Notes sur les mathématiques pour la mécanique - 1° partie, Notes de Mathématiques

Télécharge Notes sur les mathématiques pour la mécanique - 1° partie et plus Notes au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! Mathématiques pour la Mécanique Table des matières Conventions et notations 7 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Convention de sommation suivant les indices répétés . . . . . . . . . . . . . . 7 Notation des dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Indices et exposant Grecs ou Latins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1 Algèbre linéaire : Espaces vectoriels et applications linéaires 10 1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.1 Espace vectoriel : une présentation intuitive . . . . . . . . . . . . 10 1.1.2 Exemples d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Espace vectoriel : la définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.4 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.5 Indépendance linéaire : vecteurs libres, vecteurs liés . . . . . . . 13 1.1.6 Produit d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.7 Cas des espaces Rnt des espaces vectoriels réels de dimension finie 14 1.2 Application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Opérateurs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Quelques exemples d’espaces vectoriels et d’applications liné- aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Bijection entre L (X,R) et X . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Norme d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.3 Produit de deux matrices et composition de deux applications li- néaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.4 Changement de bases et Matrices de passage . . . . . . . . . . . 21 1.4 Cas des opérateurs linéaires – Matrices carrés . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.1 Adjoint d’un opérateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 c©Daniel Choï 2003- 2 Université de Caen Mathématiques pour la Mécanique 1.4.2 Partie symétrique et antisymétrique d’un opérateur linéaire de Rn 23 1.5 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.1 Déterminant de n vecteurs de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5.2 Déterminant d’une matrice carré – Déterminant d’un opérateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5.3 Règles de calcul d’un déterminant – Développement suivant une ligne ou une colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6 Éléments de théorie spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6.1 Spectre d’un opérateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6.2 Réduction d’un opérateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6.3 Cas des matrices symétriques définies positives . . . . . . . . . . 28 1.7 Annexe : quelques preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7.1 Preuve du théorème 1.2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.7.2 Preuve du théorème 1.2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.7.3 Preuve de la proposition 1.3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Calcul différentiel 31 2.1 Éléments de topologie métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Fonctions continues de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Fonction différentiable – Application dérivée . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.1 Cas des fonctions réelles définie sur un intervalle réel . . . . . . . 33 2.3.2 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.3 Matrice Jacobienne et dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 Gradient, divergence, rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4.3 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4.4 Quelques remarques et propriétés des opérateurs différentiels . . . 39 2.5 Dérivation le long d’une courbe – Dérivation partielle dans une direction . 40 2.6 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7 Dérivée seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 Principaux théorèmes sur les fonctions de plusieurs variables . . . . . . . 42 2.9 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.10 Extrema d’une fonction réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.11 Coordonnées cylindriques et sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.11.1 Expressions en coordonnées Cylindriques . . . . . . . . . . . . . 43 2.11.2 Expressions en coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . 46 3 Intégrale de Riemann 47 3.1 Définition de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Principales propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 c©Daniel Choï 2003- 3 Université de Caen Mathématiques pour la Mécanique 10.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 11 Introduction à la théorie des distributions 93 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 11.2 Espace des fonctions infiniment dérivables à support compact . . . . . . . 94 11.3 Théorie des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 11.3.1 Exemples de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 11.3.2 Dérivation des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 11.3.3 Opération sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 11.3.4 Convergence au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . 96 11.3.5 Support d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 11.4 Variantes des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 11.4.1 Distribution d’ordre finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 11.4.2 Distribution à support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 11.4.3 Distribution tempérée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 11.5 Produit de convolution de deux distributions . . . . . . . . . . . . . . . . 97 12 Petite introduction à l’analyse fonctionnelle 98 12.1 Espace de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 12.1.1 Quelques caractérisations abstraites d’un espace de Banach . . . . 99 12.1.2 Quelques exemples d’espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . 100 12.1.3 Quelques exemples d’espaces qui ne sont pas des espaces de Banach100 12.2 Espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 12.2.1 Quelques exemples d’espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 101 12.2.2 Principaux résultats sur les Hilberts . . . . . . . . . . . . . . . . 101 c©Daniel Choï 2003- 6 Université de Caen Mathématiques pour la Mécanique Conventions et notations Dans ce document, nous serons parfois amené à utiliser quelques conventions de nota- tions propres à la mécanique. En particulier nous utiliserons la convention de sommation par rapport aux indices répétés (on lit également convention d’Einstein) et nous noterons souvent les dérivées partielles à l’aide d’un indice précédé d’une virgule. Nous commençons toutefois par quelques notations utilisés dans ce document qui sont du reste tout à fait usuel. Notations Nous n’avons pas cherché à faire dans l’originalité, ainsi dans tout le document R désigne l’espace des nombres réels tandis que C sera l’espace des nombres complexes. Les quantités scalaire seront systématiquement noté en italique, tandis que les objets vectoriels seront noté soit avec une flêche soit en caractère gras : On désigne généralement par f ou g une fonction scalaire Les objets vectoriels seront souvent désigné par u dont les composantes ui sont des quantités scalaires. Le symbole Ω représentera généralement un domaine à bord régulier de Rn, où n en mécanique désigne souvent les nombres 2 ou 3. Convention de sommation suivant les indices répétés La convention d’Einstein sur la sommation sur les indices ou exposants répétés est une convention destiné à alléger les écritures dans les formules mathématiques sans pour autant les rendre ambigu. La convention implique une sommation sur des termes produits dés lors qu’ils pré- sentent des indice répétés : c©Daniel Choï 2003- 7 Université de Caen Mathématiques pour la Mécanique Ainsi, par exemple, pour x = [x1, x2, . . . , xn]> et y = [y1, y2, . . . , yn]>, deux vecteurs de Rn, le produit scalaire : x.y = n∑ i=1 xiyi, où l’on remarque l’indice i qui apparaît répété, sera noté plus simplement : x.y = xiyi. De même pour un produit de matrices C = BA : ckj = m∑ i=1 bkiaij −→ ckj = bkiaij. Si un vecteur x a pour composantes (x1, x2, ..., xn) dans la base e1, e2, . . . , en, on écrit x = n∑ i=1 xiei −→ x = xiei Si on note, dans R3 le produit mixte des vecteurs de la base canonique : εijk = (ei, ej, ek) = ei.(ej ∧ ek) On peut écrire le produit mixte de trois vecteurs a, b et c par (a,b, c) = 3∑ i=1 3∑ j=1 3∑ k=1 εijkaibjck −→ (a,b, c) = εijkaibjck, où on a appliqué la convention sur les trois indices répétés i, j et k. En réalité, ce manuscrit a d’avord été rédigé sans utiliser cette convention. Ainsi, on ne la trouve pas dans la plupart des chapitres. Nous avons les avons cependant ajouté en bleu, dans la mesure du possible. Notation des dérivées partielles En mécanique et en mathématiques en général, nous avons souven affaire à des sys- tèmes d’équations aux dérivées partielles. Ainsi pour alléger les notations on préférera utiliser la notation en indice précédé d’une virgule : ∂f ∂x = f,x ∂ui ∂xj = ui,j ∂2ui ∂xj∂xk = ui,jk. c©Daniel Choï 2003- 8 Université de Caen