. Nous disons alors que l'addition est "opération associative".

P3. Le zéro est l'élément neutre de l'addition car tout nombre additionné à zéro donne ce même

nombre.

P4. Suivant l'ensemble dans lequel nous travaillons, l'addition peut comporter un terme de telle

façon à ce que le total soit nul. Nous disons alors qu'il existe un "opposé" pour l'addition.

Nous allons définir plus rigoureusement l'addition en utilisant l'axiomatique de Peano dans le cas

particulier de l'ensemble des nombres entiers naturels comme nous en avons déjà fait mention

dans le chapitre traitant des Nombres. Ainsi, avec ces axiomes il est possible de démontrer qu'il

existe (existence) une et une seule application (unicité), notée "+", de dans vérifiant :

où s signifie: "successeur".

Remarque: Ce site n'ayant pas pour vocation de s'adresser à des mathématiciens, nous nous passerons de

la démonstration (relativement longue) et admettrons intuitivement que l'application "+" existe et est

unique... et qu'il en découle les propriétés susmentionnées.

Soit des nombres quelconques alors nous pouvons noter également la somme ainsi:

(3.34)

en définissant des bornes supérieures et inférieures à la somme indexée (au-dessus et en-

dessous de la lettre grecque majuscule "sigma").

Voici quelques rappels des propriétés relatives à cette notation condensée:

(3.35)

où k est une constante et :

(3.36)

(3.37)

Voyons maintenant quelque cas concrets d'additions de différents nombres simples afin de mettre

en pratique les bases.

Exemples:

L'addition de deux nombres relativement petits est assez facile dès que nous avons appris par

coeur à compter jusqu'au nombre résultant de cette opération. Ainsi (exemples pris sur la base

décimale) :

, , (3.38)

Pour les plus grands nombres il faut adopter une autre méthode qu'il s'agit d'apprendre par coeur.

Ainsi par exemple:

(3.39)

Démarche : nous additionnons les colonnes (4 colonnes dans cet exemple) de droite à gauche.

Pour la première colonne nous avons donc 4+5=9 ce qui nous donne :

(3.40)

et nous continuons ainsi pour la deuxième 4+7=11 mais à la différence que comme nous avons

un nombre supérieur à la dizaine, nous reportons le premier chiffre (de gauche) sur la colonne

suivante de l'addition. Ainsi:

(3.41)

La troisième colonne se calcule dès lors comme 4+2+1=7 ce qui nous donne:

(3.42)

Pour la dernière colonne nous avons 9+5=14 et à nouveau nous reportons le premier chiffre (de

gauche) sur la colonne suivante de l'addition. Ainsi:

(3.43)

et la dernière colonne donne :

(3.44)

Voilà comment nous procédons donc pour l'addition de nombres quelconques : nous faisons une

addition par colonne de droite à gauche et si le résultat d'une addition est supérieure à la dizaine,

nous reportons une unité sur la colonne suivante.

Cette méthodologie d'addition est simple à comprendre et à effectuer. Nous ne étendrons pas plus

sur le sujet pour l'instant.

2.2. SOUSTRACTION

Définition: La soustraction du nombre entier A par le nombre entier B notée par le symbole "-",

c'est trouver le nombre C qui, ajouté à B, redonne A.

Remarque: L'opération n'est rigoureusement parlant pas possible dans les entiers naturels que

si .

Nous écrivons la soustraction sous la forme :

(3.45)

qui doit vérifier :

(3.46)

Voici quelques propriétés intuitives que nous admettrons sans démonstrations de l'opération de

soustraction (bon cela découle de l'addition...) :

P1. La soustraction de plusieurs nombres dépend de l'ordre des termes. Nous disons alors que la

soustraction est une "opération non-commutative". Effectivement:

(3.47)

P2. La soustraction de plusieurs nombres change si nous remplaçons deux ou plusieurs d'entre

eux par leur résultat intermédiaire. Nous disons alors que la soustraction est une "opération non-

associative". Effectivement:

(3.48)

P3. Le zéro n'est pas l'élément neutre de la soustraction. Effectivement, tout nombre à qui nous

soustrayons zéro donne ce même nombre, donc le zéro est neutre à droite... mais pas à gauche

car tout nombre que nous soustrayons à zéro ne donne pas zéro!

P4. Suivant l'ensemble dans lequel nous travaillons, la soustraction peut comporter un terme de

telle façon à ce que le total soit nul. Nous disons alors qu'il existe un "opposé" pour la

soustraction.

Exemples:

La soustraction de deux nombres relativement petits est assez facile dès que nous avons appris

par coeur à compter jusqu'à au moins le nombre résultant de cette opération. Ainsi:

, , (3.49)

Pour les plus grands nombres il faut adopter un autre méthode qu'il s'agit d'apprendre par coeur

(au même titre que l'addition). Ainsi par exemple:

(3.50)

nous soustrayons les colonnes (4 colonnes dans cet exemple) de droite à gauche. Pour la première

colonne nous avons ce qui fait que nous reportons -1 sur la colonne suivante et

écrivons en bas de la barre d'égalité :

(3.51)

et nous continuons ainsi pour la deuxième ce qui fait que nous reportons -1 sur la

colonne suivante et comme nous reportons en bas de la barre d'égalité:

(3.52)

La troisième colonne se calcule dès lors comme et nous reportons -1 sur la colonne

suivante et comme nous reportons en bas de la barre d'égalité :

(3.53)

Pour la dernière colonne nous avons nous reportons donc rien sur la colonne

suivante et comme nous reportons 0 en bas de la barre d'égalité:

(3.54)

Voilà comment nous procédons donc pour la soustraction de nombres quelconques. Nous faisons

une soustraction par colonne de droite à gauche et si le résultat d'une soustraction est inférieure à

zéro nous faisons reporter -1 sur la colonne suivante et l'addition du dernier report sur la

soustraction obtenue en bas de la barre d'égalité.

La méthodologie utilisée pour la soustraction se basant sur exactement le même principe que

l'addition nous ne étendrons pas plus sur le sujet. Cette méthode est très simple et nécessite bien

sûr une certaine habitude à travailler avec les chiffres pour être totalement appréhendée.

2.3. MULTIPLICATION

Définition: La multiplication de nombres est une opération qui a pour but, étant donné deux

nombres, l'un appelé "multiplicateur", et l'autre "multiplicande", d'en trouver un troisième appelé

"produit" qui soit la somme (donc la multiplication d'écoule de la somme !) d'autant de nombres

égaux au multiplicande qu'il y a d'unités au multiplicateur. Le multiplicande et le multiplicateur

sont appelés les "facteurs du produit".

La multiplication s'indique à l'aide du signe " " (anciennement) ou du point de ponctuation

surélevé (notation moderne) ou sans aucun symbole tel que :

(3.55)

Remarque: Le signe de croix " " pour la multiplication se trouve pour la première fois dans l'ouvrage

d'Ougtred (1631) quant au point à mi-hauteur (notation moderne pour la multiplication), nous le devons à

Leibniz. Dès 1544, Stiefel, dans un de ses ouvrages n'employait aucun signe et désignait le produit de deux

nombres en les plaçant l'un après l'autre.

Nous pouvons définir la multiplication en utilisant l'axiomatique de Peano dans le cas particulier

des nombres entiers naturels comme nous en avons déjà fait mention dans le chapitre traitant des

Nombres. Ainsi, avec ces axiomes il est possible de démontrer qu'il existe (existence) une et une

seule application (unicité), notée " " ou plus souvent ".", de dans vérifiant :

(3.56)

Remarque: Ce site n'ayant pas pour vocation de s'adresser à des mathématiciens, nous nous passerons de

la démonstration (relativement longue) et admettrons intuitivement que l'application " " existe et est

unique...

La puissance est une notation particulière d'un cas précis de multiplications. Lorsque le(s)

multiplicateur(s) et multiplicande(s) sont identique(s) en valeur numérique, nous notons la

multiplication (par exemple):

(3.57)

c'est ce que nous nommons la "notation en puissance" ou "l'exponentiation". Le nombre en

exposant est ce que nous nommons la "puissance" ou "l'exposant" du nombre (n en l'occurrence).

La notation en exposants se trouve pour la première fois dans l'ouvrage de Chuquet intitulé

"Triparty en la science des nombres" (1484).

Vous pouvez vérifier par vous-même que ses propriétés sont les suivantes (par exemple):

(3.58)

Voici quelques propriétés intuitives que nous admettrons sans démonstrations de l'opération de

multiplication :

P1. La multiplication de plusieurs nombres ne dépend pas de l'ordre des termes. Nous disons alors

que la multiplication est une "opération commutative".

P2. La multiplication de plusieurs nombres ne change pas si nous remplaçons deux ou plusieurs

d'entre eux par leur résultat intermédiaire. Nous disons alors que la multiplication est "opération

associative".

P3. L'unité est l'élément neutre de la multiplication car tout multiplicande multiplié par le

multiplicateur 1 est égal au multiplicande.

P4. La multiplication peut comporter un terme de telle façon à ce que le produit soit égal à l'unité

(l'élément neutre). Nous disons alors qu'il existe un "inverse pour la multiplication" (mais cela

dépend rigoureusement dans quel ensemble de nombres nous travaillons).

P5. La multiplication est "distributive", c'est-à-dire que :

(3.59)

l'opération inverse s'appelant la "factorisation".

Introduisons encore quelques notations particulières relatives à la multiplication :

1. Soit des nombres quelconques (non nécessairement égaux) alors nous pouvons

noter le produit ainsi:

(3.60)

en définissant des bornes supérieurs et inférieures au produit indexé (au-dessus et en-dessous de

la lettre grecque majuscule "Pi").

Rappel des propriétés relatives à cette notation:

(3.61)

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