Notes sur les méthodes (analyses) numériques - 2° partie., Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les méthodes (analyses) numériques - 2° partie., Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur les méthodes (analyses) numériques - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le calcul du nombre d'euler, le calcul de la factorielle (formule de stirling), les systemes d'éq...
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C.Q.F.D.

Remarque: Il existe un très grand nombre d'algorithmes pour calculer . Celle présentée ci-

dessus, sans être la plus esthétique, est historiquement la première.

CALCUL DU NOMBRE D'EULER

Parmi la constante , il existe d'autres constantes mathématiques importantes qu'il faut

pouvoir générer à l'ordinateur (de nos jours les valeurs constantes sont stockées telles quelles

et ne sont plus recalculées systématiquement). Parmi celles-ci, se trouve le "nombre d'Euler"

noté e (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle). Voyons comment calculer ce nombre:

Soit la série de Taylor, pour une fonction indéfiniment dérivable f donnée par (cf chapitre sur

les Suites Et Séries):

(57.34)

Comme (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

(57.35)

nous avons:

(57.36)

Donc en résumé:

(57.37)

Cette relation donne un algorithme pour calculer l'exponentielle à un ordre n donnée de

précision.

Remarque: Pour diminuer la complexité de cet algorithme, la factorielle peut être calculée avec

la formule exposée ci-après.

CALCUL DE LA FACTORIELLE (FORMULE DE STIRLING)

Evidemment, la factorielle pourrait être calculée avec une simple itération. Cependant, ce genre

de méthode génère un algorithme à complexité exponentielle ce qui n'est pas le mieux. Il existe

alors une autre méthode :

Soit, la définition de la factorielle :

(57.38)

Et d'après les propriétés des logarithmes :

(57.39)

Si n est très grand (mais alors très...) alors:

(57.40)

Lorsque , la limite inférieure est négligeable et alors:

(57.41)

Après une petite simplification élémentaire, nous obtenons:

(57.42)

Cette dernière relation est utile si l'on suppose bien évidemment que la constante d'Euler est

une valeur stockée dans la machine...

SYSTEMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES

Il existe de nombreuses méthodes de résolution de systèmes d'équations linéaires. La plupart

d'entre elles ont été mises au point pour traiter des systèmes particuliers. Nous en étudierons

une, appelée la "méthode de réduction de Gauss", qui est bien adaptée à la résolution des petits

systèmes d'équations (jusqu'à 50 inconnues).

Remarques:

R1. La validité de certaines des opérations que nous allons effectuer ici pour résoudre les

systèmes linéaires se démontrent dans le chapitre traitant de l'Algèbre Linéaire. Au fait, pour être

bref, le tout fait appel à des espaces vectoriels dont les vecteurs-colonnes sont linéairement

indépendants.

R2. Les systèmes admettent une solution si et seulement si (rappel) le rang de la matrice

augmentée est inférieur ou égal au nombre d'équations (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire).

UNE ÉQUATION À UNE INCONNUE

Considérons le cas le plus simple: celui d'une équation à une inconnue:

(57.43)

a et b sont les coefficients de l'équation et x en est l'inconnue. Résoudre cette équation, c'est

déterminer x en fonction de a et b. Si a est différent de 0 alors:

(57.44)

est la solution de l'équation. Si a est nul et si b est différent de 0 alors l'équation n'admet pas

de solutions. Sia et b sont nuls, alors l'équation possède une infinité de solutions.

DEUX ÉQUATIONS À DEUX INCONNUES

Un système (linéaire) de deux équations à deux inconnues s'écrit:

(57.45)

sont les coefficients du système d'équations, et en sont les

inconnues.

Remarque: Les notations usitées ci-dessus n'ont rien à voir avec le calcul tensoriel.

Pour résoudre le système, nous procédons comme suit:

A l'aide de manipulations algébriques (addition ou soustraction des différentes égalités entre

elles - manipulations autorisées par l'indépendance linéaire des vecteurs-lignes) nous

transformons le système en un autre donné par :

(57.46)

Ensuite, nous résolvons l'équation , ce qui donne :

(57.47)

Nous en déduisons:

(57.48)

La transformation entre les deux systèmes:

(57.49)

s'effectue simplement en multipliant chaque coefficient de la première égalité par et en

soustrayant les résultats obtenus des coefficients correspondants de la seconde égalité. Dans

ce cas, l'élément est appelé "pivot".

TROIS ÉQUATIONS À TROIS INCONNUES

Examinons encore le cas des systèmes de trois équations à trois inconnues:

(57.50)

Nous pouvons par la suite des opérations élémentaires (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) réduire

le système linéaire précédent en le système suivant:

(57.51)

et ensuite résoudre l'équation:

(57.52)

puis la deuxième:

(57.53)

et enfin:

(57.54)

Revenons à la transformation des systèmes. Elle s'effectue en deux étapes :

1. Dans la première, nous choisissons comme pivot et nous éliminons les

coefficients et de la manière suivante: il faut multiplier chaque coefficient de la première

égalité par et soustraire les résultats obtenus de la deuxième égalité, ainsi devient

nul. De même, en multipliant les coefficients de la première équation par et en

soustrayant les résultats obtenus de la troisième égalité, disparaît. Le système d'équation

s'écrivant alors:

(57.55)

2. La deuxième étape consiste à traiter le système de deux équations à deux inconnues formé

des deuxième et troisième égalités du système précédent, et ce, en choisissant comme

pivot. Cette méthode de résolution peut paraître compliquée, mais elle a l'avantage de pouvoir

être généralisée et être appliquée à la résolution de systèmes de n équations n inconnues.

N ÉQUATIONS À N INCONNUES

Pour simplifier l'écriture, les coefficients seront toujours notés et non pas , etc. lors

de chaque étape du calcul.

Soit le système linéaire (nous pourrions très bien le représenter sous la forme d'une matrice

augmentée afin d'alléger les écritures) :

(57.56)

Il faut choisir comme pivot pour éliminer . Ensuite, l'élimination

de s'effectue en prenant comme pivot. Le dernier pivot à considérer est bien

évidemment , il permet d'éliminer . Le système prend alors la forme:

(57.57)

En résolvant d'abord la dernière équation, puis l'avant dernière et ainsi de suite jusqu'à la

première.

Cette méthode, appelée "méthode de résolution de Gauss" ou encore "méthode du pivot" doit

cependant être affinée pour éviter les pivots de valeur 0. L'astuce consiste à permuter l'ordre

dans lequel sont écrites les équations pour choisir comme pivot le coefficient dont la valeur

absolue est la plus grande. Ainsi, dans la première colonne, le meilleur pivot est

l'élément tel que:

(57.58)

Il est amené à par échange des première et j-ème lignes. L'élimination du reste de la

première colonne peut alors être effectuée. Ensuite, on recommence avec les n-1 équations qui

restent.

POLYNÔMES L'ensemble des polynômes et à coefficients réels a été étudié dans le chapitre d'Analyse

Fonctionnelle en détails. Nous allons ici traiter de l'aspect numérique de quelques problèmes

liés aux polynômes.

Mis à part l'addition et la soustraction de polynômes que nous supposerons comme triviaux

(optimisation de la complexité mis à part comme le schéma de Horner), nous allons voir

comment multiplier et diviser deux polynômes.

Voyons d'abord comment multiplier deux polynômes :

Soit :

(57.59)

alors :

(57.60)

avec :

(57.61)

C'était simple....

Un tout petit peu plus difficile maintenant : la division euclidienne des polynômes (cf. chapitre

de Calcul Algébrique).

Reprenons :

(57.62)

mais en imposant cette fois-ci .

La division s'écrira donc nous le savons :

(57.63)

avec ou sinon .

Il est connu d'avance que nous avons bien évidemment :

et deg(r(x))<m.

Nous avons donc par définition q(x) qui est le quotient de la division et r(x) le reste de la

division euclidienne def(x) par g(x).

Rien ne nous interdit donc de poser de la manière la plus générale qui soit :

(57.64)

Exemple:

Soit :

(57.65)

donc :

(57.66)

Nous avons donc :

(57.67)

Ensuite :

(57.68)

et enfin :

(57.69)

Donc de manière générale :

(57.70)

comme :

(57.71)

le premier reste est donc :

(57.72)

Ensuite :

(57.73)

Le deuxième reste est alors :

(57.74)

etc.

Nous continuons jusqu'à ce que .

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